2. Многомерный закон распределения мгновенных значений случайной величины и связанные с ним основные характеристики

Одномерная плотность вероятности недостаточна для полного описания процесса, так как она дает вероятностное представление о случайном процессе X(t₁) только в отдельные фиксированные моменты времени. Более полной характеристикой является двумерная плотность вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂), позволяющая учитывать связь значений x₁ и x₂, принимаемых случайной функцией в произвольно выбранные моменты времени t₁ и t₂.

Исчерпывающей вероятностной характеристикой случайного процесса является n-мерная плотность вероятности при достаточно больших n. Однако большое число задач, связанных с описанием процессов, удается решать на основе двумерной плотности вероятности.

Задание двумерной плотности вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂) позволяет, в частности, определить важную характеристику случайного процесса – ковариационную функцию:

K_x(t₁, t₂) = M[X(t₁)X(t₂)]. (2.84)

Согласно этому определению ковариационная функция случайного процесса X(t) представляет собой статистически усредненное произведение значений случайной функции X(t) в моменты времени t₁ и t₂.

Для каждой реализации случайного процесса произведение x(t₁)x(t₂) является некоторым числом. Совокупность реализаций образует множество случайных чисел, распределение которых характеризуется двумерной плотностью вероятности p(x₁, x₂; t₁, t₂). При заданной функции p(x₁, x₂; t₁, t₂) операция усреднения по множеству осуществляется по формуле:

∞ ∞

K_x(t₁, t₂) =  x₁x₂ p(x₁, x₂; t₁, t₂)dx₁x₂. (2.85)

-∞ -∞

При t₁=t₂ двумерная случайная величина x₁x₂ вырождается в одномерную величину x₁²=x₂². Можно поэтому записать:

∞

K_x(t₁,t₂) = x₁² p(x₁; t₁)dx₁ = M[X²(t)]. (2.85а)

-∞

Таким образом, при нулевом интервале между моментами t₁ и t₂ ковариационная функция определяет величину среднего квадрата случайного процесса в момент t=t₁.

Как уже говорилось, частичное описание свойств случайного процесса может быть дано при помощи неслучайных функций времени M₁(t) и ²(t). Недостаточность только таких характеристик хорошо видна из сопоставления двух процессов, заданных ансамблями их реализаций и представленных на рис. 2.23.

Рис. 2.23.Нестационарные случайные процессы с одинаковыми среднимM₁(t)и дисперсией²(t)

Из рис. 2.23 а и б видно, что процессы имеют приблизительно одинаковые средние значения M₁(t)и дисперсии²(t). Однако характеры протекания этих процессов во времени и их внутренние структуры различны. В первом преобладают медленные изменения во времени, а во втором – более быстрые. Таким образом, среднее значение и дисперсия не отражают структуры случайного процесса, быстроты его протекания. Быстрота изменения случайной функции может характеризоваться степенью статистической связи мгновенных значений, взятых в различные моменты времени.

Количественно эта связь устанавливается корреляционным моментом:

R_x(t₁, t₂) = M{[X(t₁) – X(t₁)][X(t₂) – X(t₂)]} (2.86)

для случайных величин X(t₂) = X₂.

Подробнее символическая запись (2.86) может быть представлена в виде:

∞ ∞ __ __

R_x(t₁, t₂) =  (x₁ – X₁)(x₂ – X₂)p₂(x₁x₂)dx₁x₂. (2.87)

-∞ -∞

Выражения (2.86) и (2.87) являются функциями двух переменных t₁иt₂и поэтому называютсякорреляционными или автокорреляционными функциями.

В теории вероятностей доказывается, что величина корреляционного момента двух случайных величин не зависит от последовательности, в которой эти величины рассматриваются. Вследствие этого корреляционная функция симметрична относительно t₁иt₂, т.е.:

R_x(t₁, t₂) = R_x(t₂, t₁).

Это же свойство вытекает из определения корреляционной функции по формуле (2.86).

Поскольку корреляционная функция отражает статистическую связь между значениями одной и той же случайной функции, взятыми в моменты t₁иt₂, она убывает с ростом интервала = t₁ – t₂. Корреляционная функция является более полной характеристикой случайного процесса, чем дисперсия, включающая ее как частный случай.

При анализе случайных процессов часто вводится понятие нормированной функции автокорреляции:

(2.88)

Из (2.88) следует, что приt₁ = t₂

_x(t₁, t₂) = 1.

Функция корреляции позволяет ввести понятие интервала корреляции. Под интервалом корреляции понимают такое значение_k = t₁ – t₂, при котором

_x(t₁, t₂) = ,

где <1– некоторая заданная величина. Величина может зависеть от конкретно поставленной задачи. Введение этого понятия позволяет приближенно считать мгновенные значения случайного процессаX(t₁)иX(t₂)приt₁ – t₂>_kнекоррелированными.

В приложении к многомерным законам распределения можно сказать, что случайный процесс называется строго стационарным, если его плотность вероятностиp(x₁, x₂, …, x_n; t₁, t₂, …, t_n)произвольного порядкаnзависит только от интерваловt₂ – t₁, t₃ – t₁, …, t_n – t₁и не зависит от положения этих интервалов в области изменения аргументаt.

В теории сигналов условие стационарности обычно ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности. Выполнение этого условия позволяет считать, что математическое ожидание, средний квадрат и дисперсия случайного процесса не зависят от времени, а корреляционная функция зависит не от самих моментов времени t₁иt₂, а только от интервала между ними=t₁ – t₂.

Дальнейшее упрощение анализа случайных сигналов достигается при использовании условия эргодичностислучайного процесса.Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если при определении любых статистических характеристик усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной теоретически бесконечно длинной реализации.

Определение статистической связи между мгновенными значениями случайного сигнала (корреляционный анализ) и свойство эргодичности широко используются в современных системах приема и обработки сигналов.