http://u31668931.letitbit.net/download/15515.1db9c238c3e57040ffe6b8203d9f/Assembler_-_eto_prosto._Uchimsya_programmirovat_._2-e_izdanie.pdf.html

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AF%D0%B7%D1%8B%D0%BA_%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B1%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0#.D0.98.D0.BD.D1.81.D1.82.D1.80.D1.83.D0.BA.D1.86.D0.B8.D0.B8

******

http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%EB%E3%E5%E1%F0%E0_%EB%EE%E3%E8%EA%E8

Алгебра логики

[править | править исходный текст]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Не следует путать с булевой алгеброй.

Алгебра логики (алгебра высказываний)— разделматематической логики, в котором изучаются логические операции надвысказываниями^[1]. Чаще всего предполагается (т. н. бинарная или двоичная логика, в отличие от, например,троичной логики), что высказывания могут быть только истинными или ложными.

Содержание

 [убрать]

• 1 Определение

• 2 Аксиомы

• 3 Логические операции

• 4 Свойства логических операций

• 5 История

• 6 См. также

• 7 Примечания

Определение[править | править исходный текст]

Базовыми элементами, которыми оперирует алгебра логики, являются высказывания. Высказывания строятся надмножеством{B, , , , 0, 1}, где B — непустое множество, над элементами которого определены триоперации:

отрицание (унарная операция),

конъюнкция (бинарная),

дизъюнкция (бинарная),

а также константы— логический ноль0и логическая единица1.

Дизъю́нкт—пропозициональная формула, являющаясядизъюнкциейодного или болеелитералов(например ).Конъюнкт—пропозициональная формула, являющаясяконъюнкциейодного или более литералов (например ).

Аксиомы[править | править исходный текст]

1. , инволютивность отрицания, закон снятия двойного отрицания

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

Логические операции[править | править исходный текст]

Простейшим и наиболее широко применяемым примером такой алгебраической системы является множество B, состоящее всего из двух элементов:

B = { Ложь, Истина }

Как правило, в математических выражениях Ложьотождествляется с логическим нулём, аИстина— с логической единицей, а операции отрицания (НЕ), конъюнкции (И) и дизъюнкции (ИЛИ) определяются в привычном нам понимании. Легко показать, что на данном множестве B можно задать четыре унарные и шестнадцать бинарных отношений и все они могут быть получены через суперпозицию трёх выбранных операций.

Опираясь на этот математический инструментарий, логика высказыванийизучаетвысказыванияипредикаты. Также вводятся дополнительные операции, такие какэквиваленция («тогда и только тогда, когда»),импликация («следовательно»), сложение по модулю два («исключающее или»),штрих Шеффера ,стрелка Пирса и другие.

Логика высказыванийпослужила основным математическим инструментом при создании компьютеров. Она легко преобразуется вбитовуюлогику: истинность высказывания обозначается одним битом (0 — ЛОЖЬ, 1 — ИСТИНА); тогда операция приобретает смысл вычитания из единицы; — немодульного сложения; & — умножения; — равенства; — в буквальном смысле сложения по модулю 2 (исключающее Или — XOR); — непревосходства суммы над 1 (то есть A B = (A + B) <= 1).

Впоследствии булева алгебра была обобщена от логики высказываний путём введения характерных для логики высказываний аксиом. Это позволило рассматривать, например, логику кубитов, тройственную логику (когда есть три варианта истинности высказывания: «истина», «ложь» и «не определено») и др.

Свойства логических операций[править | править исходный текст]

1. Коммутативность: xy = yx, {&, }.

2. Идемпотентность: xx = x, {&, }.

3. Ассоциативность: (xy)z = x(yz), {&, }.

4. Дистрибутивность конъюнкций и дизъюнкции относительно дизъюнкции, конъюнкции и суммы по модулю два соответственно:

• ,

• ,

• .