GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

Опыт проектирования САУ показывает, что для наилучшего приближения желаемого программного движения x0(t) к реальному процессу, протекающему в системе с синтезированными параметрами, коэффициент затухания ρ1 координатных функций целесообразно выбрать

где α – коэффициент затухания составляющей желаемого программного движения, которая оказывает наибольшее влияние на длительность переходного процесса.

Остальные коэффициенты затухания ряда ρm–1 следует выбрать в виде геометрической прогрессии (со знаменателем прогрессии r = 2), т. е.

что обеспечивает меньшее время затухания каждой из m–1 экспонент по сравнению со временем затухания первой координатной функции.

2.5.Синтез импульсных САУ

снесколькими нелинейными элементами

Рассмотренный выше метод ортогональных проекций может использоваться для решения задачи параметрического синтеза систем управления с различными видами модуляции сигнала, содержащих несколько (в общем случае r) нелинейных звеньев. Задача синтеза параметров в данном случае решается в постановке аналогичной решению задачи синтеза САУ с одним нелинейным элементом.

Особенности применения метода ортогональных проекций (обобщенного метода Галеркина) в случае синтеза САУ с несколькими нелинейностями заключается в следующем:

– необходимо минимизировать r невязок из условия обеспечения заданных показателей качества работы синтезируемой САУ при ограничениях на грубость и абсолютную устойчивость системы, а также технических ограничениях, наложенных на значения искомых параметров.

Динамика импульсной системы управления с нелинейными элементами r описывается в матричной форме уравнением вида

61

где x = x1(t), x2(t),..., xr(t) т; x* = x*1(t), x*2(t),..., x*r(t) т – векторыстолбцы непрерывных и импульсных процессов на входах нелинейных

R, R* – квадратные матрицы порядка r вида;

S, S* – векторы-столбцы, содержащие r строк, вида

Матрицы Q, Q*, R, R*, S, S* являются функциями оператора обобщенного дифференцирования D и в общем случае функциями варьируемых параметров C = ck т, k = 1, 2,..., m.

Подставим вектор желаемого программного движения в уравнение (2.74) и образуем вектор невязки

где Ψ (C,t) – вектор-столбец невязки, определяемый следующим образом:

62

ры столбцы непрерывных и импульсных желаемых процессов на входах

нелинейных элементов соответственно; y0 = y01(t), y02(t),..., y0r(t) т; y0* = y0*1(t), y0*2(t),..., y0*r(t) т – векторы-столбцы непрерывных и

импульсных процессов на выходах нелинейных элементов при наличии на их входах желаемых программных движений.

Ортогональность невязки системе координатных функций приводит к следующей системе алгебраических уравнений:

∞

∫ ψi (C,t)ϕ q (t)dt= 0, i= 1,2,…, r.

0

В общем случае при нелинейной зависимости между варьируемыми параметрами и вследствие необходимости введения ограничений на устойчивость и грубость импульсной САУ безусловная ортогональность невязки координатным функциям выполняться не будет. Поэтому задача синтеза импульсных САУ произвольно высокого порядка с различными видами модуляции сигнала и произвольным числом нелинейных элементов в вычислительном плане сводится к задаче нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений Галеркина, и имеющей следующий вид

Варьируемые параметры оператора управления (регулятора) определяются путем минимизации функционала (2.76) с помощью известных [89, 90] методов поиска экстремума целевой функции. На каждом шаге поиска параметров проверяется ограничение на устойчивость нелинейной импульсной системы по частотному критерию абсолютной устойчивости В. М. Попова [45], представленному в алгебраической форме [89, 90].

Процедура определения вектора желаемых программных движений на входах нелинейных элементов по желаемому программному движению, задаваемому на выходе синтезируемой САУ, была предложена И. А. Орурком [89], поэтому ниже рассмотрим ее примене-

63

ние на примере конкретной структурной схемы САУ с несколькими нелинейными элементами.

Для определения вектора желаемых программных движений записываются уравнения связи между входными координатами нелинейных элементов и желаемым программным движением на выходе системы

где M1 = M1i – векторный оператор преобразований координаты выхода системы управления z0(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t); M2 = M2i – векторный оператор преобразований координаты выхода нелинейных элементов yi(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t); M3 = M3i – векторный оператор преобразований координаты f(t) в координаты входов нелинейностей xi0(t).

В частных случаях x0 может не зависеть от отдельных составляющих уравнения связи (2.77).

Рекомендуется следующая процедура определения желаемых процессов на входах нелинейных элементов, которая для наглядности иллюстрируется структурой системы управления приведенной на рис. 2.10, где приняты следующие обозначения: Wk (k = 1,..., 5) – передаточные функции линейных звеньев; Fi (i = 1,..., 5) – функциональные операторы нелинейных звеньев yi = Fi(xi, xi ).

Рис. 2.10

При этом возможны следующие случаи:

–пересчет процессов через линейные звенья от входа к выходу и наоборот;

–пересчет процессов через нелинейное звено от входа к выходу;

–пересчет процессов через нелинейное звено от выхода ко входу;

–пересчет процессов через линейные звенья, содержащие варьируемые параметры.

64

приведена на рис. 2.10. Для данной САУ процессы на входах четвертого F4 и пятого F5 нелинейных элементов по процессу z0(t) определяются непосредственно, так как процесс на входе F4 совпадает с z0(t), а процесс на входе F5 определяется символическим методом.

Желаемые процессы y0(t) на выходах F4 и F5 могут быть определены либо с помощью кусочно-линейной аппроксимации, либо с помощью обобщенной линеаризации.

Выходная координата третьего нелинейного элемента F3 совпадает с сигналомz0(t).Следовательно,дляопределенияжелаемогопроцессанавходе данной нелинейности необходимо построить обратную нелинейную характеристику. Если полученная обратная характеристика однозначна, то дальнейшие вычисления не отличаются от рассмотренного выше для F4. В случае неоднозначности обратной нелинейной характеристики необходимо осуществить итерационную процедуру, описанную выше.

Кнелинейному элементу F1 можно подойти с двух сторон. Более рациональным является движение слева, поскольку в начале будет определен желаемый сигнал на входе нелинейности при линеаризации

лишь одного нелинейного звена F5. При движении справа в начале необходимо определять процесс на выходе нелинейного звена F1. Для этого требуется осуществить линеаризацию трех нелинейных элементов

F2, F3, F4 и определять искомый процесс в каждой точке пространства варьируемых параметров. Кроме того, дальнейшее определение желае-

мого сигнала на входе F1 с помощью обратной нелинейной характеристики может дать неоднозначность решения.

Кнелинейному элементу F2 также можно подойти с двух сторон, причем в обоих случаях необходимо предварительно линеаризовать два нелинейных звена. Однако, движение справа предпочтительнее, поскольку в этом случае в уравнение связи не будет входит передаточная функция оператора управления, содержащая искомые параметры.

Таким образом, при движении последовательно от выхода САУ для

двух нелинейных элементов F4 и F5 желаемые процессы на их входах определены точно, а для остальных – приближенно с точностью до погрешности метода обобщенной линеаризации. В то же время при движении от входа системы необходима одновременная линеаризация всех нелинейных элементов, что требует достаточно трудоемкой итерационной процедуры, при этом определение процессов на входах всех нелинейностей должно производиться в каждой точке пространства варьируемых параметров.

66

Глава 3

СИНТЕЗ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

САМПЛИТУДНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Вданном разделе проводится детальная проработка общей схемы решения задачи синтеза импульсных САУ, изложенная в предыдущей главе, применительно к нелинейным системам с амплитудно-импульс- ными модуляторами.

Рассматривается получение рекуррентных аналитических выражений, определяющих интегралы Галеркина амплитудно-импульсных систем как с однозначными, так и неоднозначными характеристиками нелинейных элементов, для идеального импульсного элемента и с учетом конечной длительности замыкания ключа.

Полученные соотношения позволили полностью алгебраизировать решение поставленной задачи и построить унифицированный алгоритм синтеза нелинейных амплитудно-импульсных систем произвольно высокого порядка.

3.1. Системы автоматического управления

сидеальным импульсным модулятором

Втеории импульсных систем, как было отмечено выше, импульсный элемент обычно считают идеальным, т. е. сигнал на его выходе может быть представлен в виде (2.1). Рассмотрим решение задачи синтеза параметров САУ, содержащей идеальный АИМ и нелинейный элемент, характеристика которого допускает кусочно-линейную аппроксимацию. Необходимо отметить, что впервые обращение обобщенного метода Галеркина на решение задачи синтеза САУ с идеальным импульсным элементом было рассмотрено в ряде совместных работ В. Ф. Шишлакова и Л. А. Осипова.

Уравнение движения САУ, записанное относительно координаты входа нелинейности (исследуемая координата) x(t), имеет вид (2.17), либо с учетом выражений для полиномов оператора обобщенного дифференцирования D

67

нелинейного элемента при непрерывном x(t) и импульсном x*(t) входном сигнале соответственно.

В соответствии с общей схемой решения задачи параметрического синтеза нелинейных САУ методом ортогональных проекций (обобщенным методом Галеркина), изложенной выше, необходимо задаться желаемым программным движением. При синтезе нелинейных САУ n-го порядка (в соответствии с рекомендациями, изложенными во второй главе программное движение целесообразно (в первом приближении) задать в виде

Тогда сигнал на выходе идеального АИМ, согласно выражению (2.1), будет

Для определенности задачу синтеза рассмотрим при заданных граничных (начальных (2.13) и конечных (2.14)) условиях и внешнем воздействии вида f(t) = H1(t), которое на выходе импульсного элемента (в соответствии с (2.1)) будет описываться следующим образом:

Подставляя желаемое программное движение (3.2) в уравнение движения САУ (3.1), образуем невязку, а из условия ортогональности не-

68

вязки координатным функциям (2.19), выбранным в виде (2.72), получаем систему из m линейных алгебраических уравнений

В работах [90, 187, 201–204] подробно рассмотрена методика вычисления интегралов Галеркина (3.6) импульсных САУ, содержащих идеальный модулятор. Поэтому ниже приводятся лишь окончательные рекуррентные аналитические выражения, определяющие данные интегралы для процессов вида (3.2), (3.3)

69

q = 1, 2,…, m.

70