Шпаргалка по линейной алгебре

Вопросы к экзамену.

Векторная алгебра.

1. Рассказать о векторах на плоскости и в пространстве. Дать определение модуля вектора, нулевого вектора, коллинеарных векторов. Определить сложение и вычитание векторов. Дать определение произведения вектора на число.

2. Дать определение базиса на плоскости. Рассказать о разложении вектора по данному базису, определить координаты вектора в этом базисе.

3. Определить скалярное произведение векторов. Сформулировать его свойства. Вывести выражение скалярного произведения через координаты для случая, когда базисные векторы перпендикулярны и имеют единичную длину. Сформулировать условие перпендикулярности двух векторов.

4. Дать определение векторного произведения векторов. Рассказать о его свойствах. Найти произведения векторов, составляющих ортонормированный базис.

5. Дать определение смешанного произведения трёх векторов. Получить формулу для вычисления смешанного произведения в правом ортонормированном базисе. Записать условие компланарности.

6. Как можно различить правые и левые тройки векторов, заданных своими координатами? Рассказать об использовании смешанного произведения для вычисления объёмов.

7. Дать определение базиса и координат вектора в трёхмерном пространстве. Записать формулы для нахождения длины вектора и угла между векторами для случая прямоугольной системы координат.

8. Дать определения коллинеарных и компланарных векторов. Сформулировать признаки коллинеарности и компланарности векторов. Как решается задача о проверке принадлежности трёх точек одной плоскости?

Уравнения линий и плоскостей.

9. Записать общее уравнение прямой на плоскости, вывести уравнение прямой с нормальным вектором, дать исчерпывающую интерпретацию символов в уравнениях.

10. Записать общее уравнение прямой на плоскости. Решить задачу о нахождении угла между прямыми. Записать и обосновать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

11. Записать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой на плоскости. Вывести уравнения биссектрис углов, образованных при пересечении прямых, заданных общими уравнениями.

12. Записать общее уравнение плоскости в пространстве. Рассмотреть случай неполных уравнений. Дать исчерпывающую интерпретацию символов в уравнениях.

13. Записать и обосновать формулы для угла между плоскостями, условий параллельности и перпендикулярности. Как вычисляется расстояние от точки до плоскости?

14. Записать уравнение прямой, заданной пересечением двух плоскостей. Как осуществляется переход к каноническому и параметрическому уравнению прямой.

15. Решить задачу о нахождении угла между прямым и в пространстве, записать и обосновать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

16. Рассказать о способе нахождения точки пересечения прямой и плоскости. Найти угол между прямой и плоскостью, записать и обосновать условия параллельности и перпендикулярности.

17. Вывести уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки. Получить выражения для площадей параллелограмма и треугольника с известными координатами вершин.

18.Рассказать о способе нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве.

19.Вывести каноническое уравнение прямой и уравнение прямой,

проходящей через две точки (на плоскости).

20.Рассказать об уравнении прямой с угловым коэффициентом, дать

исчерпывающую интерпретацию символов в уравнении. Записать и

обосновать условия параллельности и перпендикулярности прямых.

21. Каким может быть взаимное расположение двух прямых в

пространстве? Каковы соответствующие признаки?

Матрицы. Определители.

22. Дать определение числовой прямоугольной матрицы, записать её элементы с помощью двухиндексных обозначений. Определить произведение двух матриц, записать формулу для вычисления элементов матрицы-произведения.

23. Записать систему из т линейных уравнений с п неизвестными. Записать систему в матричной форме. Дать определение основной и расширенной матриц системы. Определить элементарные преобразования строк таких матриц. Как меняется множество решений системы при выполнении элементарных преобразований строк расширенной матрицы?<o:p></o:p>

24. Дать определение ступенчатой матрицы. Рассказать об алгоритме приведения матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Привести пример.

25. Дать определение главной ступенчатой матрицы, рассказать об алгоритме приведения ступенчатой матрицы к главному виду. Привести пример.

26. Что такое определитель? Запишите и объясните основную формулу определителя.

27. Рассказать о способах вычисления определителей второго и третьего порядков. Записать формулы разложения определителя любого порядка по строке и столбцу. Привести примеры.

28. Проверить, что при умножении всех элементов некоторой строки на одно и то же число, определитель умножается на это число. Чему равен определитель, содержащий нулевую строку? Проиллюстрировать на примере.

29. Чему равен определитель с двумя одинаковыми строками? Как меняется определитель, если к некоторой его строке прибавить кратное другой строки?

30. Проверить, что при перестановке двух строк определитель меняет знак на противоположный. Чему равен определитель с двумя одинаковыми строками?

31.Рассказать, как меняется определитель при выполнении элементарных<o:p></o:p>

преобразований. Проиллюстрировать на примерах.

32 .Дать определение алгебраического дополнения и минора элемента

определителя. Выразить алгебраическое дополнение через минор.

Записать формулу разложения определителя по строке или столбцу.

Привести пример.

33. Дать определение обратной матрицы. Рассказать об алгоритме

получения обратной матрицы через алгебраические дополнения её

элементов.

34.Дать определение обратной матрицы. Рассказать о методе Гаусса нахождения обратной матрицы. Привести пример.

Системы линейных уравнений.

35. Записать систему из т линейных уравнений с п неизвестными в общем виде. Дать определение систем Крамера, записать формулы Крамера. Привести пример решения Крамеровской системы.

36. Записать систему из т линейных уравнений с п неизвестными в общем виде. Рассказать о решении таких систем методом Гаусса. В каком случае система имеет бесконечно много решений?

37. Дать определение невырожденной квадратной матрицы. Рассказать о способах решения систем уравнений с такой матрицей.

38. Записать систему из т линейных уравнений с п неизвестными в общем виде. Рассказать о решении таких систем методом Гаусса. В каком случае система имеет единственное решение?

39. Записать систему из т линейных уравнений с п неизвестными в общем виде. Рассказать о решении таких систем методом Гаусса. В каком случае система не имеет решений?

40. Дать определение ранга матрицы. Как, зная ранги основной и расширенной матриц системы, ответить на вопрос о совместности и определённости системы. Проиллюстрировать ответ.

Комплексные числа.

41. Дать определение комплексного числа как вектора комплексной плоскости, записать его в алгебраической форме. Показать, как складываются и вычитаются комплексные числа. Определить операцию умножения.

42. Дать определение модуля комплексного числа. Доказать, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел. Определить сопряжённые комплексные числа.

43. Рассказать об операции деления я/ц комплексных чисел. Как она выполняется для комплексных чисел в алгебраической форме?

44. Проверить, что уравнение z3 = 1 имеет 3 корня в области комплексных чисел. Изобразить корни на комплексной плоскости.

45. Как записывается комплексное число в тригонометрической форме? Как определяются модуль и аргумент комплексного числа?

46. Проверить, что аргумент произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей.

47. Записать формулу Муавра для степени комплексного числа. Рассказать, как решается задача извлечения корня любой степени из комплексного числа. Привести пример.

n - мерные координатные пространства.

48. Дать определение п - мерного вектора, п -мерного координатного пространства. Определить сложение и умножение векторов на число.

49. Дать определение линейной комбинации векторов п -мерного координатного пространства. В каком случае множество таких векторов линейно зависимо? Линейно независимо? Привести примеры.

50. Дать определение подпространства, привести примеры. Проверить, что множество решений однородной линейной системы образует подпространство п -мерного координатного пространства.

4. Определить базис и размерность п -мерного координатного пространства, разложение «-мерного вектора по базису, его координаты в этом базисе.

51. Что такое линейная оболочка! как находится базис линейной оболочки?

Ответы:

1) Векторная величина это величины, определяющиеся не только числовым значением, но и направлением

Вектор это направленный прямолинейный отрезок имеющий определенную длину и направление Если А начало вектора а В его конец то вектор обозначается символом или . Вектор ()противоположный (-)

Длиной или модулем называется длина отрезка обозначается .Вектор длина которого равна нулю назыв. нулевым и обознач. .Нулевой вектор направления не имеет.

и назыв. Коллинеарными если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Записывают .Они могут быть направлены одинаково или противоположно.

Сумму (Разность) векторов можно построить по правилу треугольника и параллелограмма. Произведение вектора на число есть вектор m* который имеет длину *, коллинеарен вектору ,имеет направление если m>0 и противоположное при m<0

2)Базисом на плоскости называется любая не упорядоченная пара неколлинеарных векторов = неупорядоченное множ-во из 2-х векторов. Т.к любой вектор разлагается по 2-м неколлинеарным векторам =+ таким образом любой вектор разлагается по базису. и координаты вектора в базисе. Координаты вектора в некотором базисе это коэффициенты разложения этого вектора по базису.

3)Скалярным произведением называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними *=**cos(угла между и )

Св-ва: 1) Переместительное =

2) Сочетательное (m)=m()

3)Распределительное (+)=+

4) =

5) Если то *=0

Условие перпендикулярности – если векторы взаимно перпендикулярны то их скалярное произведение равно нулю * = 0.

4)Векторным произведением на есть вектор который: (1) и (2)имеет длину равную площади параллелограмма построенного на и как на сторонах т.е =*sin(угол между и ) (3) векторы и образуют правую (левую) тройку.

Св-ва: 1) *= -(*)

2) Сочетательное относительно скалярного множителя m(*)=(m)*= *(m)

3) *=

4)Распределительное (+)*=+

Произведение векторов составляющих ортонормированный базис т.е =

1)и

2) =*sin90=1

3) правая троика

5)Произведение (*)* где первые 2 вектора перемножаются векторно а их результат скалярно на 3-ий есть смешанное произведение.

Векторы икомпланарны только тогда когда их смешанное произведение равно нулю (0 0 0) =0

6)Если >0 то правая троика <0 левая троика

Объем параллелепипеда V= а треугольной пирамиды V=

7)Любые 3 некомпланарных упорядоченных вектора образуют базис в 3-х мерном пространстве .Любой вектор в пространстве можно единственным образом разложить по 3-м неколлинеарным векторам =++ Координаты вектора =

Длина вектора определяется по формуле

Угол между векторами cos(угол между) =

8)Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными.

если найдется число такое, что = =*.

Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Если вектор можно разложить по векторам и , т.е. представить в виде =х+угде где х и у — некоторые числа, то векторы компланарны.

9)Уравнение вида Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой где А,В,С произвольные числа причем А,В не равно нулю одновременно. (х;у) коорд. т. на плоскости.

Наидем ур-ие прямой проходящей через т. (;) перпендикулярно вектору =(А;В).

Возьмем на прямой т. М(х;у)и рассмотрим вектор =(х-;у-)Поскольку то *=0 т.е А(х-) + В(у-)=0.Обозначив С= -А-Вокончательно имеем Ax + By + C = 0.

10) Уравнение вида Ах+Ву+С=0 называется общим уравнением прямой где А,В,С произвольные числа причем А,В не равно нулю одновременно. (х;у) коорд. т. на плоскости.

Случай1

: х+у+=0 {;}

: х+у+=0 {;} Нормали образуют теже углы что и сами прямые поэтому cos=+/

если т.е /= /

+=0