Принцип двойственности[править | править исходный текст]

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр[править | править исходный текст]

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоунаутверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-токомпактноговполне несвязногохаусдорфоватопологического пространства.

Аксиоматизация[править | править исходный текст]

В 1933г. американский математикХантингтонпредложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.

2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).

3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинспоставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.

2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).

3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y') + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарскогои его учеников.

В 1996г.Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. Также[править | править исходный текст]

• Алгебра логики

• Булева функция

• Битовые операции

Примечания[править | править исходный текст]

1. ↑D. A. Vladimirov.Springer Online Reference Works - Boolean algebra(англ.). Springer-Verlag (2002).Проверено 4 августа 2010.Архивировано из первоисточника 9 февраля 2012.

2. ↑Владимиров Д. А. Булевы алгебры.— М.: «Наука», 1969.— С.19.

3. ↑Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера.— М.: Энергоатомиздат, 1988.— С.58.

Литература[править | править исходный текст]

• Владимиров Д. А. Булевы алгебры.— М.: «Наука», 1969.— 320с.

• Иванов Б. Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы. Расширенный курс. — М.: «Известия», 2011. — 512 с. —ISBN 978-5-206-00824-1

• Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная математика для инженера.— М.: Энергоатомиздат, 1988.— 480с.

• Гуров С.И. Булевы алгебры, упорядоченные множества, решетки: Определения, свойства, примеры.— М.: Либроком, 2013.— 352с.— ISBN 978-5-397-03899-7

п·о·р

Дискретная математика

 

[скрыть]

Комбинаторика  • Теория графов  • Теория множеств  • Булева алгебра

Источник — «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=Булева_алгебра&oldid=56071070»

Категории:

• Теория решёток

• Математическая логика

• Булева алгебра

• Дискретная математика