Тернарные функции[править | править исходный текст]
При
n= 3 число булевых функций равно
2(23)= 28= 256 (скобки нужны, так
как запись
не
обладает свойствомассоциативности(сочетательности) и (22)3= 43= 64[6]).
Некоторые из них определены в следующей
таблице:
Таблица значений и названий
некоторых булевых функций от трех
переменных, имеющих собственное название:
|
x0=z |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
x1=y |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
x2=x |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Обозначения |
Названия |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
F3,1 = x↓y↓z= ↓(x,y,z) = Webb2(x,y,z) = NOR(x,y,z) |
3ИЛИ-НЕ, функция Вебба, функция Даггера, стрелка Пирса |
|
23 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
F3,23 =
|
Переключатель по большинству с инверсией, 3ППБ-НЕ, мажоритарный клапан с инверсией |
|
126 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
F3,126 = (x≠y≠z) = [≠(x,y,z)] = NE(x,y,z) |
Неравенство |
|
127 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
F3,127 = x|y|z = |(x,y,z) = NAND(x,y,z) |
3И-НЕ, штрих Шеффера |
|
128 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
F3,128 = x&y&z = &(x,y,z) = (x AND y AND z) = AND(x,y,z) = (x И y И z) = И(x,y,z) = min(x,y,z) |
3И, минимум |
|
129 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
F3,129 = (x=y=z) = [=(x,y,z)] = EQV(x,y,z) |
Равенство |
|
150 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
F3,150 = x⊕y⊕z = x⊕2y⊕2z =⊕2(x,y,z) |
Тернарное сложение по модулю 2 |
|
216 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
F3,216 = f1 |
Разряд займа при тернарном вычитании |
|
232 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
F3,232 = f2 = [>=2(x,y,z)] = ≥2(x,y,z) = (x И y) ИЛИ (y И z) ИЛИ (z И x) |
Разряд переноса при тернарном сложении, переключатель по большинству, 3ППБ, мажоритарный клапан |
|
254 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
F3,254 = (x+y+z) = +(x,y,z) = (x OR y OR z) = OR(x,y,z) = (x ИЛИ y ИЛИ z) = ИЛИ(x,y,z) = max(x,y,z) |
3ИЛИ, максимум |
=
≥2(x,y,z)При трёх и более аргументах префиксная (и постфиксная) запись экономичнее инфиксной записи.
Полные системы булевых функций[править | править исходный текст]
Основная статья: Замкнутые классы булевых функций
Суперпозиция и замкнутые классы функций[править | править исходный текст]
Результат
вычисления булевой функции может быть
использован в качестве одного из
аргументов другой функции. Результат
такой операции суперпозицииможно рассматривать как новую булеву
функцию со своей таблицей истинности.
Например, функции
(суперпозиция
конъюнкции, дизъюнкции и двух отрицаний)
будет соответствовать следующая таблица:
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
1 |
|
0 |
Говорят, что множество функций замкнуто относительно операции суперпозиции, если любая суперпозиция функций из данного множества тоже входит в это же множество. Замкнутые множества функций называют также замкнутыми классами.
В
качестве простейших примеров замкнутых
классов булевых функцийможно
назвать множество
,
состоящее из одной тождественной
функции, или множество
,
все функции из которого тождественно
равны нулю вне зависимости от своих
аргументов. Замкнуты также множество
функций
и
множество всех унарных функций. А вотобъединениезамкнутых классов может таковым уже не
являться. Например, объединив классы
и
,
мы с помощью суперпозиции
сможем
получить константу 1, которая в исходных
классах отсутствовала.
Разумеется,
множество
всех
возможных булевых функций тоже является
замкнутым.