
Шпаргалка по линейной алгебре
.docНа втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
Система имеет бесконечное число решении если есть свободные неизвестные.
37)Квадратная матрица назыв.
невыраженной если опред del
A0.
38)Система линеиных алгебраических
ур-ии есть система вида
Метод Гаусса.
На
первом этапе составляется расширенная
матрица, состоящая из коэффициентов
при неизвестных далее приводится к
виду, когда диагональ, состоящая из
единичек отсекает нули. где
гл.
неизвестные. Ост. свободные неизв.
На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
Система имеет единственное решение если все неизвестные главные
39) Система линеиных алгебраических
ур-ии есть система вида
Метод Гаусса.
На
первом этапе составляется расширенная
матрица, состоящая из коэффициентов
при неизвестных далее приводится к
виду, когда диагональ, состоящая из
единичек отсекает нули. где
гл.
неизвестные. Ост. свободные неизв.
На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.
Система не имеет решений если главный эл-т расположен в последнем столбце.
40)Наибольший из порядков миноров данной матрицы отличный от нуля есть ранг матрицы r(A) или rangA. Метод нахождения ранга: 1) Приводим матрицу к ступенчатой число ненулевых и есть ранг.
Т.к ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы, то для однородной системы ранг расширенной матрицы равен рангу основной поэтому система всегда совместна.
41)Комплексное число z=x+iy можно изобразить т. М(х;у) пл-сти Оху где х=Rez y=Imz. На комплексной плоскости изображаются комплексные числа.Ось абсцисс – действительная ось,оси ординат – мнимая ось. Рассмотренные интерпретации комплексного числа позволяют называть комплексное число вектором или точкой на комплексной плоскости. Алгебраическая форма z=x+iy.
Сумма 2-х компл. чисел z=x+iy
и
=
+i
есть компл число опред равенством
z+
=(x+
)+i(y+
)
Вычитание z-=(x-
)+i(y-
)
Произведение z=(x
-
y
)+i(х
у
)
;
=
-1
42)Комплексное число z=x+iy
можно задать с помощью радиус-вектора
=(х;у).Длина
назыв. модулем этого числа и обозначается
или r.Два компл. числа
отличающиеся лишь знаком мнимой части
назыв. сопряженными.
43)Деление определяется как действие
обратное умножению.Частное 2-х компл.
и
0
есть z=
/
если
z=
Если z=x+iy,
=
+i
и
=
+i
то
из равенства (
+i
)(
x+iy)=
+i
следует
таким образом z=
/
=
+i
на практике частное находят путем
умножения числителя и знаменателя на
число сопряженное знаменателю.
Для тригонометрической формы:
=
/
(cos(
-
)+isin(
-
))
44)=1
(1)
=
=1
=arg(1)=cos0;
1=1(cos0+isin0).(2)
Модуль всех корней
=1
(3)Угол между корнями
/n
2п/3 (4)арг. 1-го корня 0/3 (5)
=1(cos0+isin0)
=1(cos2п/3+isin2п/3)
=1(cos-2п/3+isin-2п/3)
45)Модуль и арг. компл. числа можно
рассматривать как полярные координаты
вектора
изображающего
компл. число тогда х=r cos
у=r sin
т.е
Тригонометрическая форма числа z=r(cos
+i
sin
).
Модуль r =
=
Аргумент
определяется из формул cos
=x/r,
sin
=
y/r, tg
=
x/y
47)Формула Муавра, позволяющая возводить в степень комплексное число, представленное в тригонометрической форме. Формула Муавра имеет вид:
=
=
(cos
n
+isin
n
),где
r — модуль, а
-
аргумент комплексного числа. Корнем
n-й степени из компл числа
z назыв. компл. число w
удов. нер-ву
=z.
Если положить z=r(cos
+isin
),a
w=p(cos
+isin
),
то по опред корня и
формуле Муавра получаем z=
=
(cos
n
+isin
n
)=r(cos
+isin
).Отсюда
=
r, n
=
+2пk.Поэтому
равенство
=w
принимает вид:
=
(cos
+isin
),k=0,1…,n-1.Итак,
для любого z
0
корень n-й степени из числа
z имеет ровно n
различных решении.
48)n-Мерным
векторомназывается
упорядоченный набор из n
действительных чисел, записываемых в
виде строки
=(
;
;…;
)Число
называют
i-й координатой вектора
.
Многомерное пространство,пространство,
имеющее число измерений (размерность)
более трёх.
Произведением вектора на действительное
число
называется
вектор
=(
;
;…;
),
т. е. при умножении вектора на число
каждая его координата умножается на
это число.
Суммой векторов
и
называется
вектор
+
=(
+
;
+
;…;
+
),т.
е. при сложении векторов одной и той же
размерности их соответствующие координаты
почленно складываются.
49)Линейной комбинацией векторов
,
…
с
коэффициентами
,
…
называется
вектор
+
…+
.
Линейная комбинация векторов образуется
из них с помощью операций умножения на
число и сложения, следовательно, она
также является вектором. По определению
n-мерный вектор
разлагается
по системе векторов
,
…
,
если можно подобрать такие числа
,
…
,
что векторы
=
+
…+
.
Числа
,
…
называются коэффициентами разложения.
Система векторов называется линейно
зависимой, если из этих векторов можно
составить нулевую (равную нулю) линейную
комбинацию, т. е.+
…+
=0,
причем хотя бы один из коэффициентов
линейной комбинации отличен от нуля. В
противном случае система векторов
называется линейно независимой.
50)Подпространство- такое подмножество
Е данного пространства,
которое само является пространством
того же типа, что и
при усл. если
,
Е
выполн.
+
Е
и
,
R
выполн.
*
Е
51) Линейная оболочка подмножества
а линейного пространства L — пересечение
M всех подпространств L, содержащих а.
Линейная оболочка L(а) состоит из
всевозможных линейных комбинаций
различных конечных подсистем элементов
из а. L=
.Базисом
является максимальное линейно независимое
подмножество множества векторов на
которое оболочка натянута.Чтобы наитии
базис лин. оболочки нужно составить
матрицу из вектор столбцов (
,
…
)Привести
к ступенчатому виду и выделить главные
столбцы. Векторы первоначально заданного
мн-ва соотв. гл. столбцам образуют базис.