Способы восстановления непрерывных функций по дискретам

Операция восстановления непрерывной функции по дискретам выполняется преобразователями, называемыми восстановителями, и в силу неоднозначности выполнения в общем случае не приводит к получению всей утраченной при дискретизации информации. Практически все рассматриваемые ниже способы восстановления означают тот или иной способ низкочастотной фильтрации импульсного сигнала. В общем случае способы восстановления являются приближенными. Большинство способов восстановления основано на замене истинных участков непрерывной функции участками каких-либо простейших функций: полиномами нулевого, первого и (реже) более высоких порядков.

Простейшим способом восстановления непрерывных функций является ступенчатая аппроксимация. Способ заключается в воссоздании исходной функции y(t) непрерывного аргумента по дискретам в виде ступенчатой функцииy_в(t) при помощи многочлена нулевой степени (рис. 16):

y_в(t)=y(t_k)·t⁰=y(t_k) дляt_k≤t<t_k+1.

Функцию y_в(t), полученную в результате восстановления по дискретамy(t_k), называют воспроизводящей функцией. Разность между значениями исходной функцииy(t) непрерывного аргумента и воспроизводящей функцииy_в(t), взятыми при одних и тех же значениях аргумента, называется ошибкой восстановления: как уже указывалось выше, чаще всего берут модуль этой разности: |y(t)-y_в(t)|.

На рис.16 видно, что способ ступенчатой аппроксимации характеризуется большой ошибкой восстановления.

Менее грубым способом восстановления непрерывных функций является линейная интерполяция. Она состоит в воссоздании исходной функции непрерывного аргумента при помощи многочлена первой стпени (рис. 17). Иначе, воспроизводящей функцией является функция вида

Существуют другие способы восстановления. Например, непрерывная функция может воссоздаваться не в виде ломаной, как при линейной интерполяции, а отрезками парабол. В этом случае интерполяционный многочлен (воспроизводящая функция) представляет собой многочлен n-й степени, т.е. непрерывная функция заменяется отрезками параболыn-й степени. Обычно набор воспроизводящих функций определяется в основном степенью сложности устройств дискретизации и восстановления. Это обусловлено тем, что стремление к очень высокой точности восстановления может привести к усложнению аппаратуры и отсюда – к большим аппаратурным погрешностям.

Все типы воспроизводящих функций, рассмотренных выше, позволяют лишь приближенно восстановить исходную функцию. Возникает вопрос: существует ли какой-либо способ выбора шага дискретизации и воспроизводящей функции, который обеспечивал бы абсолютно точное восстановление непрерывной функции по дискретам. В общем случае такого способа не существует, однако в частном случае, т.е. для определенного класса функций, этот способ задается следующей теоремой.

Способы восстановления для каждого варианта указаны в графе 10 задания В соответствии с заданным способом восстановления выбрать вид воспроизводящей функции У_в(t) и произвести операцию восстановления. Определить значения дискрет в моментыt_k и построить в соответствии со способом восстановления непрерывную функцию.

В пояснительной записке привести описание способов восстановления, таблицу в координатах t_k– значение дискрет, графики дискретной и восстановленной непрерывной функции.

Верность передачи сообщений кодом.

Верность передачи сообщений кодом характеризуется степенью соответствия между комбинацией на выходе устройства обнаружения и исправления ошибок и комбинацией на входе канала. Количественно верность передачи удобно характеризовать вероятностью получения неправильной кодовой комбинации, а также другими вероятностями, характеризующими канал связи и используемый корректирующий код. Для определения указанных характеристик используется соответствующая модель канала связи, которая дает возможность определить вероятность переходов из – за помех в канале связи 1 в 0, и 0 в1 (вероятность ошибки р) и вероятность правильного приема символов – q. Эти вероятности определяются по статистике ошибок для конкретного канала связи.

Статистика ошибок в комбинациях определяется каналом, по которому производится передача. В настоящее время статистика ошибок получена для большинства реальных каналов. Это позволило разработать различные математические модели, с той или иной степенью точности отражающие процессы передачи символов по данным каналам и служащие для их теоретического исследования. Из широко используемых моделей каналов мы здесь остановимся только на одной — двоичном симметричном канале без памяти. В отношении этой модели корректирующие коды исследованы наиболее полно.

Ориентация на двоичный симметричный канал (ДСК) при исследовании свойств кодов, несмотря на то, что эта модель лишь весьма приближенно описывает большинство реальных каналов связи, объясняется ее простотой. Действительно, ДСК характеризуется тем, что искажения отдельных символов в передаваемых по нему комбинациях независимы и вероятности искажений символов 0 и 1 одинаковы (р₀= р₁= р). Поэтому процесс передачи любого двоичного символа комбинации кода по ДСК может быть описан при помощи всего двух чисел — вероятности искажения символа р и вероятность правильной передачи q = I – p. ДСК обычно представляют графом, изображенным на рис. 18.

Рис. 18. Двоичный симметричный канал

Для ДСК при p < q справедливо утверждение: если на выход канала пришла некоторая запрещенная комбинация, то вероятность того, что она появилась в результате ошибок меньшей кратности, больше, чем вероятность того, что она порождена ошибками большей кратности.

Определим теперь, каким минимальным d должен обладать корректирующий код, который по методу максимального правдоподобия позволил бы исправлять ошибки с кратностью от 1 до _и. В соответствии с этим методом запрещенная комбинация, получаемая из некоторой кодовой в результате искажения_и символов, должна отличаться от любой другой кодовой комбинации больше, чем_и символами, то есть расстояние между любыми кодовыми комбинациями должно удовлетворять условию

d> 2_и ,

или

d2_и + 1

Из последней формулы видно, например, что для того, чтобы код обеспечивал исправление любой одиночной ошибки, он должен иметь d 3.

Рассмотрим передачу комбинаций кода по ДСК. При подаче на вход канала некоторой комбинации длины nвероятность получить ее на выходе без ошибок

P = qⁿ, q = 1-p

cνошибочными символами

P_ν = C^ν_n p^ν q^n-ν , где p^ν – вероятность искажения ν символов;q^n-ν - вероятность того, что оставшиесяn-ν символов в комбинации будут неискаженны;C^ν_n- число возможных случаев искажения в комбинации ν символов изn, и наконец, содержащую не более ν ошибочных символов

Используя приведенные выше соотношения, в работе определяются:

1. Вероятность появления на выходе канала связи комбинации без ошибки

P_б.ош.=qⁿ

2. Вероятность появления на выходе канала связи комбинации с ошибкой

3. Вероятность появления на выходе канала связи однократных, двукратных, …. , - кратных, ……, n– кратных ошибок

P_ν=1=C'_np'q^n-1,P_ν=2=C²_np²q^n-2,P_ν=C^ν_np^νq^n-ν,P_ν-n=Cⁿ_νpⁿq^n-n=pⁿ,

4. Вероятность не обнаружения ошибок на выходе устройства обнаружения:

- Для кода с проверкой на четность: P_н=C'_np'q^n-1+C_n³p³q^n-3+

- Для кода с повторением без инверсии: P_н=C'_kpq^k-1pq^k-1+C_k²p²q^k-2p²q^k-2+

- Для кода с повторением и инверсией: P_н=C_k²p²q^k-2p²q^k-2+C_k⁴p⁴q^k-4p⁴q^k-4+

- Для корреляционного кода: P_н=C'_n/2p²q^n-2+C²_n/2p⁴q^n-4

- Для кода с постоянным весом: P_н=C'_m pq^m-1C_n-m pq^n-m-1+C_m²p²q^m-2 C_n²-_mp²q^n-m-2=C'_n C'_m-n p²q^n-2+Cn²C_n-m p⁴q^n-4

5. Вероятность обнаружения ошибок на выходе устройства обнаружения для всех кодов

P₀₀= 1-qⁿ–P_но,P₀₀=pⁿ-qⁿ

Требование к отчету по практическим занятиям.

Отчет содержит четкое задание. Описание преобразований и полученные результаты в виде таблиц, графиков, формул.