4.9. Моделирование сезонных и циклических колебаний

Существуют несколько подходов при моделировании сезонных или циклических колебаний;

     расчет значений сезонной компоненты и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда;

     применение сезонных фиктивных переменных;

     использование рядов Фурье и др.

Рассмотрим 1-й из перечисленных подходов более подробно, т.к. он является наиболее простым. Причем будем моделировать только сезонные колебания, учитывая, что моделирование прочих циклических колебаний осуществляется аналогично.

4.9.1. Расчет сезонной компоненты и построение модели временного ряда

Аддитивную модель: Х=Т+S+Е применяют в случае, когда амплитуда сезонных колебаний со временем не меняется. В противном случае используют мультипликативную модель: Х=ТSЕ.

Введем обозначения.

Пусть имеется временной ряд – Х_ij,

 где i – номер сезона (периода времени внутри года, например месяца, квартала); i=1;L (L – число сезонов в году);

j – номер года, j=1;m (m – всего лет).

Тогда количество исходных уровней ряда равно L m=n.

Построение модели начинается с расчета сезонной компоненты. Только потом рассчитывают трендовую компоненту.

В качестве сезонной компоненты для аддитивной модели применяют абсолютное отклонение – Sa_i, для мультипликативной модели  - индекс сезонности – Is_i. Сезонные компоненты должны отвечать определенным требованиям:

           в случае аддитивной модели сумма всех сезонных компонент должна быть равна нулю;

           в случае мультипликативной модели произведение всех сезонных компонент должно быть равно единице.

Перед расчетом сезонных компонент ряд динамики выравнивают. Чаще всего используют алгоритмическое (механическое) выравнивание (например, метод скользящей средней). В результате получают выровненный ряд: , который не содержит сезонной компоненты.

Абсолютное отклонение в 1-ом сезоне определяется как среднее арифметическое из отклонений фактического и выровненного уровней ряда:

.

Индекс сезонности в i-м сезоне определяется как среднее арифметическое из отношений фактического уровня ряда к выровненному:

При построении трендовой компоненты модели временного ряда используют аналитическое выравнивание. Данный метод выравнивания применяют не к фактическому ряду динамики, а к ряду, в котором исключена сезонная составляющая. Это означает, что исходные уровни ряда корректируются на величину сезонной компоненты. В случае аддитивной модели из исходных уровней вычитают . В случае мультипликативной модели исходные уровни ряда делят на Is_i.

Рассмотрим на примере построение аддитивной модели временного ряда. Пусть имеются поквартальные данные на 3 года об объемах выпуска продукции некоторым предприятием (в тыс. шт.). Данные приведены в табл. 3.4. (строки 1,2,3).

Таблица 3.4

Год	Квартал -i	Объем выпуска (Х)					Т
1999(1)	1	410				477,15	416,1	348,9
	2	400	531,25			401,60	474,8	473,2
	3	715	575,00	553,13	161,88	551,60	533	696,8
	4	600	615,00	595,00	5,00	694,66	592,1	497,40
2000(2)	1	585	680,00	647,50	-62,50	652,15	650,8	583,6
	2	560	730,00	705,00	-145,00	561,60	709,4	707,8
	3	975	775,00	752,50	222,50	811,60	7684	931,5
	4	800	815,00	795,00	5,0	894,66	826,7	732,1
2001(3)	1	765	880,00	847,50	-82,50	832,15	885,4	818,3
	2	720	955,00	917,50	-197,50	721,60	944,1	942,5
	3	1235				1071,6	1002,7	1166,1
	4	1100				1194,6	1061,4	966,7

  В нашем примере L = 4; m = 3; n = 12.

Для расчета сезонной компоненты проведем выравнивание уровней ряда методом скользящей средней. Период усреднения примем равным 4. Рассчитанная по 4-м уровням средняя   будет относиться к середине интервала усреднения (табл. 3.4, строка 4). Чтобы полученные средние привести в соответствие с фактическими моментами времени, найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних -  (табл. 3.4, строка 5).

Для расчета абсолютных отклонений найдем разности между исходными - Х_ij и выровненными -  уровнями ряда (табл. 3.4, строка 6). Для дальнейшего расчета построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонным компонентам, столбцы – годам. В теле таблицы находятся значения: . По этим данным рассчитываются средние арифметические из абсолютных отклонений по каждой строке – (S).

Если сумма всех средних оценок равна нулю , то данные величины и будут окончательными значениями сезонных компонент . Если сумма всех средних не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных компонент вычитанием из средней оценки величины, равной отношению суммы средних оценок сезонных компонент к их общему числу . Для нашего примера расчет значений Sa_i, представлен в табл. 3.5.

Таблица 3.5

Номер компоненты	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной компоненты	Скорректированная сезонная компонентыSai
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Итого				-4,72	0

Для определения трендовой компоненты устраним сезонные колебания из уровней исходного ряда: . Результаты расчета  для нашего примера представлены в табл. 3.4, строка 7. Далее строим уравнение регрессии для уровней  - уравнение тренда:  (где  – условная переменная времени). Расчет параметров см. в п. 4.6.2. Окончательно имеем: . Рассчитанные по уравнению тренда уровни ряда Т занесем в табл. 3.4 строка 8.

Теперь смоделируем уровни ряда в соответствии с аддитивной моделью. т.е. прибавим к  вычисленное ранее значение абсолютного отклонения -  . Результаты занесем в последнюю строку в табл. 3.4.