Варианты контрольной работы

1.

Доказать: а) АВСАС и ВС; б) (А \ В)В=АВА; в) АВ=(А+В)(АВ); г) А(ВС)=(АВ)С; д) А(ВС)=(АВ)С.

Доказать, что а) Q()(Q); б) ()Q(Q);

в) в пунктах (а) и (б) включения нельзя заменить равенствами.

2.

Решить систему уравнений:

; где А, В и С - множества

Доказать, что для произвольных множеств А, В, С, Д: а) (А \ В) С=(АС) \ (ВС); ; б) А(В \ С)=(АВ) \ (АС).

3.

Доказать: а) АССА; б) АВ=АВА=В; в) А=ВАВ=и АВ=; г) А(В \ А)=.

Доказать, что а) D==R=; б)D=R, R=D. Определения: xDy: <x,y>.xRy: <y,x>. <x,y> z: <x,z>и <z,y>.

4.

Доказать, что P(A) = {B:BP(A) }.

Доказать, что А, В и С такие, что а) АВВА; б) А(ВС)(BC) A.

5.

Доказать: (А…А)+(В…В)(А+В)…(А+В) .

Пусть Х – конечное множество и отображение f: ХХ инъективно. Доказать, что тогдаf биективно.

6.

Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов f(x) и g(x) с действительными коэффициентами совпадает с множеством всех действительных корней многочлена w(x)=f(x)*f(x)+g(x)*g(x).

Доказать, что для любых бинарных отношений а) ()=();

б) Q ()=(Q ).

К.

Существуют ли такие множества А, В и С, что АВ, АС=, (АВ) \ С=?

Доказать, что а) А(ВС)=

(АВ)(АС); б) (АВ)(СД)=(АС)(ВС)(АД)(ВД).

Л.

Доказать: а) А+(А+В)=В; б) АВ =А+В+(АВ); в) А \ В=А+(АВ).

Доказать, что для любых бинарных отношений а) ==;

б) ()= .

У.

Решить систему уравнений:

; где А, В и С - множества

Характеристической функцией множества А называется функция (х)=. Пусть известны характеристические функции множеств А и В. Доказать, что: а)(х)=(х)(х); б)(х)=(х)+(х)-(х)(х); в)(х)=1-(х); г)(х)=(х)-(х)(х).

Ф.

Доказать: а) (АВ)С=А(ВС)СА; б) АВАСВС; в) АВАСВС; г) АВ(А \ С)(В \ С).

Доказать, что (АВ)(СД)(АС)(ВД). При каких А, В, С, Д включение можно заменить равенством?

Х.

Доказать: а) А \ (В \ С)=(А \ В) (АС); б) А+(В+С)=(А+В)+С; в) А(В+С)=(АВ)+(АС).

Для каких бинарных отношений справедливо= -?

Ч.

Доказать, что P(A) =P(A).

Доказать, что АВ=(АВ).

Ш.

Доказать, что если t=1..n АВ, тоАВиАВ.

Пусть А, В и (АВ)(ВА)=СД. Доказать, что в этом случае А=В=С=Д.

Щ.

Доказать: а) А \ (ВС)=(А \ В)(А \ С); б) А \ (ВС)=(А \ В)(А \ С); в) А \ (А \ В)=АВ.

Пусть множество А находится во взаимно однозначном соответствии с А, а В – с В. Показать, что можно установить взаимно однозначное соответствие между: а) АВ и АВ; б) между АВ и АВ, если АВ=и АВ=.

Z.

Доказать, что объединение множеств корней многочленов f(x) и g(x) совпадает с множеством всех корней многочлена w(x)=f(x)*g(x).

Пусть f: АВ - взаимно однозначное соответствие. Доказать, что: а)f – взаимно однозначное соответствие между В и А; б)ff =е; в)ff =е.

Q.

Доказать, что А, А, … , А, если АА…АА, то А=А=…=А.

Пусть А и В – конечные множества, состоящие из m и n элементов соответственно. а) Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств А и В? б) Сколько имеется функций из А в В? в) Сколько имеется взаимно однозначных функций из А в В? г) при каких m и n существует взаимно однозначное соответствие между А и В ?

S.

Доказать: а) А(ВС)=(АВ)(АС); б) А(ВС)=(АВ)(АС); в) (АВ)(СД) = (АС)(ВС)(АД)(ВД).

Доказать, что для произвольных множеств А, В, С, Д: а) (АВ)(СД)=(АС)(ВД); б) (АВ)С=(АС)(ВС).

R.

Доказать: (А…А)+(В…В)(А+В)…(А+В) .

Доказать, что если эквивалентность, то=А=А; А – множество, на котором.

Г.

Доказать: а) (АВ)А=(АВ)А=А; б) (АВ) \ С=(А \ С)(В \ С); в) АВ(С \ В)(С \ А).

Доказать, что объединение антисимметричных отношенийиантисимметрично тогда и только тогда, когдае.

Д.

Какие из утверждений верны А, В и С: а) АВ и ВСАС; б) АВС и АВСАС=; в) АВ и ВСАС; г) А(ВС) и В(АС)В=?

Пусть ава, вN и а делит нацело в. Доказать, что – частичный порядок наN.

Е.

Доказать: Р(АВ)={АВАР(А) и ВР(В)}, где Р(Х) – множество-степень множества Х, т.е. множество всех подмножеств Х.

Доказать, что если - полный порядок, то- тоже полный порядок.

Ё.

Доказать, что если t=1..n АВ, тоАВ; еслиt=1..n ВА, то ВА.

На множестве N отношение: <а, в>(а-в) делится нацело наm (m>0) Доказать, что -эквивалентность.

Ж.

Доказать: а) А \ В=А \ (АВ); б) А(В \ С)=(АВ) \ (АС)=(АВ) \ С; в) (А \ В) \ С=(А \ С) \ (В \ С); г) АВ=А(В \ А).

Доказать, что если исимметричны, то симметричны и;;.симметрична при=

З.

Решить систему уравнений:

; где А, В и С – множества. При каких А, В и С существует решение?

На множестве NN отношение: <<а, в>,<с, д>>[((ад=вс) и в0 и д0) или (а=с, в=0, д=0)]. Доказать, что- эквивалентность.

И.

Решить систему уравнений:

; где А, В и С – множества. При каких А, В и С существует решение?

Доказать, что если эквивалентность, то итоже эквивалентность.

Й.

Доказать: а) А+В=А=В; б) АВ=АВ=А+В; в) А+В=СВ+С=АС+А=В.

Доказать, что еслиесть транзитивное и симметричное отношение на А иDR=А, то эквивалентность.

Ъ.

Найти все подмножества множеств: ; {}; {x}; {1, 2}.

Привести примеры отношений: а) не транзитивного, рефлексивного, симметричного; б) транзитивного, антисимметричного, не рефлексивного.

Ы.

Доказать, что а) АВАВ=ВАВ=АА \ В=(А)В=; б) А=В(А \ В)(В \ А)=.

Доказать, что если {}i=1..n - система полных порядков на А, то - тоже полный порядок на А.

Ь.

Решить систему уравнений:

; где А, В и С – множества и ВАС

На множестве D действительных чисел отношение:<а, в>(а - в) – рациональное число. Доказать, что- эквивалентность.

Э.

; где А, В и С – множества. При каких А, В и С существует решение?

Доказать, что е – это частичный порядок на А. хА <х, х.>е.

Ю.

Доказать, что: а) (АВ)САС и ВС; б) А(ВС)АВ и АС; в) АВСА(В)С; г) АВСА(В)С.

Какие из приведённых ниже отношений являются отношениями эквивалентности на множестве {1,2,3}: {<1,1>,

<2,2>}; {<1,1>,<2,2>,<3,3>}; {<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,

<3,1>,<1,3>}; <1,1>,<2,2>,<3,3>,

<1,2>,<2,1>,<3,2>}; <1,1>,<2,2>,

<3,3>,<1,2>,<2,1>,<3,1>,<1,3>,

<2,3>,<3,2>}. Для отношений эквивалентности построить классы эквивалентности.

Я.

Доказать, что: а) (АВ)(АВ)=(АВ)(АВ)=А; б) (АВ)А=АВ; в) (А \ В) \ С=(А \ С) \ (В \ С); г) А \ (ВС)=(А \ В) \ С.

Доказать, что пересечение отношений эквивалентности на множестве Х есть отношение эквивалентности на Х.

М.

Доказать: Р(АВ)= Р(А)Р(В), где Р(Х) – множество-степень множества Х, т.е. множество всех подмножеств Х.

Доказать, что объединение двух эквивалентностейиявляется эквивалентностью тогда и только тогда, когда=.

Н.

Доказать, что: a, b, c и d {{a},{a, b}}={{c},{c, d}}a=c и b=d.

Доказать, что любое конечное множество можно линейно упорядочить. Линейный порядок – это полный строгий порядок.

О.

Доказать, что для любых бинарных отношений а) ()=

б) ()Q =(Q).

Доказать, что симметричных отношенийисимметрична тогда и только тогда, когда=.

П.

Доказать, что число бинарных отношений на n-элементном множестве равно 2. Каково число функций?

Привести пример линейного порядка на множестве NN, где N – множество натуральных чисел.

Р.

Доказать, что: а) АВ=(АД)(СВ), где АС и ВД; б)-(АВ)=((\ А))((\ В)); в)АВ=(АВ).

Привести примеры отношений: а) не рефлексивного, но симметричного и транзитивного; б) не симметричного, но рефлексивного и транзитивного; в) не транзитивного, но рефлексивного и антисимметричного.

С.

Найти D, R, ,,,отношений: а)={<x,y>x, y – действительные числа и x+y<=0}; б) ={<x,y> x, y[-/2,/2] иy>=sin(x)}.

Доказать, что если иэквивалентности на А, то=А=А; А – множество, на котороми.

Т.

Найти D, R, ,,,отношений: а)={<x,y>x, y N и y нацело делит x}; б) ={<x,y> x, y D и 2*x>=3*y}.

Какие из приведённых ниже отношений являются отношениями частичного порядка на множестве {a,d,c,d}: <a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,c>,

<b,c>,<c,d>,<a,d>,<b,d>}; {<a,a>,

<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,<b,c>,

<c,d>,<d,a>}; {<b,b>,<c,c>,<d,d>,

<a,c>,<b,c>,<c,d>,<a,d>,<b,d>}; {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>,<a,b>,

<b,c>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>}.

Для частично упорядоченных множеств построить диаграммы Хассе.

Ц.

Доказать, что а) если В, тоD =А; б) если А, тоR =В.

Пусть и < на множествеN ={0, 1, 2, …} определены обычным образом. Доказать, что <<<;< = < ;=N.

7.

Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: а) [a, b] [c, d], где [a, b] и [c, d] - отрезки действительной прямой D; б) [a, b]; в) [a, b]; г)D.

Показать, что если отношения иантирефлексивны (x <x, x>), то антирефлексивны и;;. Показать, чтоможет и не быть антирефлексивным.

8.

Доказать, что можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами: а) АВ и ВА; б) А(ВС) и (АВ)С.

Показать, что если - частичный (полный) порядок на Х и АХ, тоАесть частичный или полный (полный) порядок на А.

9.

Найти геометрическую интерпретацию множества АВ, где А – множество точек отрезка [0, 1], а В – множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Доказать, что если отношение симметрично и антисимметрично одновременно, тотранзитивно.

А.

Доказать, что если А, В, С и Д не пусты, то: а) АВ и СДАСВД; б) А=В и С=ДАС=ВД.

Показать, что если отношения ирефлексивны (x <x, x>), то рефлексивны и;;,.

Б.

Доказать, что объединение (пересечение) двух функций f и g из А в В является функцией из А в В тогда и только тогда, когда f=g.

На множестве прямых на плоскости рассмотреть отношения: а) параллельности прямых; б) перпендикулярности прямых. Будут ли эти отношения отношениями эквивалентности на этом множестве?

В.

Доказать, что если , то а)QQ; б)QQ; в) .

Пусть А. Доказать, чтоэквивалентность тогда и только тогда, когда ()е =.

J.

Доказать, что для любых бинарных отношений: а) ()=; б) ()=; в) ()=.

Доказать, что является одновременно эквивалентностью и частичным порядком тогда и только тогда, когда=е.

G.

Доказать, что для любых бинарных отношений: а) -() =(-); б)

()=.

На множестве NN отношение: <<а, в>,<с, д>>а+д=в+с. Доказать, что- эквивалентность.N – множество натуральных чисел {0, 1, 2 ..}.

W.

Пусть f и g - функции. Когда: а) f – функция? б)fg – однозначная функция?

Пусть - полный нестрогий порядок на А, и- аналогично на В. На множестве АВотношение: <а, в><а, в>ааи вв. Доказать, что- частичный нестрогий порядок на АВ.