5. Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса. Белый шум

С одной стороны, скорость изменения x(t)во времени определяет ширину спектра. С другой стороны, скорость измененияx(t)определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что междуW_x()иK_x()имеется взаимно однозначная связь.

Теорема Винера-Хинчина утверждает, что K_x()иW_x()связаны между собой преобразованиями Фурье:

. ∞ -j

W_x() =  K_x()e d, (2.94)

-∞

(2.95)

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид:

. ∞ -j

W_x() =  R_x()e d, (2.94а)

-∞

(2.95а)

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобразований Фурье, установленным в п. 2.9 для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции и, соответственно, тем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса.

Рис. 2.25. Спектр белого шума

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах -∞<<∞(рис. 2.25).

Если в выражении (2.95а) подставить W_x()=W₀=const, то получим:

(2.96)

где ()– дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляционная функция равна нулю для всех значений, кроме=0, при которомR_x(0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика. Если спектрW_x() ограничен сверху частотой_в, то такой процесс называется квазибелым шумом.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение дискретного, непрерывного, детерминированного и случайного сигнала.

2. Какие виды носителей информации используются для передачи сообщений?

3. В чем состоят условия Дирихле для периодических сигналов?

4. Поясните смысл величин, входящих в тригонометрическую и комплексную формы записи ряда Фурье.

5. Какой вид имеет спектр периодического сигнала?

6. Какова практическая ценность спектрального представления при решении задач о прохождении сигнала через линейную систему передачи информации?

7. Нарисуйте спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов, дайте определение скважности импульсной последовательности.

8. Запишите выражения для ряда Фурье последовательностей пилообразных и треугольных импульсов.

9. Дайте определение понятию средней мощности периодического сигнала.

10. Каким образом вводится понятие спектра для непериодических сигналов?

11. Запишите выражения для прямого и обратного преобразований Фурье, дайте определение понятия спектральной плотности и ее размерности.

12. Каким образом преобразование Фурье используется для исследования прохождения непериодических сигналов через линейные системы передачи?

13. Дайте определение основным свойствам преобразования Фурье (сдвиг сигналов во времени, изменение масштаба, дифференцирование и интегрирование сигналов, сложение сигналов).

14. Как формулируются условия неискаженной передачи сигналов и физической реализуемости линейных систем передачи информации?

15. Нарисуйте и поясните графики модулей спектральных плотностей прямоугольного и треугольного импульсов.

16. Дайте определение дельта-функции и укажите основные ее свойства.

17. Каким образом оценивается в технике практическая ширина спектра сигнала, и какие характеристики полностью определяют сигнал?

18. Дайте определение понятий реализации и ансамбля реализаций случайного процесса.

19. Какой случайный процесс называется стационарным?

20. Дайте определение основных характеристик случайного процесса.

21. Какие характеристики связаны с многомерным законом распределения, и какие параметры отражают структуру случайного процесса?

22. Дайте определение функции корреляции и интервала корреляции.

23. Нарисуйте графики одномерной плотности вероятности нормального распределения и сформулируйте основное положение центральной предельной теоремы.

24. Что нужно знать для определения спектральной плотности мощности случайного процесса?

25. Укажите основные свойства белого щума.