Домашняя работа по алгебраическим структурам, теории кодирования, комбинаторике и, в частности, по формуле включений и исключений

На множестве M определена бинарная алгебраическая операция, если каждой упорядоченной паре элементов множества ставится в соответствие вполне определённый элемент этого же множества M. Для конечного множества операцию можно задать квадратной таблицей Кэли, в которой на пересечении строк и столбов, соответствующих элементам множества, находятся соответствующие им результаты операции. При мультипликативной записи операция называется умножением, а при аддитивной – сложением. Операция коммутативна, если a, b M a*b=b*a; операция ассоциативна, если a, b, c M a*(b*c)=(a*b)*c (мультипликативная запись). Множество M, на котором определена операция, обладает единичным элементом e, если a M a*e=e*a=a. При аддитивной записи единичный элемент называется нулём.

Множество, с заданной на нём бинарной ассоциативной операцией, называется полугруппой. Для проверки, является ли множество относительно данной операции полугруппой, надо выяснить два вопроса: не выводит ли операция из множества и ассоциативность самой операции. Полугруппа с единичным элементом называется моноидом. У полугруппы и моноида могут быть подполугруппы и подмоноиды, соответственно.

Элемент моноида a называется обратимым, если в моноиде существует обратный ему элемент a, такой что a*a=a*a=e. Моноид, все элементы которого обратимы, называется группой. Для проверки, является ли множество относительно данной операции группой, надо выяснить четыре вопроса: не выводит ли операция из множества, ассоциативность операции, наличие единицы в множестве относительно этой операции и наличие обратного элемента для каждого элемента множества. Если операция коммутативна, то группа будет коммутативной или абелевой. У группы могут быть подгруппы.

Если группа состоит из всех степеней одного элемента, то она называется циклической. Группа всех биекций конечного множества мощности n в себя называется симметрической группой степени n и обозначается S. Теорема Кэли: каждая конечная группа изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S.

Если у группы существует подгруппа, то тогда группа разбивается относительно этой подгруппы на множество левых смежных классов и на множество правых смежных классов. Если эти разбиения совпадают, то подгруппа называется нормальным делителем. Теорема Лагранжа: порядок конечной группы делится на порядок своей подгруппы.

Полугруппы, моноиды и группы – это алгебраические структуры с одной алгебраической операцией. Кольца и поля – алгебраические структуры с двумя операциями, сложением и умножением. Относительно операции сложения кольцо образует коммутативную группу, а относительно умножения – полугруппу. В кольце операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности: (a+b)*c=a*c+b*c и c*(a+b)= c*a+c*b. Значит, кроме проверки кольца на группу по сложению и на полугруппу по умножению, надо проверить и дистрибутивность этих операций. Если умножение коммутативно, то кольцо тоже называют коммутативным; если по умножению в кольце есть моноид, то это кольцо с единицей. В кольце с единицей есть и нуль (0 - единица по сложению) и единица (1 - по умножению).

Если в кольце a*b=0 и a0, b0, то a – левый, а b – правый делитель нуля. Поле – это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим. В поле не может быть делителей нуля. Аддитивная группа поля (по операции сложения) содержит все его элементы, а мультипликативная его группа (по операции умножения) не содержит нуля, т.е. содержит на один элемент меньше, чем аддитивная группа. Конечные поля, число элементов в котором является простым числом, называются полями Галуа.

Расстоянием Хемминга d(a,b) между двумя двоичными словами a и b называют число несовпадающих позиций в них. Оно удовлетворяет аксиомам расстояний: расстояние неотрицательно и равно нулю, только если a=b; d(a,b)=d(b,a); d(a,b)+d(b,c)d(a,c) (неравенство треугольника). Вес w(a) двоичного слова a равен числу единиц среди его координат. d(a,b)=w(a+b), где «+» - это операция покоординатного сложения двоичных слов по модулю два.

Двоичный (m,n)–код переводит исходные двоичные слова длиной m (состоящие из m бит или позиций) в кодовые слова длиной n. mn. Коды делятся на два класса: с обнаружением ошибок при декодировании и с исправлением ошибок. Теорема: для того, чтобы код позволял обнаруживать ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы минимальное расстояние между кодовыми словами было k+1. Теорема: для того, чтобы код позволял исправлять ошибки в k (или менее) позициях, необходимо и достаточно, чтобы минимальное расстояние между кодовыми словами было 2k+1.

Любой (m,n)-код можно задать, указав 2кодовых слов. Матричные кода можно задать более экономно с использованием порождающей матрицыG порядка mn. b=aG, где a – исходное двоичное слово длины m, а b – кодовое слово длины n. j b=aG+ … + aG, где «+» означает сложение по модулю два. Первая строка матрицы G является кодовым словом для исходного слова, в котором единица стоит только на первой позиции, вторая – для исходного слова, в котором единица стоит только на второй позиции, … , m-я строка – для исходного слова, в котором единица стоит только на последней , m-й позиции.

Двоичный (m,n)-код называется групповым, если его кодовые слова образуют коммутативную группу с операцией покоординатного сложения по модулю 2. Матричные коды являются групповыми. В групповом коде минимальное расстояние между кодовыми словами равно минимальному весу ненулевого кодового слова.

Коды Хемминга тоже являются матричными, а значит и групповыми. Это (m,n)-коды, где m=2-1-r, n=2-1 для r>1. Для r=2 это (1,3)-код; для r=3 это (4,7)-код; r=4 это (11,15)-код и т.д. Эти коды исправляют однократную ошибку, поскольку минимальный вес кодового слова равен 3. В каждом кодовом слове b позиции, номера которых являются степенью двойки, - контрольные, а остальные позиции – это позиции исходного сообщения, расположенные в том же порядке.

Контрольные позиции определяются из системы уравнений: bM=0. M – матрица порядка r(2-1), в j-м столбце которой находятся символы двоичного разложения числа j. Для r=2, 3, 4 матрицы имеют вид:

Система уравнений: bM=0 для r=3 имеет вид:

b+b+b+b=0

b+b+b+b=0 здесь «+» - сложение по модулю два.

b+b+b+b=0

Для (4,7)-кода Хемминга порождающая матрица G =

Набор r элементов из n – называется (n,r)-выборкой. В упорядоченной выборке (размещении) задан порядок следования в ней элементов. Неупорядоченная выборка называется сочетанием. Если в выборке допускаются повторения элементов, то она называется выборкой с повторениями. Выборки:

	Размещения	Сочетания
С повторениями	_ A=n	_ C=C
Без повторений	A=n!/(n-r)! rn	C= n!/((n-r)!r!) rn

При n=r A обозначается как P, т.е. P= A=n! - число перестановок n-элементного множества. Для примера определим количество целочисленных решений системы: x+x+ … +x=r, xa, i=1, 2, … ,n. a - целые числа. При целых n1 и r0 количество решений в целых неотрицательных числах уравнения x+x+ … +x=r равно C. Каждому решению <x, x, …, x> этого уравнения можно поставить в соответствие (n,r)-размещение с повторениями, такое что, в нём содержится x элементов первого типа из n-элементного множества, x элементов второго типа из n-элементного множества, и т.д. Сделаем замену переменных u=x-a. Тогда u+u+ … +u=r-a=r’ . При r’0 количество целочисленных решений равно C.

Число разбиений конечного n-элементного множества на k подмножеств таких, что i-е подмножество содержит n элементов, C=n!/(n!…n!). Набор подмножеств в разбиении является упорядоченным.

Полиномиальная формула: (x+x+ … +x)=Cx… x.

Пусть на конечном N-элементном множестве определены n свойств, которыми элементы этого множества могут и обладать, и не обладать. N(a, … ,a) – это количество элементов в множестве, обладающих одновременно свойствами a, … ,a. N- количество элементов в множестве, на обладающих ни одним из n свойств. N = N - S+ S- … + (-1) S. S= N(a, … ,a), j=1, 2, … , n. Например, сколько целых чисел от 100 до 200 не делится на 3, 4, 5? Здесь n=3, три свойства: делится нацело на 3, 4 и 5. N=101-(33+25+20)+(8+6+5)-(2)=40. Здесь в первой скобке 33 – это количество чисел от 100 до 200, делящихся на 3 (33=[101/3]); 25=[101/4]; 20=[101/5]. [x] – целая часть числа x. Во второй скобке 8 - это количество чисел от 100 до 200, делящихся на 3 и на 4, т.е. на 12=34, 8=[101/12]; 6=[101/15], где 15=35; 5=[101/20], 20=45. Если в первой скобке суммы находятся все наборы из трёх свойств по одному, а во второй – из трёх свойств по два, то в третьей - один единственный набор из трёх свойств по трём. В третьей скобке 2=[101/(345)].

Применим формулу включений и исключений для определения количества целочисленных решений системы: x+x+ … +x=r, bxa, ba, i=1, 2, … ,n. a, b-целые числа. Воспользуемся n свойствами: , xb+1. Исходное множество – это количество целочисленных решений системы, когда x не ограничены сверху (смотри выше), а N - количество целочисленных решений этой системы. Для примера определим количество двузначных чисел, в которых сумма цифр равна 14. x и x - это первая и вторая цифры в двузначном числе. x+x=14, 9x1, 9x0. N – количество целочисленных решений системы без ограничений сверху: x+x=14, x1, x0, где n=2 r’=14-1=13. Введём два свойства: x10 и x10. В S два слагаемых и первое определяется при n=2 r’=14-10=4, а второе – при n=2 r’=14-10-1=3. S определяется при n=2 r’=14-10-10= - 6, и значит S=0. N=N-S=C-(C+C)=C-(C+C)=14-(5+4)=5. И действительно, это цифры 95, 86, 77, 68, 59.

Первая лемма Капланского: из n объектов (точек) на прямой выбираются k. Число f(n,k) таких наборов, что никакие два из выбранных k объектов не являются последовательными (соседними) равно C при k(n+1)/2. Действительно: n2k+1, минимальное значение n, при котором существует ровно одно решение, это n=2k+1. Если n>2k+1, то значит имеется t ”лишних” (t=n - 2k+1) объектов, для которых существует (k+1) позиция. Первая позиция - перед первым выбранным объектом, вторая – между первым и вторым выбранными объектами, … , последняя – после последнего выбранного объекта. x из этих t точек будет в первой позиции, x - во второй, и т.д. Получили: x+x+ … +x=t и число решений равно C= C= C= C.

Вторая лемма Капланского: из n объектов (точек) на окружности выбираются k. Число g (n,k) таких наборов, что никакие два из выбранных k объектов не являются последовательными (соседними) равно (n C)/(n-k).

Пусть множество A={a, a, … a}. Сколько существует наборов из трёх подмножеств A (X, Y, Z) таких что, XA, YA, ZA, ZX=,XYZ=A. Для каждого элемента aA множества A существует три свойства: aX, aY и aZ. Для каждого a существует 8 типов такой принадлежности: aXYZ, aXYZ, aXYZ, aXYZ, aXYZ, aXYZ, aXYZ, aXYZ. Здесь X=A/X, для Y и Z аналогично. Из этих восьми типов надо оставить те, что не противоречат двум условиям на подмножества: ZX=и XYZ=A. Поэтому не существует таких элементов A, что aXYZ и aXYZ, так как ZX=. Кроме того, не существует таких элементов A, что aXYZ, так как XYZ=A. Каждое aA, значит каждое aA или a( XYZ) или aXYZ. Из восьми типов осталось пять, существует 5троек подмножеств множестваA (X, Y, Z) с заданными условиями.