4.5.Замыкание множества заданных функциональных зависимостей.

При декомпозиции отношения Rс целью его нормализации на два отношенияR1 иR2 может оказаться, что вR1 илиR2 появятся новые функциональные зависимости, которых не было в отношенииR. В этом случае нужно получить из множества функциональных зависимостейF, присущих отношениюRполное множество функциональных зависимостей –F⁺ , которое называется замыканиемF.

Если F1 – множество функциональных зависимостей, присущих отношениюR1, то декомпозиция будет верной, еслиF1≤F⁺ и еслиF2≤F⁺ , гдеF2 – множество функциональных зависимостей, присущих отношениюR2.

Существует несколько методов получения F⁺ изF. Рассмотрим 2 метода.

Алгоритм SATISFIES.

Пусть задано отношение График(Пилот, Рейс, Дата, Время вылета)

Пилот	Рейс	Дата	Время вылета
1 1 2 2 2 3 3 4 4 4	83 116 281 301 83 83 116 281 281 412	9Августа 10 Августа 8 Августа 12 Августа 11 Августа 12 Августа 13 Августа 9 Августа 13 Августа 15 Августа	10:15 13:25 5:50 18:35 10:15 10:15 13:25 5:50 5:50 13:25
Куминг-1 Кларк-2 Чин-3 Коул-4

Для этого отношения иметься следующая семантика:

F={Рейс → Время вылета,

Пилот, Дата, Время вылета → Рейс,

Рейс, Дата → Пилот}

Имея это множествоFмы можем задаться вопросом о том, а существует ли зависимость, например, такого типа: Время вылета → Рейс или другие, более сложные зависимости.

Ответ на этот вопрос можно получить используя следующий алгоритм:

Пусть задано отношение RиF- зависимостьx→y.

1.Пересортируем отношение Rпоx- столбцам так, чтобы собрать кортежи с равнымиx- значениями вместе.

2.Если каждая совокупность кортежей с равными x-значениями имеет так же равныеy-значения, то существует зависимостьx→y. В противном случае нет.

Этот алгоритм можно применить к множеству Fфункциональных зависимостей, заданных семантикой отношения, а также к предполагаемым зависимостям.

Проверим зависимость: Рейс → Время вылета.

XY

Пилот	Рейс	Дата	Время вылета
1 2 3		9Августа 11 Августа 13 Августа	=
1 3		10 Августа 12 Августа	=
2 4 4		8 Августа 9 Августа 13 Августа	=
2	301	12 Августа	18:35
4	412	15 Августа	13:25

Вторая часть алгоритма выполняется, значит x→y.

Проверим зависимость: Время вылета → Рейс.

Пилот	Рейс	Дата	Время вылета
2 4 4	281 281 281	8Августа 9 Августа 13 Августа	5:50 5:50 5:50
1 2 3	83 83 83	9 Августа 11 Августа 13 Августа	10:15 10:15 10:15
1 3 4		10 Августа 12 Августа 15 Августа	13:25 13:25 13:25
2	301	12 Августа	18:35

Для времени 13:25 второе условие алгоритма не выполняется, следовательно зависимость Время вылета → Рейс не существует.

С помощью приведенного алгоритма можно получить полное множество функциональных зависимостей F⁺, соответствующих заданному отношению и его семантике, т.е.F≤F⁺

Пример получения F⁺ изF.

Дано: R(A,B,C) иF= {AB→C,C→B}

Множество F⁺будет состоять из следующих элементов:

F⁺= {A→AB→BC→C

AB→AAB→BAC→C

AC→ABC→BBC→C

ABC→AABC→BABC→C

AB→ABAC→ACBC→BCABC→ABC

ABC→ABABC→ACABC→BC

1ABC→C2C→BAC→B

AB→ACC→BCAC→AB}

AB→BC

AB→ABC

3.36. Множество X⁺.

Множество F⁺даже для небольшого числа зависимостей вFможет быть очень большим и его вычисление трудоемко. Однако принадлежность функциональной зависимости в множествеF⁺нам необходимо всегда проверять, так как правильность отношенияRпроверяется по двум условиям:

R1

1. Rна условие естественного соединенияR1 иR2,

R2 восстанавливающегоR.

2. На условие принадлежности полученных функциональных зависимостей к множеству F⁺.

Задача принадлежности функциональной зависимости к F⁺была решена с помощью простого алгоритма. Вместо вычисленияF⁺можно вычислить другое множество, которое будет называтьсяX⁺и функциональная зависимостьx→yпринадлежитF⁺, еслиy≤x⁺.

Алгоритм получения X⁺.

Рассмотрим на примере:

Дано: U={A,B,C,D,E,G} и R(A,B,C,D,E,G).

Пусть Fсостоит из следующих восьми зависимостей:

F={AB→CD→EG

C→ABE→C

BC→DCG→BD

ABCD→BCE→AG}

Проверим, принадлежит ли BD→EкF⁺.

Положим X⁽⁰⁾=BD.

1.Вычислим значение X⁽¹⁾. Для его вычисления найдем зависимости, которые имеют в левой частиB,DилиBD. Такой зависимостью является:D→EG.

Присоединим к X⁽⁰⁾ EG(правую часть зависимости), тогдаX⁽¹⁾=BDEG.

2.Ищем зависимости, которые в левой части имеют B,D,E,Gили их комбинации.

D→EG,BE→C. ТогдаX⁽²⁾=BCDEG

3.Выписываем зависимости, имеющие в левых частях B,C,D,E,G.

C→A,BC→D,CG→,BD,CE→AG.X⁽³⁾=ABCDEG– мы получили множество всех атрибутов отношенияR. Значит следующие шаги не принесут никаких новых результатов. Итеративный процесс на этом заканчивается.

X⁺=ABCDEG(BD)⁺=ABCDEG

Проверим теперь: Принадлежит ли зависимость BD→EзависимостиF⁺.

Т.к. Е ≥X⁺, то зависимостьBD→EпринадлежитF⁺замыканию множества функциональных зависимостейF.