Федеральное агентство по образованию
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Московский государственный институт электроники и математики
(Технический университет)
Кафедра «Вычислительные
системы и сети»
Методические указания к самостоятельным (домашней и контрольной) работам по курсу
«Дискретная математика»
Москва 2009
Составитель доц., канд. тех. наук Л.Е.Захарова
УДК 519.1
Предназначены для выполнения контрольной и домашней работ в части теории множеств, отношений, функций, специальных бинарных отношений, алгебраических структур, кодирования, комбинаторики и, в частности, формулы включений и исключений, студентами I (дневного) курса специальности 22.0101.
Дискретная математика: Метод. указания к самостоятельным (домашней и контрольной) работам/ Моск. гос. ин-т электроники и математики; Сост. Л.Е. Захарова. М., 2009. 31 с.
Ил. 3. Библиогр.: 3 назв.
ISBN 978-5-94506-219-1
Контрольная работа по теории множеств, отношениям, функциям и специальным бинарным отношениям
При решении задач по теории множеств можно пользоваться основными тождествами алгебры множеств:
1.
А
В=B
A
(комму- 1’. А
В=B
A
(комму-
тативность
);
тативность
);
2.
А
(В
C)=(A
B)
C
(ассоциа- 2’. А
(В
C)=(A
B)
C
(ассоциа-
тивность
);
тивность
);
3.
А
(В
C)=(A
B)
(A
C)
3’. А
(В
C)=(A
B)
(A
C)
(дистрибутивность
(дистрибутивность
относительно
);
относительно
)
4.
A
=A
4’. A
U=A
5.
A
A=
U 5’. A
A
=
6.
A
A=
A 6’. A
A
=A
7.
A
U=U
7’. A
=
8.
(A
B)=
A
B
(закон
8’.
(A
B)=
A
B
(закон
Моргана) Моргана)
9.
А
(В
A)=A
(закон поглощения) 9’. А
(В
A)=A
(закон
поглощения)
где А
В={x
¦ x
A
или x
B}
– объединение множеств A
и B;
А
В={x
¦ x
A
и x
B}
– пересечение множеств A
и B.
Выполняются соотношения: А
В
A
А
В
и А
В
B
А
В.
Кроме того:B\A=B
A={x
¦ x
A
и x
B}
- относительное дополнение множества
A
до множества B;
A=U\A={x
¦ x
A}
- абсолютное дополнение множества A
(инверсия A);
A+B=(A\B)
(B\A)
– симметрическая разность множеств A
и B.
A=B,
если A
B
и B
A,
поэтому при доказательстве тождеств
надо сначала брать любой элемент из
правой части тождества и доказать, что
он принадлежит и левой его части, а
затем брать любой элемент x
из левой части тождества и доказать,
что он принадлежит и правой его части.
Это первый способ доказательства
тождеств. Например, докажем тождество
8: пусть x
(A
B)
x
A
B
x
A
и x
B
x
A
B.
По опред.
Под двойной
двусторонней стрелкой указано, определение
какой операции использовано. Поскольку
стрелка двусторонняя, то любой элемент
x
из левой части тождества 8 принадлежит
и правой его части и наоборот, но не
всегда стрелка бывает двусторонней. Во
втором способе доказательства тождеств
используются основные тождества,
половина тождеств доказывается первым
способом, а половина – вторым. Если
тождество в примере одно, то надо доказать
его двумя способами. При втором способе
надо или правую часть тождества свети
к левой его части, или наоборот, левую
к правой, или свести обе части тождества
к одному и тому же выражению. Например:
докажем, что если А
В=A,
то А
В=B.
А
В=(А
В)
В=B.
По услов. 9
Под знаками равенства указывается, какое основное тождество использовано, или использовано условие задачи, как в примере.
Бинарное
отношение (далее просто отношение) –
это множество упорядоченных пар. Если
упорядоченная пара <x,y>
принадлежит отношению
(<x,y>
),
то тогдаx
принадлежит области определения
отношения
,
аy
– области его значений. Конечное
отношение (когда области определения
и значений конечны) может быть задано
матрицей отношения, состоящей из нулей
и единиц. Строки матрицы отношения
соответствуют элементам из области
определения, а столбцы – из области
значений. Если пара <x,y>
,
то элемент матрицы отношения
на пересечении строки, соответствующейx,
и столбца, соответствующего y,
равен единице; и этот элемент будет
нулевым, если <x,y>
.
Прямым
произведением A
B
двух произвольных множеств A
и B
является множество всех упорядоченных
пар <a,b>,
таких что, a
A
и b
B.
Прямое произведение – это пример
отношения. Для конечных множеств A
и B
матрица его прямого произведения состоит
из одних единиц. Любое отношение на
множествах A
и B
будет подмножеством их прямого
произведения.
Для бинарных
отношений, как и для любых множеств,
определены теоретико-множественные
операции объединения, пересечения и
т.д. Для двух конечных отношений матрица
их объединения получается из матриц
исходных отношений поэлементной
операцией OR
(
),
а матрица их пересечения – поэлементной
операциейAND
(
)
и т.д. Надо, разумеется, еще учесть, что
при объединении отношений объединяются
и их области определения и значений, а
при пересечении – пересекаются.
Для каждого
отношения
существует и обратное отношение
- это множество упорядоченных пар <y,x>
таких что, пары <x,y>
принадлежат отношению
.
Для конечного отношения
матрица его обратного отношения
получается транспонированием (строки
меняются со столбцами) матрицы отношения
.
Обратное отношения не надо путать с
инверсным отношением (–
),
которое состоит из пар, не принадлежащих
.
Для конечных отношений матрица инверсного
отношения получается из матрицы исходного
отношения инвертированием, т.е. нули
матрицы становятся единицами, а единицы
– нулями. (
)
=
.
Композицией
отношений
и
множество упорядоченных пар <x,z>
таких что, существует y
такое что, <x,y>
и <y,z>
.
Для конечных отношений матрица их
композиции будет произведением матриц
исходных отношений. (
)
=
.
Отношение f
будет функцией, если из того, что <x,y>
f
<x,z>
f
следует, что y=z.
Для отношений
эквивалентности и порядка (специальных
бинарных отношений) область определения
отношений совпадает с областью их
значений. В этом случае матрица конечного
отношения будет квадратной. Для таких
отношений, определённых на одном
множестве, определены понятия
рефлексивности, симметричности и
транзитивности. Отношение
на множествеX
рефлексивно, если
x
X
пара <x,x>
.
Для конечного рефлексивного отношения
на главной диагонали его матрицы
отношения будут стоять одни единицы.
Отношение
на множествеX
симметрично, если
x,
y
X
из того, что пара <x,y>
следует, что и пара <y,x>
.
Матрица конечного симметричного
отношения будет симметричной.
Отношение
на множествеX
транзитивно, если
x,
y,
z
X
из того, что пара <x,y>
и пара <y,z>
следует, что и пара <x,z>
.
Рефлексивное, симметричное и транзитивное
отношение на множествеX
называется отношением эквивалентности
на множестве X.
Отношение
на множествеX
антисимметрично, если
x,
y
X
из того, что пара <x,y>
следует, что пара <y,x>
,
или, второе определение, из того, что
пары <x,y>
и <y,x>
следует, чтоx=y.
Антисимметричное и транзитивное
отношение на множестве X
называется отношением порядка на X.
Порядок может быть строгим (антирефлексивным)
и не строгим (рефлексивным). Если
x,
y
X
либо <x,y>
,
либо <y,x>
(все элементы множестваX
сравнимы), то порядок
будет полным, а если нет – то частичным.