6. Расчет нестационарных тепловых процессов

Нестационарные тепловые процессы имеют место при включении и выключении электропитания РЭС, изменении режимов их работы, а также при изменении температуры окружающей среды.

6.1. Охлаждение (нагревание) тел и системы тел без источников тепла

Пусть однородное изотропное тело находится в среде, температура которой внезапно изменилась и стала равной некоторому стационарному значению , при этом между телом и средой возникает процесс теплообмена. Если температура среды изменилась, тогда тело, отдавая тепло в окружающую среду, охлаждается, причем сначала охлаждаются внешние слои, а потом этот процесс охлаждения распространяется вглубь тела.

Скорость изменения температуры в теле прямо пропорциональна способности материала проводить тепло, то есть коэффициенту теплопроводности , и обратно пропорциональна его аккумулирующей способности (объемной теплоемкости).

В целом же скорость теплового процесса при нестационарном режиме определяется значением коэффициента температуропроводности

Начальное распределение перегрева в любой точке тела является функцией координат

(6.1.1)

При охлаждении тепловая энергия с его поверхности будет рассеиваться в окружающую среду, при этом количество тепла, протекающего изнутри тела к элементу поверхности, согласно закону Фурье, равно , где- нормаль к элементу поверхности.

Поскольку это тепло рассеивается в окружающую среду, то из закона Ньютона следует . Приравнивая правые части двух последних выражений, можно записать

или . (6.1.2)

Температурное поле тела в любой момент времени описывается уравнением Фурье

. (6.1.3)

Решение уравнения (6.1.3) при начальных (6.1.1) и граничных (6.1.2) условиях и неизменности теплофизических параметров тела и коэффициента теплоотдачи имеет вид суммы бесконечного числа экспоненциальных составляющих

, (6.1.4)

где - начальное значениеn-ой составляющей температуры в точке с координатами; - коэффициент, не зависящий ни от координат, ни от времени.

В работе Г.М. Кондратьева [16] установлено, что нестационарный процесс охлаждения (нагревания) тела может быть разделен на две стадии: начальный (иррегулярный) режим и установившийся (регулярный) режим.

Начальный режим характеризуется тем,что скорость изменения температуры в отдельных точках тела различна и существенно зависит от начального состояния температурного поля. С течением времени влияние начальных особенностей температурного поля на его дальнейшее изменение сглаживается, а воздействие условий охлаждения и физических свойств тела становится определяющим.

С некоторого момента времени (рис. 6.1.1) наступает регулярный режим, при котором пространственно-временное изменение температурного поля будет с удовлетворительной точностью описываться первым членом суммы (6.1.4). Таким образом, в стадии регулярного теплового режима температура во всех точках тела изменяется по экспоненциальному закону

, (6.1.5)

где - перегрев в точке с координатамив момент наступления регулярного режима.

Показатель степени mназывается темпом охлаждения (нагревания). На всей стадии регулярного режима темп охлаждения (нагревания) остается неизменным, не зависящим от времени и выбора точки внутри тела. Из выражения (6.1.5) следует

, (6.1.6)

или, после дифференцирования по времени, можно записать

. (6.1.7)

Следовательно, для регулярного режима скорость изменения логарифма избыточной температуры постоянна и одинакова для всех точек тела (первая теорема Кондратьева).

Если известна зависимость , то темп охлаждения можно определить из выражения (6.1.6). Для этого следует подставить в выражение (6.1.6) два произвольных момента времениτ₁иτ₂(рис. 6.1.6) и, после вычитания из первого выражения второго, записать

. (6.1.8)

Рис. 6.1.1. Изменение температуры в точках 1 и 2: а) - в обычных координатах; б) - в полулогарифмическом масштабе

В работе [16] показано, что темп охлаждения (нагревания) изотропного тела при конечном значении коэффициента теплоотдачи пропорционален произведению внешней поверхности тела Sна коэффициент теплоотдачи и обратно пропорционален полной теплоемкости телаС(вторая теорема Кондратьева):

. (6.1.9)

Коэффициент пропорциональности в полученном выражении равен отношению среднеповерхностной избыточной температуры тела к его избыточной среднеобъемной температуре в стадии регулярного режима, то есть . Этот коэффициент называется параметром неравномерности температурного поля в теле.

Очевидно, когда температурное поле равномерно, то есть , то . Неравномерность температурного поля в теле существенно зависит от коэффициента теплоотдачи : при небольших значениях неравномерность поля будет сравнительно небольшая. Но чем больше , тем меньше перегрев поверхности тела и тем больше неравномерность температурного поля. Предельные значения параметраψпри изменении коэффициента теплоотдачи равны

; .

В работе [16] показано, что c ростом коэффициента теплоотдачи темп охлаждения (нагревания) стремится к асимптотическому значению (рис. 6.1.2).

Предельное значение темпа охлаждения(при) пропорционально температуропроводности материала тела (третья теорема Кондратьева)

. (6.1.10)

Коэффициент пропорциональности зависит от формы и размеров тела и называется коэффициентом формы тела . Значение коэффициента для некоторых тел может быть получено из выражений

для шара радиуса R

;

для цилиндра длиной lи радиусомR

;

для параллелепипеда со сторонами

.

Учитывая, что , объемную теплоемкость (выражение (6.1.9)) можно записать в виде . Тогда получим.

Рис. 6.1.2 Изменение темпа охлаждения: а) - зависимость , б) - обобщенная зависимость М=М(В)

Подставив сюда значение aиз (6.1.10), получают

, (6.1.11)

где - относительный темп охлаждения,- обобщенный критерий Био, причем

;. (6.1.12)

Относительный темп охлаждения МприВ = 0зависит от конфигурации тела и равен нулю, следовательно, иm = 0. При(то есть при).

Графики М = М(В)для тел различной конфигурации настолько близко располагаются друг от друга, что их практически можно заменить одной усредненной кривой (рис. 6.1.2,б). Аналитическое выражение параметра, соответствующее этой кривой, имеет вид [16]

. (6.1.13)

Общие закономерности нестационарных тепловых процессов в теле справедливы и для системы тел. Так, в стадии регулярного режима температура всех точек системы изменяется по экспоненциальному закону (6.1.5), скорость изменения логарифма избыточной температуры постоянна и одинакова (6.1.7), то есть темп охлаждения для всех точек системы одинаков.

Практический интерес представляет система тел, состоящая из ядра 1, оболочки 2 и зазора между ними (рис. 6.1.3,а). Такой системой тел можно представить большинство радиоэлектронных аппаратов, причем область, занятая ЭРЭ, представляет собой ядро, а кожух - оболочку.

Рис. 6.1.3. Система тел: а) ядро - зазор - оболочка; б) ядро - оболочка

Целесообразно принять следующие допущения:

-тепловое сопротивление оболочки пренебрежимо мало и, следовательно, температурное поле по ее толщине можно считать равномерным;

-теплоемкость зазора мала по сравнению с теплоемкостью ядра и оболочки.

При указанных допущениях для системы ядро - зазор - оболочка, как показано в [16], темп охлаждения (нагревания) находится из выражения

, (6.1.14)

где ;;;

;.

Параметр вычисляется по формуле (6.1.13). При этом в обобщенном критерии Био (6.1.12) величинык, , v следует отнести к ядру, а вместо Sподставить_эф- тепловую проводимость между поверхностью ядра и средой. Так как тепловое сопротивление участка поверхность ядра - среда (1/_эф) представляет сумму последовательно включенных сопротивлений - сопротивления зазора (1 / _з) оболочки (по допущению принимают равным нулю) и сопротивления оболочка - среда (1/S), то , откуда .

Для зазоров, заполненных воздухом, , гдек - конвективно-кондуктивный коэффициент теплопередачи воздушной прослойки (зазора), а если твердым веществом, то , где _зи _з, соответственно, коэффициент теплопроводности материала зазора и его толщина.

Рассмотрим выражение темпа охлаждения нагревания для двухсоставной системы тел, т.е. ядро - оболочка (рис. 6.1.3,б):

1. Ядро произвольной конфигурации с неравномерным температурным полем, тепловое сопротивление оболочки мало (поле по толщине равномерно)

. (6.1.15)

2. Ядро произвольной конфигурации с неравномерным температурным полем, оболочка имеет тепловое сопротивление R₀, соизмеримое с тепловым сопротивлением оболочка - среда.

Подставив в выражении (6.1.15) вместо тепловой проводимости оболочка - среда тепловую проводимость поверхность ядра - среда , можно записать

. (6.1.16)

При расчете нестационарных температурных полей предполагается, что температурное поле тела или системы тел входит в стадию регулярного теплового режима с самого начала рассматриваемого процесса. При этом условии, если известен темп охлаждения (нагревания), время, в течение которого тело, имеющее начальную температуру t₁и помещенное в среду с температуройt_c (t_c  t₁),достигнет температурыt₂будет равно (на основании (6.1.8)):

. (6.1.17)