X 101 5 ay 105 3 az 500 9 aw 50 1 bw 10 2 b w 300 4 b 5 a10 b15 c2 d6 a1 b

1. Проекция.

Операция проекции представляет собой выборку из каждого кортежа отношения значений атрибутов, входящих в заданный список атрибутов и удаление из полученного отношения повторяющихся строк.

Пример:

R [M,T] → проекция отношения R с атрибутами M, T.

x a

y a

z a

w b

w b

w c

x a

y a

z a

w b

R [M,T] = =

2. Объединение.

R U S

R S

5 a

3 a

9 a

1 b

2 b

4 c

5 a

10 b

15 c

2 d

6 a

1 b

5 a

3 a

9 a

1 b

2 b

4 b

10 b

15 c

2 d

6 a

Операция применяется только к отношениям одной и той же арности (степени).

R [Q,T] U S = U =

3. Разность.

Применяется только к отношениям одинаковой арности.

Диаграмма Венна имеет вид:

R S

Общие элементы не входят в разность.

5 a

3 a

9 a

1 b

2 b

4 c

5 a

10 b

15 c

2 d

6 a

1 b

c

3 a

9 a

2 b

4 b

R [Q,T] – S = - =

4. Декартово произведение.

R×S

Степень (арность) (R×S) = Степень (R) + Степень (S)

Мощность (R×S) = Мощность (R) * Мощность (S)

Результирующее отношение может иметь очень большие размеры.

Пусть R_A = R [M,T]

x a

y a

z a

w b

5 a

1 b

R_A = R_B =

x a

y a

z a

w b

5 a

1 b

x a 5 a

x a 1 b

y a 5 a y a 1 b

z a 5 a z a 1 b

w b 5 a

w b 1 b

R_A × R_B = × =

Степень результирующего отношения равна 4, мощность 8.

5. Селекция (выборка).

R = σ_F (R₁)

Операция селекции работает с одним отношением R₁ и определяет результирующее отношение R.

P – это формула образованная:

1. Атрибутами отношения R₁;

2. Логическими операторами и, или , не;

3. Операторами сравнения :{<, >, =, ≠, ≤, ≥}

Примеры:

1. R = σ_D1>D2 (P) = Ø – пустое множество.

1 11 x

2 11 y

3 11 z

2. R = σ_D2=11 (P) =

Дополнительные операции.

1. Пересечение.

R∩S

R∩S = R – (R-S)

5 a

3 a

9 a

1 b

2 b

4 b

5 a

10 b

15 c

2 d

6 a

1 b

5 a

1 b

R [Q, T] ∩S = ∩ =

2. Соединение.

Различают следующие типы операций соединения:

1. Тета-соединения,

2. Естественные соединения;

3. Композиция;

4. Внешние соединения;

   1. Левое внешнее;

   2. Правое внешнее;

   3. Полное внешнее.

Общая формула:

R [AθB] S, где

R и S – отношения,

А – атрибут отношения R,

В – атрибут отношения S,

θ – оператор сравнения, один из элементов множества {<, >, ≥, ≤, ≠}

2.1. Тета-соединение.

Пример:

R [Q>A] S

При выполнении соединения, необходимо для каждого кортежа отношения R взять значение атрибута Q и сравнить его со значением атрибута A из каждого кортежа отношения S.

В результате получим:

M P Q T A B

x 101 5 a 2 d

x 101 5 a 1 b

y 105 3 a 2 d

y 105 3 a 1 b

z 500 9 a 5 a

z 500 9 a 2 d

z 500 9 a 6 a

z 500 9 a 1 b

w 50 2 b 1 b

w 300 4 b 2 d

w 300 4 b 1 b

Степень результирующего отношения равна сумме степеней отношений операндов.