Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов иназывается число=^т=а₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n. Часто вместо используется обозначение (,).

Если, к примеру, - контейнеры с товарами, а- стоимость одного контейнера, то- суммарная стоимость всех контейнеров.

Скалярное произведение имеет следующие основные свойства:

1. =- коммутативность.

2. (+)=+- дистрибутивность.

3. k=(k)=(k) - любой из векторов можно умножить на число, не равное нулю.

4. >0 при0;=0 только в случае=0 -скалярный квадрат не нулевого вектора всегда положителен.

5. Если =0, то векторыиперпендикулярны (ортогональны).

Пространство всех векторов, в котором определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством. Легко проверить, что орты описанных ранее пространств попарно ортогональны, т.к. =0 приij. Таким образом, введенное евклидово пространство векторов имеет ортогональный ортонормированный базис.

Пределы Общее понятие предела переменной величины

Рассмотрим некоторую последовательность, зависящую от натурального аргумента x_n=f(n) (nN), например: х_n=2+(-1)ⁿ, т.е.{1; 2,50; 1,67; 2,25; 1,80,...}:

Легко заметить, что при возрастании n члены последовательности все ближе подходят к значению А=2. Если вокруг этого значения выделить какую-то область радиусом  (-окрестность), то при некотором n x_n войдет в эту окрестность и уже не выйдет из нее, какой бы малой она ни была. Это и означает, что А - предел, к которому стремится последовательность х_n.

Так что, если в некотором процессе изменение x_n таково, что в какой-то момент он попадает в -окрестность числа А и не выходит из нее, то А - предел величины x_n:

.

Рассмотрим последовательность x_n = n, nN, т. е. {1; 2; 3;... }.

Здесь другой случай: если задаться любым числом М, то всегда найдется такое число n, что x_n+1 будет больше М. Эта последовательность не имеет предела. Условно записывают:

и называют x_n бесконечно большой величиной.

Для последовательности х_n=, nN, т.е. {1; ;;...} при возрастании номераn пределом является А=0, т.е. . Если предел равен 0, то величина называетсябесконечно малой.

Последнее, что отметим: переменная, зависящая от натурального аргумента, может иметь только один предел.

Предел функции

Пусть теперь для некоторой функции у=f(х) процесс таков, что х стремится к числу а. Выясним, к чему стремится функция у. Если двигаться от 0 к точке х=а, то в некоторый момент войдем в -окрестность числа а. При этом функция (при движении по графику) будет ограничена по оси оY -окрестностью, увязанной с -окрестностью по оси оХ, и неизбежно приходит в точку х=а, принимая значение А.

Таким образом, изменение функции у=f(х), в конечном итоге, приводит к тому, что ее значения не выйдут за пределы  окрестности точки, которая и является ее пределом:

.

Функция может и не иметь предела. Тогда . Но где-нибудь рядом предел может быть:. Если, то функция называетсябесконечно большой в точке х=а (вариант ). Если, то функция называетсябесконечно малой в точке х=а (вариант ).