GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

3.3.Синтез импульсных систем управления

соднозначными кусочно-линейными характеристиками

произвольного вида

Вработах, посвященных решению задачи параметрического синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ обобщенным методом Галеркина [89, 90, 206 и др. ], приводятся рекуррентные аналитические выражения, полученные для типовых нелинейных элементов, характеристики которых допускают кусочно-линейную аппроксимацию.

Следует отметить целесообразность такой аппроксимации, поскольку точный учет характеристик нелинейных звеньев существенно усложняет расчеты и вместе с тем не приводит к возрастанию точности получаемых результатов. Это обусловлено тем, что применяемый для решения задачи синтеза подход является приближенным в силу обстоятельств, изложенных ранее. При использовании кусочно-линейной аппроксимации (характеристики нелинейных звеньев заменяются прямолинейными отрезками) кусочно-линейные САУ рассматриваются как линейные модели с предысторией [209] и для получения надежных результатов применяется теория обобщенных функций [205].

Втех случаях, когда рассматривается нелинейная САУ с характеристикой нелинейного элемента отличной от типовой возможны следующие пути решения данной проблемы:

– получение рекуррентных аналитических выражений Bq, Bq*, определяющих интегралы Галеркина для рассматриваемой характеристики нелинейного элемента;

– получение рекуррентных аналитических выражений Bq, Bq*, определяющих интегралы Галеркина для характеристики произвольного вида, представленной набором произвольного (в общем случае n) числа отрезков прямых на плоскости; данный подход предложен и реализуется

Л.А. Осиповым и Т. Г. Поляковой;

– применение эквивалентного представления характеристик нели-

нейных звеньев набором типовых, для которых соответствующие соотношения получены ранее [187, 208].

В первом случае требуется выполнять достаточно сложные операции интегрирования и дифференцирования обобщенных функций, что само по себе является весьма трудоемкой задачей.

81

Во втором случае рекуррентное аналитическое выражение необходимо получать лишь один раз, поскольку характеристика нелинейного звена представлена в общем виде произвольным набором отрезков прямых на плоскости. Существенный недостаток такого подхода заключается в том, что задача из математической области переходит в алгоритмическую. Это обусловлено тем, что получить рекуррентное соотношение в общем виде для произвольной нелинейной характеристики и произвольного программного движения на ее входе (представленного суммой комплексных экспонент) не сложно. Вместе с тем составить алгоритм и написать соответствующую программу (так как метод ориентирован на использование вычислительной техники) весьма непросто из-за того, что в них необходимо предусматривать процедуры определения моментов переключения нелинейности, которые зависят как от вида характеристики, так и от вида процесса на ее входе (заранее неизвестны).

Поэтому представляется целесообразным применять на практике третий подход, сводящий решение данной задачи к эквивалентным преобразованиям нелинейности произвольного вида (эквивалентная замена нелинейности произвольного вида набором типовых характеристик).

Рассмотрим это положение на примере ряда нелинейных элементов, которые соответствуют характеристикам устройств, широко применяемых в непрерывных и импульсных системах управления [197]. На рис. 3.1, 3.2 представлены эквивалентные преобразования некоторых нелинейных характеристик: характеристики золотников гидро- и пневмосервомоторов (рис. 3.1, а); зависимости коэффициента сцепления от величины относительного проскальзывания (рис. 3.1, б); статической многоступенчатой характеристики квантователя-экстраполятора (рис. 3.1, в); нелинейности типа холостой ход (рис. 3.2, а); нелинейности типа начальный скачок и ограничение (рис. 3.2, б); нелинейности типа отрицательный дефект (рис. 3.2, в). Как видно из рис. 3.1, 3.2, исходные характеристики структурно преобразованы с использованием параллельного включения комбинаций типовых нелинейных и линейных элементов. При таком структурном преобразовании процесс на входе исходного нелинейного звена совпадает с процессом на входах нескольких параллельно включенных элементов, т. е. не возникает необходимости пересчета процесса на входы типовых нелинейных звеньев, что представляет собой достаточно сложную задачу. Так, например пересчет процесса, неизбежен при последовательном включении нелинейных звеньев или

82

83

охвате нелинейного звена обратной связью другим нелинейным звеном.

Обобщая показанные на рис. 3.1, 3.2 эквивалентные преобразования, можно записать следующее аналитическое выражение [187]:

l

F x0 (t) = ∑ Fg x0 (t) , (3.45)

g =1

либо при наличии импульсного процесса на входе нелинейного элемента

где Fg[x0(t)], Fg[x0*(t)] – типовые нелинейные характеристики: переменный коэффициент усиления; зона нечувствительности; насыщение (ограничение); релейная характеристика, в том числе с зоной нечувствительности.

С учетом (3.45), (3.46) интегралы Bqi, Bqi* принимают вид

где Bqig, Bqig* – рекуррентные аналитические выражения, определяющие интегралы Галеркина типовых нелинейных элементов, представленные в таблицах приложения; g – число типовых нелинейных звеньев, включенных параллельно друг другу.

Таким образом, соотношения вида (3.45)–(3.47), представляющие собой аналитическое выражение принципа эквивалентных преобразований нелинейных характеристик, позволяют использовать обобщенный метод Галеркина к системам, содержащим нелинейные зве-

84

нья с характеристикой произвольного вида, допускающей кусочнолинейную аппроксимацию.

85

3.4.Синтез импульсных САУ

сучетом конечной длительности замыкания импульсного элемента

Проектирование реальных систем с амплитудно-импульсным модулятором часто приводит к необходимости учета влияния длительности замыкания ключа на динамику синтезируемой системы. Поэтому ниже рассматриваются некоторые особенности метода ортогональных проекций применительно к параметрическому синтезу реальных САУ с АИМ. Необходимо отметить, что данные особенности связаны, прежде всего, с получением рекуррентных соотношений, определяющих соответствующие интегралы вида (3.6), поскольку, изложенная общая схема решения поставленной задачи остается неизменной для САУ любого класса из числа детерминированных.

В соответствии с терминологией, принятой во второй главе, исследуемая координата, относительно которой записано уравнение движения САУ (в случае нелинейных систем – координата входа нелинейного элемента) и входное воздействие на выходе импульсного элемента типа I описываются следующим образом:

где τ = γT – ширина импульса на выходе модулятора, здесь γ < 1. Рассмотрим получение аналитических выражений, определяющих

интегралы Aqi*, Bqi*, Cqi* для импульсных элементов типа I и II. Следует отметить, что данные интегралы вычисляются в соответствии с пра-

86

вилами действия над обобщенными функциями [205] и функциональными рядами [210]. Воспользуемся следующими соотношениями:

последнее из которых описывает фильтрующее свойство δ -функции, существующей в момент времени t = τ .

Если на вход синтезируемой системы действует скачкообразное воздействие амплитудой H, то на выходе импульсного элемента как типа I, так и типа II, в соответствии с (3.49), (3.51), имеем процесс вида

Далее, используя соотношения (3.52) – (3.54), получаем следующее при i = 0:

87

Сомножитель, стоящий под знаком суммы, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q = e–ρqT, сумма членов которой может быть определена по формуле

при i = 1, рассуждая аналогично, получаем следующее:

………………………………………………………………………

при i = v* имеем

88

Обобщая полученные результаты, окончательно получаем следующее:

Теперь перейдем к вычислению интегралов A*qi. В случае импульсного элемента типа I процесс на выходе модулятора (при сигнале вида (3.2) на входе) будет иметь вид

Далее в результате выкладок, аналогичных вычислению данного интеграла в случае идеального импульсного элемента [90, 215, 231], получаем рекуррентное аналитическое соотношение следующего вида:

89

либо

Следует отметить, что первый интеграл формулы (3.63) аналогичен соотношению (3.59), поэтому рекуррентное выражение для его определения будет следующим:

Для вычисления второго интеграла соотношения (3.63) необходимо определить обобщенную производную i-го порядка от непрерывной на интервале от (t–nT) до (t–(n+γ )T) функции x(t). Обобщенная производная i-го порядка от данной функции определяется следующим выражением:

90