6. Корректирующая способность кода

Под корректирующей способностью кода понимается его способность обнаруживать или исправлять ошибки, возникающие в кодовых комбинациях. Корректирующая способность определяется только избыточностью кода (степенью выполнения неравенства (2)). Вид же комбинаций кода определяет, какие комбинации ошибок будут обнаруживаться и (если выполнено разбиение запрещенных комбинаций на подмножества M_i) исправляться при одной и той же корректирующей способности.

Для того, чтобы код мог обнаруживать любую одиночную ошибку в любой своей комбинации, необходимо, чтобы при таких ошибках разрешенная кодовая комбинация переходила в запрещенную. Это возможно только тогда, когда d>1, или, так как d–целое, d≥2.

Аналогично, для того, чтобы код мог обнаруживать любые ошибки кратности ν₀ и менее, необходимо, чтобы d кода удовлетворяло условию

. (13)

Вопрос о том, может ли обнаруживать ошибки код с d=1, решается из рассмотрения неравенства (2.). Если для кода указанное неравенство выполняется, то он может обнаруживать некоторые, хотя и не любые, одиночные и более высокой кратности ошибки; если (2) не выполняется, то код не обладает корректирующей способностью.

Несколько сложнее обстоит дело с исправлением ошибок. Обычно исправление ошибок преследует цель минимизировать вероятность выдачи неправильной кодовой комбинации получателю. Естественно, что достижение этой цели возможно только при учете статистики появления ошибок. Зная такую статистику, нетрудно выполнить разбиение запрещенных комбинаций B_j на подмножества M_i так, чтобы вероятность неправильного исправления ошибок была минимальной.

Статистика ошибок в комбинациях определяется каналом, по которому производится передача. В настоящее время статистика ошибок получена для большинства реальных каналов. Это позволило разработать различные математические модели, с той или иной степенью точности отражающие процессы передачи символов по данным каналам и служащие для их теоретического исследования. Из широко используемых моделей каналов рассматривается только один – двоичный симметричный канал без памяти, рассмотренный, например, в [2]. В отношении этой модели корректирующие коды исследованы наиболее полно.

Ориентация на двоичный симметричный канал (ДСК) при исследовании свойств кодов, несмотря на то, что эта модель лишь весьма приближенно описывает большинство реальных каналов связи, объясняется ее простотой. Действительно, ДСК характеризуется тем, что искажения отдельных символов в передаваемых по нему комбинациях независимы и вероятности искажений символов 0 и 1 одинаковы (p₀₁=p₁₀=p). Поэтому процесс передачи любого двоичного символа комбинации кода по ДСК может быть описан при помощи всего двух чисел – вероятности искажения символа p и вероятность правильной передачи q=1–p. ДСК обычно представляют графом, изображенным на рис. 3.

Рис. 3. Двоичный симметричный код

Для ДСК при p<q справедливо утверждение: если на выход канала пришла некоторая запрещенная комбинация, то вероятность того, что она появилась в результате ошибок меньшей кратности, больше, чем вероятность того, что она порождена ошибками большей кратности. Отсюда следует, что для минимизации вероятности появления ложной кодовой комбинации на выходе устройства, осуществляющего передачу информации по ДСК с исправлением ошибок, необходимо, чтобы при коде в первую очередь обеспечивалось исправление ошибок меньшей кратности. Такой принцип исправления ошибок определяет следующее правило разбиения запрещенных комбинаций на подмножества M_i: запрещенная комбинация B_j приписывается такой разрешенной кодовой комбинации V_i, от которой она отличается в наименьшем числе символов. Исправление ошибок в соответствии с указанным принципом получило название «исправление по методу максимального правдоподобия».

Определим теперь, каким минимальным d должен обладать корректирующий код, который по методу максимального правдоподобия позволил бы исправлять ошибки с кратностью от 1 до ν_u. В соответствии с этим методом запрещенная комбинация, получаемая из некоторой кодовой в результате искажения ν_u символов, должна отличаться от любой другой кодовой комбинации больше, чем ν_u символами, то есть расстояние между любыми кодовыми комбинациями должно удовлетворять условию d>2ν_u, или

. (14)

Из (14) видно, например, что для того, чтобы код обеспечивал исправление любой одиночной ошибки, он должен иметь d≥3.

Теперь найдем, каково должно быть d кода, чтобы он мог обнаруживать ошибки кратности ν₀. и менее и исправлять ошибки кратности ν_u и менее. Во-первых, заметим, что для того, чтобы код мог исправлять ошибки кратности от 1 до ν_u, он должен их прежде обнаруживать, поэтому всегде ν_uν₀.

Во-вторых, чтобы код мог обнаруживать ошибки кратности ν₀ эти ошибки не должны переводить кодовые комбинации в такие закрещенные, которые исправляются в другие кодовые комбинации и, следовательно, отличаются от последних не более чем в ν₀ символах. Поэтому для такого кода

. (15)

Нетрудно убедиться, что при ν₀ =0 (15) переходит в (13), а при ν_и =ν₀ – в (14).

Отметим, что конкретное использование d кода определяет разработчик устройства передачи информации.