Шпаргалка по линейной алгебре

Случай 2

угол наклона к оси Ох

угол наклона к оси Ох

=- tg(-)=tg=-/1+*

: х+ tg=

:х+ tg=

Если =

*=-1

11)Дано (;) и : Ax + By + C = 0. Расстояние от точки до прямой d=

12)Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz+D=0 ур-ие определяет в системе координат Охуz некоторую плоскость.

Случаи неполного ур-ия:

1)D=0 то ур-ие примет вид Ax + By + Cz=0 ему удов. т.О(0;0;0) значит плоскость проходит через начало координат

2)С=0 то нормальный вектор (А;В;0) оси Оz, пл-сть оси Оz

В=0 то пл-сть оси Оу

А=0 то пл-сть оси Ох

3)С= D=0 то пл-сть проходит через О(0;0;0) и оси Оz т.е пл-сть проходит через ось Оz

А= D=0 через ось Ох

В= D=0 через ось Оу

4) А= В=0 то z= - D/С т.е пл-сть пл-сти Оху

С= В=0 Оуz

А= С=0 Охz

5) А= В=D=0 то z =0 т.е это ур-ие пл-сти Оху

А= С=D=0 Охz

С= В=D=0 Оуz

Канонического ур-ия плоскости не существует

13)Под углом меж двумя пл-тями понимается один из двугранных углов образованных ими. Угол между нормальными векторами =(;;) и =(;;) плоскостей и равен одному из этих углов поэтому cos=.Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если то и т.е /=/=/ это усл.

Если то и следов. *=0т.е ++=0 это усл.

Пусть (;;) иQ: Ax + By + Cz+D = 0. Расстояние от точки до прямой d=

14) Прямую можно как линию пересечения 2-х непараллельных плоскостей система опред. пря-ую как геометр место точек пространства. Для канонического ур-ия: коорд. т. М получаем из системы придав к примеру х=0. Т.к прямая ито направляющий вектор принимаем за векторное произв. *

15)Пусть прямые заданы ур-ми и под углом понимают угол между направляющими =(;;) и =(;;) поэтому cos=.Если прямые то cos=0 т.е ++=0.Если прямые то т.е /=/=/

16)Наидем точку пересечения прямой с плоскостью Ax + By + Cz+D=0 для этого запишем ур-ие прямой в параметрическом виде подставляем эти выражения в ур-ия плоскости и получаем знач. t подставляем наиденое знач. параметрич. ур-ие и находим точку.

Угол назыв. любой из 2-х смежных углов. Образованный прямой и ее проекцией на плоскость sin=/

Если Lто т.е *=0 или Аm+Bn+Cp=0

Если Lто т.е А/m=B/n=C/p

17)Наидем ур-ие пл-сти проходящей через 3 точки ,,не лежащие на одной прямой. Возьмем произвольную точку М и составим векторы , ,Эти векторы компланарны. Используем условие компланарности 3-х векторов **=0

18) d=

19)Пусть L проходит через 2 точки (;)и(;).Ур-ие прямой проходящей через точку имеет вид: у-=k(x-).Т.к L проходит через т. то коорд. этой т. должны удов. ур-ию : -=k(-) отсюда k=-/-подставляем знач. k имеем у-/-= x-/- - ур-ие прямой L проходящей через 2 точки.

Вектор прямой есть направляющии вектор. (х-;у-) =

х-/m= у-/n каноническое ур-ие.

20)Пр: Ax + By + C = 0; В0 то х +у+=0у=kх+b где b= - k= - это ур-ие с угловым коэфф. угол наклона прямой к оси Ох. (;) и (;); =k+b и =k+b тогда -=k(-)k=-/-=tg. k есть tgпрямой к оси Ох

у=kх+bх=0 то у=b b-величина отрезка отсекаемого от оси Оу считая от начала координат.

Если прямые заданы ур-ми с угловым коэффициентом, то усл.состоит в равенстве их угловых коэффициентов: k1 = k2.

Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде /=/

Если прямые заданы ур-ми с угловым коэффициентом, то усл.состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е. k= - 1/

21) = пересекает скрещивается

22)Матрицей назыв. прямоугольная таблица чисел содерж. m строк и n столбцов т.е размера mn b пишут . Ее вид … Произведение 2-х матриц возможно только если число столбцов 1-ой равно числу строк 2-ой.Элемент i-ой строки и j-ого столбца матрицы произведения равен сумме произведении эл-тов i-ой строки матрицы А на соответсвующие эл-ты j-ого столбца матрицы В.

*=; =

23)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Матричная форма А*Х=В.Основная матрица содержит только коэффициенты системы.Расширенная матрицадополнена столбцом свободных членов.

Эл-ные преобразованияне меняют мн-ва решении системы Ах=b.

1) перестановка местами 2-хрядов матрицы(опред меняет знак)

2)умножение строки на число(опред умножается на противоположное число)

3)прибавление к одной строки другой умноженной на число. (опред не меняется)

24)Матрица ступенчатая если главный элемент любой ее строки находится в столбце с большим номером чем гл. эл-т предыдущей строки а нулевые строки расположены под ними. Любая матрица преобразовывается в ступенчатую с помощью эквивалентных преобразовании: 1) Перемена местами строк (2)Умножение строки на число (3) прибавление к строке другой умноженной на число.Алгоритм:1)выбираем гл. ст-ку и меняем ее с первой(2)”Вырезаем”первую ступеньку.К строке с номером j у которой гл эл-т не ноль, прибавляем 1-ю строку умноженную на = -/(3)повторяем деиствие со следующей строкой.

25)Матрица у которой все гл. эл-ты всех строк равны 1 и над ними расположены нулиесть главная ступенчатая.Алгоритм:1)выбираем гл. ст-ку и меняем ее с первой(2)”Вырезаем”первую ступеньку.К строке с номером j у которой гл эл-т не ноль, прибавляем 1-ю строку умноженную на = -/(3)повторяем деиствие со следующей строкой.(4)Зануляем эл-т стоящие над гл. эл-ми прибавляя верхнюю строку к нижней уиноженой на = -/

26)Квадратной матрице А порядка n можно составить число del A число которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле: del A=где i=1,2…n где Мiк – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца.

27)Определитель второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:из вычитаем

Если D = |A| - определитель порядка n, то минором Mij элемента называют определитель порядка n-1, получающийся из D вычеркиванием i-й строки и j-го столбца. Под алгебраическим дополнением Aij элемента понимают минор Mij, домноженный на, т.е. Aij = Mij

где Мiк – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца, т.е сумма произведений всех элементов какой-либо строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения равна значению определителя.

28)Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

29)Определитель имеющий 2 одинаковых ряда равен нулю. Если к одной строке прибавить другую умноженную на число то определитель не изменится.

30)Определитель с 2-мя одинаковыми строками равен нулю.

31) Эл-ные преобразования:

1) перестановка местами 2-хрядов матрицы(опред меняет знак)

2)умножение строки на число(опред умножается на противоположное число)

3)прибавление к одной строки другой умноженной на число. (опред не меняется)

32)Минор некоторого эл-та определителя n-го порядка назыв. Опред (n-1)-го порядка полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца на пересечении которых стоит выбранный эл-т. Mij

Алгебраическим дополнением элемента определителя назв. его минор, взятый с (+) если i+j четное и с (-) i+j нечетное Aij=Mij.

Разложение определителя

По элементам i-й строки: =++…++=

33)Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию А*=*А=Е.

Итак, чтобы найти обратную матрицу нужно:

1)Найти определитель матрицы A.

2)Найти алгебраические дополнения Aij всех элементов матрицы A и составить матрицу, элементами которой являются числа Aij.

3)Найти матрицу, транспонированную полученной матрице , и умножить её на 1/

34)Если A – квадратная матрица, то обратной для неё матрицей называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условию А*=*А=Е.

Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.

На втором этапе последовательно находятся все неизвестные, начиная с предпоследней.

35)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Формулы Крамера. В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам:

= Di/D, где D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

36)Система линеиных алгебраических ур-ии есть система вида Метод Гаусса.

На первом этапе составляется расширенная матрица, состоящая из коэффициентов при неизвестных далее приводится к виду, когда диагональ, состоящая из единичек отсекает нули. где гл. неизвестные. Ост. свободные неизв.