Варианты домашней работы

А.

Сколькими способами можно число n представить в виде суммы k натуральных слагаемых. Представления, различающиеся лишь порядком слагаемых, считаются разными. x+x+ … +x=ni x0

Z – множество, /Z/=n, n>=3. XZ, YZ. Найти число пар (X,Y), таких что XY=. Найти число пар (X,Y), таких что XY=иXY=.

Ё.

Доказать, что число бинарных последовательностей длины n, не содержащих единиц ни на каких двух соседних позициях, равно числу Фибоначчи F. F=1 F=1 … F=F+F

Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15. Показать, что если n=30m, то количество целых положительных чисел, не превосходящихn и не делящихся ни на одно из чисел 6, 10 и 15, равно 21m.

Ж.

Сколькими способами можно число 7представить в виде трёх сомножителей. Представления, различающиеся лишь порядком сомножителей, считаются разными.x+x+ x= n, т.к. 777=7 i x0

Четверо сдали шляпы в гардероб. Найти вероятность того, что точно k человек получат свои шляпы назад. Рассмотреть все k: 0<=k<=4.

З.

Соревнования проводятся в трёх видах спорта и участвуют в них 10 человек, причём каждый только в одном произвольно выбранном виде. Сколько существует распределений мест для всех спортсменов, стартующих в каждом виде?

Определить количество целочисленных решений системы: x+y+z=40 4<=x<=10, 3<=y, 2<=z.

И.

Сколькими способами можно число 7представить в виде трёх сомножителей. Представления, различающиеся лишь порядком сомножителей, не считаются разными иn3s. x+x+ x=n,т.к. 777=7 i x0

Определить количество целочисленных решений системы: x+y+z=60 9<=x<=19, 9<=y, 9<=z<=19.

Й.

Сколько чисел между 1000 и 9999 в которых: а) 3 встречается 1 раз; б) 3 не встречается; в) 7 встречается 3 раза.

15 точек на окружности выбираются 7. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними? А если из 16 выбираются 5? Выписать наборы.

К.

Бросают три игральные кости. Сколькими способами они могут упасть так, что все оказавшиеся сверху грани либо одинаковы, либо попарно различны? Две из трёх совпали?

На кафедре работают 13 человек и каждый знает хотя бы один иностранный язык. 10 человек знают английский, 7 – немецкий, 6 – французский, 5 – английский и немецкий, 4 – английский и французский, 3 – немецкий и французский. Сколько знают: а) все три языка; б) – ровно 2 языка; в) только английский.

Л.

Сколько существует неотрицательных целых чисел, не превышающих 10-1, цифры которых расположены в неубывающем порядке?x – число нулей в начале числа, x – число 1, … , x – число девяток в конце числа. x+x+ … +x=ni x0

Определить количество целочисленных решений системы: x+y+z=40 3<=x, 0<=y, 2<=z.

М.

Каково число матриц из n строк и столбцов с элементами из множества {0, 1}? То же при условии, что строки матрицы попарно различны?

Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 3, 5 и 7. Определить количество целых положительных чисел, не превосходящих n и не делящихся на 3, 5 и 7, если n=105m.

Н.

Имеем 5 букв слова ГИПЕР. А) сколько пятибуквенных слов можно образовать из букв этого слова (буквы могут повторяться, порядок не существенен); в скольких из этих слов: б) либо одновременно нет Г и И, либо нет какой либо из них; в) есть либо и Г и И, либо одна их них; г) нет П и Р; д) есть П и Р.

Из 15 точек на прямой выбираются 5. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними? А если из 15 выбираются 6? Выписать наборы.

О.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G=.

Из 21 точки на окружности выбираются 5. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними? А если из 21 выбираются 8? Выписать наборы.

П.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G = .

Определить количество целочисленных решений системы: x+y+z=30 2<=x, 1<=y<=9, 0<=z<=5.

Р.

Составить код Хаффмана для последовательности из 6-ти символов: a, b, c, d, e и f с вероятностями появления: 0.05, 0.1, 0.15, 0.2, 0.22 и 0.28 соответственно.

Известно, что 60 % студентов читают журнал А, 50 % - журнал В, 50 % - журнал С, 30 % - журналы А и В, 20 % - журналы В и С, 40 % - журналы А и С, 10 % - журналы А, В и С. Сколько % студентов а) не читают ни одного журнала; б) читает только 2 журнала; в) читает более одного журнала?

С.

кода С найти число обнаруживаемых и исправляемых ошибок: С={11000, 10101, 01110}; С={111100, 110011, 001111}; С={00001, 11111, 10100, 01010}; С={101010, 010110, 000001}; С={01101010, 11000110, 00011001, 10101100}.

Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 200 и не делящихся ни на одно из простых чисел: а) 2, 3, 5; б) 7, 11, 13.

Т.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G=.

Имеется 4 различных предмета и 4 различных ячейки. Предметы и ячейки пронумерованы. Сколько существует способов разделить предметы по ячейкам так, чтобы ровно 2 предмета попало в свои ячейки. Тоже для 2n предметов.

У.

Пусть 11010011 и 11001111 искажённые слова (4, 7) –кода Хемминга с проверкой на чётность (последний, 8 бит – контрольная сумма). Какое из слов содержит одиночную, а какое двойную ошибку. Определить положение одиночной ошибки.

Множество А={0, 1, …, 9} и 4 свойства: 1: аА и а кратно 3;2: аА и а кратно 5;3: аА и 2а7;4: аА и а+а> 4. Сколько элементов множества А обладают: а)124;

б) 134;

в) 1234;

г) 1(12).

Ф.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G = .

Определить количество целочисленных решений системы: x+y+z=23 1<=x<=8, 0<=y<=7, 1<=z<=9.

Х.

Показать, что d(a,b)=w(a)+w(b)-2w(ab), где - покоординатное логическое «и». w (a)=e+e. e- число единиц в a, в позициях которых у b тоже единицы. e - число единиц в a, в позициях которых у b нули.

Множество А образовано парами (i, j), i, j=1, 2, 3, 4, 5 и имеется 5 свойств: 1: (i+j) чётно; 2:j нечётно; 3:i чётно; 4: ij<16;5:i=2j. Сколько элементов А обладают: а) 123: б)134; в)235.

Ц.

Определить положение одиночной ошибки в искажённом слове 1100011 (4, 7)-кода Хемминга. Какое слово было передано?

Определить коэффициент к в следующих членах многочлена (с приведёнными подобными членами), получаемого из алгебраического выражения (а+в+с) (а+в+с): а) кавс; б) кавс; в) кав; г) кавс.

Ч.

Построить по методу Хемминга кодовое слово для исходных сообщений: 0110; 11100111101.

Множество А={0, 1, …, 9} и 4 свойства: 1: аА и а кратно 3;2: аА и а кратно 5;3: аА и 2а7;4: аА и а+а> 4. Сколько элементов А обладают точно ни одним, одним, двумя, тремя или четырьмя свойствами?

Ш.

Есть пары (x,y) ZZ. Есть две операции на множестве пар * и (звёздочка и кружок): (x,y)*(w,v)=(x+w,y+v); (x,y) (w,v)=(xw+yv,xv+yw). Показать, что получили кольцо. Z – множество целых чисел.

Множество А образовано парами (i, j), i, j=1, 2, 3, 4, 5 и имеется 5 свойств: 1: (i+j) чётно; 2:j нечётно; 3:i чётно; 4: ij<16;5:i=2j. Сколько элементов А обладают ни одним, одним, двумя, тремя, четырьмя или пятью свойствами?

Щ.

Указать обратимые элементы в кольцах вычетов по модулю 7 (z/7) и 8 (z/8). Элемент а обратим, если существует обратный ему а, такой что аа=аа=е. (-3)5 (mod 8).

Рассмотрим пары целых положительных чисел, не превосходящих 200. Найти количество пар, не имеющих общими делителями ни одно из простых чисел: 2, 3 и 5.

Ы.

Доказать, что группа Клейна V есть нормальный делитель симметрической группы S. V={e, ((12)(34)),((13)(24)),((14)(23)}.

Z – множество, /Z/=n, n>=3. XZ, YZ, WZ.Найти число троек (X,Y,W), таких что XYW=иXYW=.

Ъ.

Написать таблицу Кэли и выяснить, являются ли группой: а) 4 вращения квадрата на 0(е), 90, 180и 270; б) 4 симметрии квадрата + е; в) 2 симметрии ромба + е; г) 2 симметрии прямоугольника + е).

Число Фибоначчи F – это число бинарных последовательностей длины n, не содержащих единиц ни на каких двух соседних позициях. Доказать, что F==, где [x] – целая часть x.

Ь.

Описать 4 подгруппы симметрической группы S, содержащие 2, 3, 4 и 6 элементов соответственно.

Рассмотрим пары целых положительных чисел, не превосходящих 200. Найти количество пар, не имеющих общими делителями ни одно из простых чисел: 7, 11 и 13.

Э.

Описать кольца вычетов по модулю 7 (z/7) и 8 (z/8). Числа, входящие в один класс вычетов по модулю 8 и 7, соответственно: (-3)5 (mod 8).

(-12)2 (mod 7).

Из 15 точек на прямой выбираются 6. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними. Выписать все наборы.

Ю.

Доказать, что пересечение нормальных делителей есть нормальный делитель. А объединение?

Найти число простых чисел, не превосходящих 100. 2, 3, 5 и 7 – простые числа, не превосходящие 10=. Если число не простое и находится между 10 и 100, то оно обязательно делится на одно из 2, 3, 5 или 7.

Я.

Определить множества правых и левых смежных классов симметрической группы S по подгруппе H=<(132)>. Будет ли подгруппа H – нормальным делителем ?

Рассмотрим пары целых положительных чисел, не превосходящих 1000. Найти количество пар, не имеющих общими делителями ни одно из простых чисел: 3, 5 и 7.

Б.

Доказать, что ({0,1},) и ({0,1},~) – моноиды. Указать единичные элементы. А что такое ({0,1},) и ({0,1},)?

Рассмотрим пары целых положительных чисел, не превосходящих 100. Найти количество пар, состоящих из взаимно простых чисел, т.е. чисел, не имеющих общих делителей. 2, 3, 5 и 7 – простые числа, не превосходящие 10=. Если число не простое и находится между 10 и 100, то оно обязательно делится на одно из чисел 2, 3, 5 или 7.

В.

Описать все подгруппы симметрической группы S. Какие из них являются нормальными делителями?

Из 15 точек на прямой и на окружности выбираются 6. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними? Выписать наборы.

Г.

Доказать, что матрицы вида с действительными а и в образуют кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.+=;

=.

Из 21 точки на прямой и на окружности выбираются 8. Каково число таких наборов, что никакие две точки в них не являются соседними? Выписать наборы .

Д.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G=;

Экзамен состоит из 10 вопросов, 3 из них по математике. Сколькими способами можно поставить 10 вопросов так, чтобы никакие два вопроса по математике не следовали один за другим.

Е.

Построить по методу Хемминга кодовое слово для исходных сообщений: 1101; 01110111011.

Сколько четырёхбуквенных слов можно образовать из букв слова ИНТЕГРАЛ? (под «словом» понимается размещение).

1.

Доказать, что при кодировании сообщений по методу Хемминга кодовые слова, сопоставленные двум различным сообщениям одинаковой длины, различаются по меньшей мере в трёх разрядах.

Сколько чисел между 1000 и 10000 состоит из нечётных цифр, сколько из различных цифр?

2.

Построить по методу Хемминга кодовые слова для исходных сообщений: 1001; 10001001101.

Город имеет вид прямоугольника, разделённого улицами на квадраты. Таких квадратов с севера на юг n, а с востока на запад k. Сколько существует кратчайших маршрутов от северо-восточного конца города до юго-западного. Один ход на юг – 0, а на запад – 1.

3.

Составить код Хаффмана для последовательности из 6-ти символов: a, b, c, d, e и f с вероятностями появления: 0.1, 0.1, 0.1, 0.2, 0.2 и 0.3 соответственно.

Дано m предметов одного сорта и n другого. Найти число выборок, составленных из r предметов одного сорта и s предметов другого. Из k предметов любого сорта.

4.

Пусть двоичные числа длины n a и b являются кодовыми словами, построенными по методу Хемминга. Доказать, что ab – тоже кодовое слово. Какое слово в нём закодировано? В слове a закодировано слово c, в b – d. - покоординатное сложение по модулю 2.

Сколькими способами можно расставить n нулей и k единиц так, чтобы между любыми двумя единицами находилось не менее m нулей? (определить, при каких n и k это возможно, далее рассмотреть «лишние» нули и как их можно расставить)

5.

кода С найти минимальное кодовое расстояние: С={11000, 10101, 01110}; С={111100, 110011, 001111}; С={00001, 11111, 10100, 01010}; С={101010, 010110, 000001}; С={01101010, 11000110, 00011001, 10101100}.

Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы некоторое одинаковое число встретилось на обеих костях. (рассмотреть 7 дублей и 21 недубль)

6.

Построить по методу Хемминга кодовые слова для исходных сообщений: 0100; 10101011001.

Сколько диагоналей в правильном 20-угольнике? Сколько сторон у правильного многоугольника с 35 диагоналями?

7.

Характеристическая функция кода f(x, … ,x) равна 1 на кодовых словах и только на них. Сколько ошибок обнаруживает и сколько исправляет код с характеристической функцией f: а) f(x, … ,x)= xx…

x; б) f(x, … ,x)= xx…xxx…xx… xx…x.

Сколькими способами можно разместить 12 человек по трём комнатам, если в первую можно поместить 2, во вторую 6, а в третью – 4 человека?

8.

Характеристическая функция кода f(x, … ,x) равна 1 на кодовых словах и только на них. Сколько ошибок обнаруживает и сколько исправляет код с характеристической функцией f: а) f(x, … ,x)= xx…x xx…x; б) f(x, … ,x)=xx…xx…xx…xx…xx…xx…x x……x

x…x. - сложение по модулю 2.

В концерте участвуют три певца и две певицы, каждый участник с одним номером. Сколькими способами можно составить программу, если концерт должен начинаться и оканчиваться выступлением певца? А если певицы?

9.

Образуют ли поле множество матриц вида а) с рациональными а и в; б) с действительными а и в?

+=;

=.

У денди 14 пар перчаток. Сколькими способами можно выбрать одну левую и одну правую так, чтобы они были не из одной пары? А две левых и две правых и все разные?

Q.

Доказать, что любая подгруппа индекса 2 есть нормальный делитель. Привести пример.

Сколькими способами можно вытащить 13 карт из колоды в 52 карты: а) если карта после вытаскивания возвращается обратно; б) если карта не возвращается. Рассмотреть случаи, когда порядок важен (пасьянс) и когда не важен (покер).

W.

Какие из следующих групп изоморфны: а) группа вращений квадрата; б) группа самосовмещений ромба; в) группа самосовмещений прямоугольника; г) группа класса вычетов по модулю 4.

Сколько палидромов длины n можно образовать, используя 33 буквы алфавита? Палидром читается одинаково как слева направо, так и наоборот, например: «топот», «потоп».

R.

Доказать, что любая группа порядка 3 является коммутативной. Привести пример.

В соревновании принимают участие 8 спортсменов. Сколькими способами могут быть разделены медали (золотые, серебряные, бронзовые)?

U.

Доказать, что (z,*) - целые числа с операцией звёздочка - , где а*в=ав+а+в (3*5=35+3+5=23) – моноид. Найти все обратимые элементы. Элемент а обратим, если существует обратный ему а, такой что а*а=а*а=е. е – единица,аz а*е=а.

Рассмотрим слово ФРАГМЕНТЫ. Сколько совокупностей из букв, не повторяя их, можно образовать: а) беря все буквы; б) беря 8 букв; в) беря 2 буквы.

S.

Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, содержащие два, три и четыре элемента. Привести примеры.

Пусть А={а,б,в,г,д,е,ж,з}. Сколько существует: а) трёхэлементных подмножеств А? б) пятиэлементных подмножеств А, содержащих б? в) пятиэлементных подмножеств А, не содержащих б? г) пятиэлементных подмножеств А, содержащих б, но не содержащих а и е?

D.

Пусть а*а=е элемента а группыG, где * – групповая операция. Доказать, что группа G коммутативна. Для примера рассмотреть группа Клейна V, являющуюся подгруппой симметрической группы S. V={e, ((12)(34)),((13)(24)),(14)

(23)}={, ,,}.

Доказать, что число разбиений числа n, в котором ни одно из слагаемых не превосходит k, равно числу разбиений числа (n+k) на k слагаемых. x+ … +x=n i kx0 . y – это кол-во элементов вектора x, больших и равных i, + 1 (плюс единица). y+…+y=n+k i y1. Чем сверху ограничено y?

F.

Пусть H – множество подстановок группы S. Будет ли оно подгруппой в следующих случаях: а) H=; б)H=.

Сколькими способами можно назвать ребёнка, если общее число имён равно 300? Более трёх имён одному ребёнку дать нельзя.

G.

Образуют ли поле относительно сложения и умножения чисел: а) комплексные числа; б) комплексные числа а+iв с целыми а и в; в) комплексные числа с рациональными а и в.

Из колоды в 52 карты выбрали 10 карт. В скольких случаях среди них окажутся: а) пиковая дама; б) все 4 дамы; в) все карты одной масти; г) ни одного туза; д) карты двух мастей.

J.

Есть пары (x,y) QQ. Есть две операции на множестве пар * и (звёздочка и кружок): (x,y)*(w,v)=(x+w,y+v); (x,y) (w,v)=(xw+yv,xv+yw). Показать, что получили поле. Q – множество рациональных чисел.

Из колоды в 52 карты выбрали 10 карт. В скольких случаях среди них окажутся: а) ровно 1 туз; б) хотя бы один туз; в) ровно 2 туза; г) карты всех четырёх мастей; д) 10 последовательно занумерованных карт.

L.

Пусть P(X) – множество всех подмножеств множества X (множество-степень), с операциями симметрической разности (+) и пересечения(). А+В=(АВ)\(АВ), где А, ВX. Доказать, что получили кольцо с единицей, все элементы аддитивной группы которого имеют порядок 2.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G = .

Z.

Описывая самосовмещения геометрических фигур подстановками на множестве вершин, указать: а) группу вращений тетраэдра; б) подгруппы этой группы, изоморфные циклической группе второго и третьего порядков; в) группу вращений куба.

Д-ть несовместимость системы соотношений a,b, c: w(a)>w(bc); w(b)>w(ac); w(c)>w(ab); w(a (bc))=. - это покоординатное сложение по модулю 2, - покоординатное логическое «и». Расположить a, b, c друг под другом и в каждой из n позиций будут двоичные числа от 0 до 6. Определить вклад каждой позиции в неравенства.

V.

Пусть а и в – произвольные элементы группы G. Доказать, что каждое из уравнений ах=в и уа=в имеет, и притом единственное, решение в данной группе. Когда х=у?

По кодовому слову, построенному по методу Хемминга, восстановить исходное сообщение: 110; 0101101; 1100011.

N.

Пусть а – элемент конечного порядка q. Доказать что тогда порядок циклической подгруппы <а> равен q. Привести пример.

Верно ли, что код, исправляющий t ошибок, обнаруживает а) не менее 2t+1 ошибок; б) не менее 2t ошибок; в) не более 2t ошибок. Сколько ошибок исправляет, если обнаруживает t. Составить код Хаффмана для последовательности из 5-ти символов: a, b, c, d и e с вероятностями появления: 0.1, 0.15, 0.2, 0.25 и 0.3 соответственно.

Y.

Доказать, что множество H всех элементов группы G, каждый из которых перестановочен со всеми элементами группы G (g: gG и h: hH gh=hg), а) образует группу; б) является нормальным делителем G (центр группы G).

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами:

G=;

@.

Доказать, что числа вида 4k+1, где k – натуральное (kN), образуют полугруппу по умножению.

Показать, что из всякого подмножества СВможно получить код, обнаруживающий одну ошибку, удалив из С не более половины его элементов (двоичных чисел длинуn).

#.

Показать, что операции в Z (целые числа), определяемые свойствами «чётный» или «нечётный» соответственно, образуют поле Галуа с характеристикой 2 (кольцо класса вычетов по модулю 2). Операции: сложение (а+в), умножение (ав), вычитание (а-в), остаток при делении нацело.

По кодовому слову, построенному по методу Хемминга, восстановить исходное сообщение: 1001011; 1011101; 001011110111111.

%.

Доказать, что а) множество целочисленных многочленов Z[x] образует кольцо; б) множество Z целых чисел является подкольцом Z[x]; в) множество nZ[x] многочленов, коэффициенты которых кратны числу n>1, является подкольцом Z[x].

Построить по методу Хемминга кодовое слово исходного сообщения (1011). Декодировать кодовое слово (1001110).

&.

Доказать, что а) множество А целых гауссовых чисел, т.е. чисел вида а+вi с целыми а и в, образует кольцо; б) множество Z целых чисел является подкольцом кольца А.

По порождающей матрице G найти минимальное расстояние между кодовыми словами: G = .

$.

Z={C, C, … ,C} – кольцо классов вычетов по модулю n. SZ и S={C: k>0 и k взаимно – просто с n, то есть у них нет общих делителей}. Будет ли S группой по умножению?

Доказать, что a, b, c: d(a,c)=d(ab ,cb); где - покоординатное сложение по модулю 2.

?.

Найти 5 подполугрупп множества рациональных чисел R по сложению. xR, если x=k/n, где kZ и nZ (целые).

Выписать циклы для подстановок: ,,

,

.

!.

Доказать, что действительные числа D образуют полугруппу по операции max (*), то есть a*b=max(a,b), где aD и bD.

Перемножить две подстановки, A и B, записанные в виде циклов: а) A=(1, 3, 4) (2, 5) и B=(1, 2) (3, 4) (5), б) A=B=(1, 2) (3, 4) (5, 6), в) A=(1, 2, 3) (4, 5, 6) и B=(1, 2) (3, 4) (5, 6), г) A=(1, 2, 3, 8) (4, 5, 6) (7) и B=(1, 2) (3, 8) (5, 4) (6, 7).

Доказать, что nn квадратные матрицы с операцией умножения, у которых det0, образуют моноид. (det(A) det(B)=det(AB)). Что можно сказать о nn квадратные матрицах, у которых det=0?

Проверить, будет ли сумма двух не делителей нуля делителем нуля или нет.

Привести пример бинарной операции на множестве действительных чисел D, относительно которой они не образуют полугруппу.

Проверить, будет ли произведение двух не делителей нуля делителем нуля или нет.