Булева функция
[править | править исходный текст]
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация,поиск
Бу́лева фу́нкция(илилоги́ческая функция, илифункция а́лгебры ло́гики)[1]отnаргументов — вдискретной математике— отображениеBn→B, гдеB= {0,1} —булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое числоnназываютарностьюили местностью функции, в случаеn= 0 булева функция превращается вбулеву константу. Элементыдекартова произведения(n-я прямая степень)Bnназываютбулевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа аргументов часто обозначаетсяP2, а отnаргументов —P2(n). Переменные, принимающие значения из булева множества называютсябулевыми переменными[2]. Булевы функции названы по фамилии математикаДжорджа Буля.
При работе с булевыми функциями происходит полное абстрагирование от содержательного смысла, который имелся в виду в алгебре высказываний[2]. Тем не менее, между булевыми функциями и формуламиалгебры высказыванийможно установить взаимно-однозначное соответствие, если[3]:
установить взаимно-однозначное соответствие между булевыми переменными и пропозициональными переменными,
установить связь между булевыми функциями и логическими связками,
оставить расстановку скобок без изменений.
Содержание
[убрать]
1 Основные сведения
1.1 Таблицы истинности
1.2 Нульарные функции
1.3 Унарные функции
1.4 Бинарные функции
1.5 Тернарные функции
2 Полные системы булевых функций
2.1 Суперпозиция и замкнутые классы функций
2.2 Тождественность и двойственность
2.3 Полнота системы, критерий Поста
3 Представление булевых функций
3.1 Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)
3.2 Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)
3.3 Алгебраическая нормальная форма (АНФ или полином Жегалкина)
4 Классификация булевых функций
5 См. также
6 Литература
7 Ссылки
Основные сведения[править | править исходный текст]
Каждая булева функция арности nполностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длиныn. Число таких векторов равно 2n. Поскольку на каждом векторе булева функция может принимать значение либо 0, либо 1, то количество всехn-арных булевых функций равно 2(2n). Поэтому в этом разделе рассматриваются только простейшие и важнейшие булевы функции. Практически все булевы функции малыхарностей(0, 1, 2 и 3) сложились исторически и имеют конкретные имена. Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называетсяфиктивной.
Таблицы истинности[править | править исходный текст]
Булева функция задаётся конечным набором значений, что позволяет представить её в виде таблицы истинности, например[4]:
|
x1 |
x2 |
… |
xn-1 |
xn |
f(x1,x2,…,xn) |
|
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
… |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
… |
0 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
… |
0 |
1 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
… |
1 |
1 |
0 |
