GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

где tj – моменты переключения нелинейности; F+j(t) и F–j(t) – аналитические выражения нелинейной функции, соответственно, до и после момента переключения tj; F+0(t) = F–1(t) – аналитическое выражение нелинейной функции в момент времени t = +0; r – число переключений нелинейной функции, зависящее от вида характеристики нелинейного

Производная i-го порядка обобщенной функции (3.11) определяется следующим образом:

Di {F x0 (t), x0(t) }= F(i ) (t)1(t) + F(i−1) (0)δ(t) +…+ F+ (0)δ(i−1) (t) +

+0 +0 0

Rl = F+(lj) (t j )− F−(lj) (t j ),

здесь F−(lj) (t j ) и F+(lj) (t j ) значения производных F–j(t) и F+j(t) порядка l в

момент времени t = tj слева и справа соответственно; δ (t), δ i(t) (i = 1, 2,... )

j=1 n=σ j

где F+j(nT),F–j(nT) – величины n дискретных значений функций F+j(t), F–j(t) до и после момента переключения tj, соответственно, определяемые выражениями вида

71

σ j = E(tj/T) – символ E означает целую часть числа; r – число переключений нелинейной функции, зависящее от характеристики нелинейного элемента и вида желаемого программного движения; F+0(nT) – величина n-го дискретного значения функции F+0(t), являющейся выражением нелинейной функции в момент времени t = +0

∞

F+0 (nT ) = ∫ F+0 (t )δ (t − nT )dt.

0

Производная i-го порядка обобщенной функции (3.13) определяется следующим образом:

j=1 n=σ j

где δ (i)(t–nT) – производные дельта-функции Дирака порядка i.

Таким образом, использование соотношений (3.11)–(3.14) позволило вычислить интегралы Галеркина Bqi и B*qi [90,187]

Аналитические выражения, определяющие Bq и Bq* для типовых нелинейностей при различных процессах на их входах в случае САУ с идеальным импульсным элементом приведены в таблицах Приложения.

72

Как было отмечено выше, в общем случае задача параметрического синтеза САУ решается при ограничениях на значения варьируемых параметров, устойчивость и грубость системы. Поэтому значения искомых параметров оператора управления, удовлетворяющие заданным ограничениям и обеспечивающие приближенное выполнение условия (2.19), определяются с помощью нелинейного программирования путем минимизации целевой функции

поиск оптимума функционала (3.17) осуществляется с помощью процедуры направленного случайного поиска [89, 90, 206].

Рассмотрим синтез импульсной САУ, содержащей идеальный импульсный модулятор с экстраполятором нулевого порядка. Уравнение динамики такой системы, содержащей нелинейное звено с кусочно-линей- ной характеристикой, имеет вид (3.1). Однако как следует из (2.6), внешнее входное воздействие (3.4) и желаемое программное движение (3.2) на выходе импульсного элемента с экстраполятором нулевого порядка будут определяться следующим образом:

Поэтому для решения задачи параметрического синтеза импульсной САУ с экстраполятором нулевого порядка методом ортогональных проекций необходимо минимизаровать функционал вида (3.17), в котором

73

интегралы Aqi*, Bqi*, Cqi* будут определяться следующими выражениями [90, 187]:

Таким образом, использование рекуррентных аналитических выражений (3.8), (3.10), (3.16), (3.20), определяющих интегралы Галеркина Aq*, Bq*, Cq*, позволяет полностью алгебраизировать решение задачи синтеза нелинейных импульсных систем управления, в том числе с запоминающим элементом нулевого порядка. При этом решение задачи синтеза сводится к выполнению простых алгебраических операций, единообразных для САУ любых структур произвольно высокого порядка. Необходимо отметить, что обобщенный метод Галеркина может эффективно использоваться применительно к синтезу непрерывных нелинейных систем управления [89, 202, 204]. При этом в уравнении движения системы (3.1) будут отсутствовать полиномы, а в функционале (3.17) интегралы с индексом «*». В остальном схема решения задачи синтеза параметров регулятора полностью соответствует вышеизложенной схеме для импульсных САУ. Кроме того, такой подход может быть применен и для решения более простой задачи – параметрического синтеза линейных как непрерывных, так и импульсных систем управления. В этом случае в уравнении движения САУ будут отсутствовать полиномы, относящиеся к нелинейному звену, а в целевой функции соответствующие им интегралы.

3.2. Взаимосвязь интегральных соотношений амплитудно-импульсных и непрерывных систем управления

Решение практических задач синтеза импульсных систем управления обобщенным методом Галеркина показывает, что с уменьшением периода квантования процесс в САУ с синтезированными параметрами стремится к

74

желаемому программному движению, заданному в виде непрерывной функции времени. Следовательно, возможен предельный переход при T→ 0 от соотношений Aqi*, Bqi*, Cqi*, определяющих интегралы Галеркина импульсных систем к соотношениям Aqi, Bqi, Cqi, определяющим соответствующие интегралы непрерывных систем управления.

Докажем выдвинутое предположение, используя теорию пределов [207]. Рассмотрим предельный переход при T→ 0 от соотношений Aqi* к соотношениям Aqi. В соотношениях (3.7), (3.20) Aq и Aq* определяются следующими формулами:

75

Используя теорему о пределе суммы функций [207]: если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при x→ a, то предел этой алгебраической суммы при x→ a существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых, т. е.

Следовательно, с учетом (3.27) соотношение (3.26) принимает вид

Затем, используя теорему о пределе частного от деления функций [207]: если делимое f(x) и делитель g(x) имеют предел при x→ a и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при x→ a равен частному пределов делимого и делителя

Однако предел функций M и N при T→ 0 равен нулю. Поэтому для определения предела соотношения (3.30) необходимо воспользоваться правилом Лопиталя [208]: если при подстановке x → a (a = ±0) в функцию f(x) возникают неопределенности вида 0 / 0, либо ∞ / ∞ , то для вычисления такого предела можно использовать следующее:

знаменателе, не равна нулю, то предел частного от деления функций будет равен пределу частного от деления первых производных исходных функций, т. е.

76

Если же и предел первых производных вновь дает неопределенность, то необходимо определить предел отношения производных тех порядков исходных функций (если производная соответствующего порядка функции, стоящей в знаменателе не равна нулю), которые не будут давать неопределенности. Так для рассматриваемого соотношения (3.30), необходимо определить предел отношения вторых производных функций M и N

В соответствии с этим, определим предел второй производной соотношения (3.32)

либо с учетом принятых обозначений (3.33) получаем следующее:

Аналогично определим предел второй производной соотношения (3.24). В результате получаем следующее:

Используя соотношения (3.35), (3.36), с учетом формулы (3.31) окончательно имеем

77

Таким образом, полученное соотношение тождественно равно соот-

ношению (3.21), т. е. lim A = A , что и требовалось доказать.

q q

T → 0

По аналогии с изложенным выше, рассмотрим предельный переход при T→ 0 от Bq* к Bq. Вид данных соотношений зависит от вида нелинейной характеристики и процесса на ее входе. Поэтому в качестве примера рассмотрим предельный переход для соотношений, полученных для нелинейности типа «переменный коэффициент усиления» и процесса вида

соответствующего записи уравнения движения САУ относительно выхода системы.

Данные рекуррентные выражения для указанной нелинейности и процесса (3.38) имеют следующий вид:

k1, k2, b – параметры нелинейной характеристики, имеющей в общем случае r переключений при наличии процесса (3.38) на ее входе;

r

Bq = (k2 − k1 )(xу − b)∑ (−1) j−1 e−ρqσ jT + k1 ×

j=1

78

Будем полагать, что моменты времени переключения нелинейной характеристики при импульсном сигнале на ее входе, определяются без погрешности, т. е. σ j = tj/T. Используя данное допущение, а также, принимая во внимание, что выражение, стоящее в первых квадратных скоб-

Поскольку предел соотношения Aq* был определен ранее, а второе слагаемое формулы (3.42) не зависит от T, то для решения поставленной задачи – нахождения предела аналитического выражения (3.41) следует лишь определить предел от соотношения:

79

Обозначим числитель и знаменатель дроби через M и N соответственно. Тогда с учетом обозначений, введенных ранее (3.33), предел второй производной числителя данной дроби будет