Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТАУ учебник

.pdf

Скачиваний:

231

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

4.33 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

а связь перерегулирования σ m с показателем колебательности = β/α, устанавливается выражением вида

xmax0

+ ϕ

arctgµ

exp

−

(2.49)

µ2 + 1

где xmax – первый экстремум процесса (2.44), определяется формулой

				π	+ ϕ	0+
		µ			+ ϕ	0+	arctgµ
x0	= −H	µ	exp −	2				.	(2.50)
x0	= −H		exp −					.	(2.50)
max		2 + 1
	µ	2 + 1				µ

В частном случае (при x0 = 0) выражение (2.49) существенно упрощается и принимает вид

			µ			−	π
		=			e	−
σ	m					µ ,
σ			2	+ 1		µ ,		(2.51)
		µ						(2.51)
		µ

который показывает, что выражение (2.51) с точностью до множителя, стоящего перед экспонентой совпадает с предложенным в [197, 199] соотношением (2.41).

Однако в более общем случае, необходимо учитывать влияние на величину перерегулирования не только значения колебательности процесса, но и начального значения скорости изменения программного движения.

Таким образом, при построении желаемого процесса вида (2.45) по координате ошибки в формулах (2.46), (2.47) следует положить x0 = H, xy = 0, а x0 < 0. Если же процесс строится по координате выхода системы, то – x0 = 0, xy = H, x0 > 0. Следовательно, для рассмотренных случаев соотношение (2.47) принимает вид

	αH − x0
ϕ 0=	arctg
			(2.52)
		βH

либо


ϕ =	arctg	1 − xотн	,	(2.53)
ϕ =	arctg		,
0		µ
		µ

где xотн = x0 α H – относительное значение скорости изменения желаемого процесса.

С учетом (2.53) выражение (2.49) принимает вид

1 − x

отн

+ arctg

+ arctgµ

σm =

exp

−

(2.54)

На рис. 2.5, 2.6 построены (в соответствии с соотношением (2.54)) семейства кривых σ m = σ m(µ, xотн ) при фиксированных значениях xотн и µ соответственно.

	σ m	1	2	3 4 5	σ
0,5		1	2	3 4 5	σ	m		5
0,5					0,5			5
								4
								3
0,3								2
0,3					0,3
								1
0,1					0,1
				µ				x'отн
								x'отн
0	1,0		3,0	5,0	0	1,0	3,0	5,0
		Рис. 2.5					Рис. 2.6
На рис. 2.5 приняты следующие обозначения: кривая 1 – xотн								→ ∞ ;
кривая 2 – xотн			= 4; кривая 3 – xотн		= 2; кривая 4 – xотн = 1; кривая 5 –
xотн	= 0.

На рис. 2.6 приняты следующие обозначения: кривая 1 – µ = 1,0;

кривая 2 – µ = 1,5; кривая 3 – µ = 2,0; кривая 4 – µ = 2,5; кривая 5 – µ = 3,0.

Решая уравнение (2.53) относительно xотн получаем аналитическую зависимость xотн = xотн (σ m, ), которая имеет следующий вид:

+ µ2

xотн =

+ µctg

µ ln σm

(2.55)

+ 1

В соответствии с соотношени-

5,0

ем (2.55) построено семейство

кривых = ( xотн ) при фикси-

рованных значениях перерегу-

лирования σ m, приведенное на

3,0

рис. 2.7, где приняты следующие

обозначения: кривая 1 – σ m = 0,1;

кривая 2 – σ m = 0,2; кривая 3 –

= 0,3; кривая 4 – σ

= 0,4; кри-

1,0

вая 5 – σ m = 0,5.

Применение графиков, пред-

x'отн

1,0

3,0

5,0

ставленных на рис. 2.5–2.7 позво-

ляет существенно упростить зада-
ние параметров желаемого про-	Рис. 2.7

граммного движения (2.45) в зависимости от показателей качества работы проектируемой САУ.

Используя соотношения (2.48), (2.53), (2.55), получим выражение, определяющее действительное начальное значение скорости изменения желаемого процесса (2.45)

[3; 4]H

(

+ µ2

)

x0 =

(2.56)

Tп.п

+ µctg

µ ln σm

+ 1

Теперь рассмотрим процесс, имеющий две экспоненциальные составляющие:

x0 (t)

= x

+ H e−α1 t

+ H

e−α2 t 1(t),

(2.57)

где H1, H2 – амплитуды составляющих, которые определяются следую-

щими соотношениями:

α2

x0−x

+ x0

α1

x0−x

+ x0

H1 =

, H

2 =

(2.58)

α2 −

α1

α1 − α2

здесь x0 , x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее производной соответственно, в момент времени t = +0; xy – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞ .

Установим взаимосвязь параметров движения вида (2.57) и времени переходного процесса Tп.п.

Приведем формулы (2.58) к виду

		(x0	− xy )+	1			γ (x0	− xy )+	1

				α2	x0				α2	x0
H1	=					, H2 =					( 2.59)
			1 − γ					γ −1

где γ = α1/α2 – отношение меньшего по величине коэффициента затухания α1 к большему – α2.

Как следует из общих рекомендаций по аппроксимации процесса в системах управления произвольного порядка основными составляющими, коэффициенты затухания для процесса (2.57) должны быть связаны соотношением (2.56), следовательно, величина γ лежит в диапазоне от нуля до единицы. Тогда, в соответствии с соотношениями (2.59), можно построить семейства зависимостей H1 = H1(γ , x0 ); H2 = H2(γ , x0 ), вид которых при x0 = 1 и xy = 0 показан на рис. 2.8, где приняты следующие обозначения: кривая 1 – x0 = 0; кривая 2 – x0 /α2 = 1;

кривая 3 – x0 /α2 = 2; кривая 4 – x0 /α2 = 4.

Определим взаимосвязь показателей качества работы САУ и параметров программного движения вида (2.57). Поскольку задание начального значения изменения производной x0 достаточно сложно, то для простоты рассмотрения будем полагать x0 = 0. Так же будем

полагать, что переходный про-

20,0

3 2

цесс заканчивается, когда ре-

гулируемая величина достига-

ет установившегося значения,

15,0

т. е. выполняется строгое ра-

венство x(t) = xy при t = Tп.п.

10,0

Тогда можно записать следую-

щее уравнение:

5,0

H e−α1Tп.п + H

e−α2Tп.п = 0,

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0 γ

из которого определяется коэф-

фициент затухания первой со-

ставляющей процесса (2.57) α1

–5,0

по заданному времени переход-

ного процесса и значению γ

–10,0

α1 =

ln γ

–15,0

Tп.п

−1

–20,0

3 2

Затем определяется значе-

ние коэффициента затухания

Рис. 2.8

второй составляющей процес-

са α2 и находятся амплитуды со-

ставляющих желаемого программного движения (2.57). Полученные

таким образом параметры программного движения вида (2.57), ока-

зываются связанными с показателями качества работы САУ (време-

нем переходного процесса).

Установим связь между показателями качества работы системы уп-

равления и параметрами процесса, имеющего три экспоненциальных

составляющих:

x0 (t) =

+ H e−α1 t + H

e−α2 t + H e−α3 t 1(t),

(2.60)

где H1, H2, H3 – амплитуды составляющих определяются следующими

соотношениями:

			x0−x		+ (α2	+ α3 ) x0	+ x0
	α1α2		x0−x		+ (α2	+ α3 ) x0	+ x0
H1 =				y
				y					;
			(α2 − α1 )(α3 − α1 )						;
			(α2 − α1 )(α3 − α1 )
			x0−x		+ (α1	+ α3 ) x0	+ x0
		α1α3	x0−x		+ (α1	+ α3 ) x0	+ x0
H2 =				y
				y				;
			(α1 − α2 )(α3 − α2 )					;
			(α1 − α2 )(α3 − α2 )
			x0−x		+ (α1	+ α2 ) x0	+ x0
	α1α2		x0−x		+ (α1	+ α2 ) x0	+ x0
H3 =				y
				y					,	(2.61)
			(α1 − α3 )(α2 − α3 )						,	(2.61)
			(α1 − α3 )(α2 − α3 )

здесь x0 , x0 , x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее первой и второй производных, соответственно, в момент времени t = +0.

Будем полагать, что начальные значения первой и второй производных процесса (2.60) равны нулю. В этом случае соотношения (2.61) можно несколько упростить и представить в виде

(x0 − xy )

;

− γ1 )(1

− γ1γ2 )

γ1(x0 − xy )

;

(γ1 −1)(1− γ2 )

γ γ2

− x

)

1 2

(2.62)

− γ2 )(1

− γ1γ2 )

где γ 1 = α1/α2, γ 2 = α2/α3.

Причем в соответствии с соотношением (2.56) величины γ 1 и γ 2 должны лежать в пределах от нуля до единицы. Поскольку переходная характеристика САУ определяется тремя меньшими по абсолютному значению вещественными корнями, в случае их распределения по арифметической или геометрической прогрессии, величины γ 1 и γ 2 будут представлять собой члены соответствующей прогрессии распределения корней (коэффициентов затухания составляющих процесса).

На рис. 2.9 показан вид графических зависимостей амплитуд составляющих процесса (2.60) от величин γ 1 и γ 2 для x0 = 1, построенных в соответствии с (2.62).

H1, H2, H3

H1 (γ 1, γ 2)

					H3 (γ 1, γ 2)
	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6
0,2	0,1						γ 2
0,2
0,3

0,50,4

0,6

γ 1

H2 (γ 1, γ 2)

Рис. 2.9

Будем полагать, что γ 1 = γ 2 = γ и переходный процесс заканчивается, когда регулируемая величина достигает установившегося значения, т. е. выполняется строгое равенство x(t) = xy при t = Tп.п. Тогда можно записать следующее уравнение:

	H1e−α1Tп.п + H2e−α2Tп.п + H3e−α3Tп.п = 0,				(2.63)
где
	1		3		(2.64)
H1 = (1 − γ)(1− γ2 ); H2 = −γ (1− γ)H1; H3 =		γ		H1.	(2.64)
H1 = (1 − γ)(1− γ2 ); H2 = −γ (1− γ)H1; H3 =		γ		H1.

Тогда с учетом (2.64), приводим уравнение (2.63) к виду

− α1Tп.п		−	α1Tп.п

e−α1Tп.п − γ (1− γ)e	γ	+ γ3e γ2 = 0.		(2.65)

Так как γ < 0,5 (как следует из (2.56)), то третьим слагаемым уравнения (2.65) можно пренебречь и решить уравнение относительно коэффициента затухания первой составляющей процесса (2.60). В результате имеем


α ≈	ln γ (1− γ)			.

1		1

	Tп.п		−1		(2.66)
		γ

Таким образом, зная время переходного процесса и коэффициент γ из (2.66), можно найти коэффициент затухания первой составляющей α1 процесса (2.60). Затем определяются значения коэффициентов затухания второй и третьей составляющих процесса (α2 и α3) и в соответствии с выражениями (2.62) или (2.64) находятся амплитуды составляющих желаемого программного движения. Полученные таким образом параметры программного движения вида (2.60) оказываются связанными со временем переходного процесса Tп.п.

Наконец, рассмотрим процесс, представляющий собой решение дифференциального уравнения третьего порядка при смешанных корнях, имеющий колебательную и экспоненциальную составляющие

x0 (t) =	x	+ H1e−α1 t cos	βt −ϕ
y

	+ H	2	e−α2 t	1(t),	(2.67)
		2			(2.67)
0

где H1, H2 – амплитуды составляющих определяются следующими соотношениями:

		H1 = A12 + A22					;
	2	+ β	2		− x			+ x0
	(α1	+ β		) x0	− x	+ 2α1x0		+ x0
H2 =						y
						y			,
			(α1 −		α2 )2 + β2				,
			(α1 −		α2 )2 + β2

здесь

x0− x

+ 2α1x0

− x0

α2 (α2 − 2α1 )

A1 =

;

(α1 − α2 )2 + β2

2 (β

+ α1α

− x

(α

+ β

+ (α2 −

− α1

2 )

− α1

)x0

α1 ) x0

A2 =

;

(α1 −

α2 )

+ β

(α1 − α2 )

+ β

либо полагая

= 0

α1 =

γα2

, имеем

= x0

(

)

x0 − xy

(1 − 2γ)2 µ2γ2 +

−

γ + µ2

2 ;

µγ

(1− γ)2 + µ2γ2

− x

)

(

)

(2.68)

H2 =

(1 − γ)2 + µ2γ2

где µ = β/α1 – показатель колебательности.

Фазовый сдвиг колебательной составляющей процесса (2.67) с учетом x0 = x0 = 0 и α1 = γα2 определяется следующим соотношением:

ϕ =	arctg	A2	=	arctg	1 − γ + γµ2	.

0		A1		(1 − 2γ)µγ

Определим связь показателей качества программного движения вида (2.67) и его параметров. Полагаем, что в момент времени t = Tп.п отклонение установившегося значения процесса x0(t) от заданного не превышает (3–5)%, тогда

H1e	−α1Tп.п			−ϕ	+ H2e	−α2Tп.п	=	[0,03; 0,05].	(2.69)
H1e		cos βT		−ϕ	+ H2e		=	[0,03; 0,05].	(2.69)
			п.п	0

Как следует из (2.68), амплитуды составляющих процесса (2.67) H1 и H2 имеют один знак. В этом случае уравнение (2.69) будет иметь решение, если, например, каждая составляющая достигнет значения [0,015; 0,025]. Поскольку затухание процесса определяется экспонентами, можно записатьследующее:

H1e

−α1Tп.п

= [0,015; 0,025];

H2e−α2Tп.п = [0,015; 0,025],

либо

−α1Tп.п (1−1γ )

= 1.

(2.70)

Из уравнения (2.70) следует

α1

≈

(2.71)

Tп.п

−1

Определение параметров программного движения осуществляется следующим образом. По заданному значению перегулирования σ m определяется колебательность процесса µ (аналогично программному движению (2.45)), в соответствии с соотношением (2.51), поскольку перерегулирование процесса (2.67) зависит от колебательной составляющей. Затем задается коэффициент γ и определяются значения амплитуд составляющих H1 и H2 программного движения, а также значение ϕ 0. Далее в соответствии с формулой (2.71) находится значение коэффициента затухания колебательной составляющей процесса α1, затем определяются значения собственной частоты колебаний процесса β и коэффициента затухания экспоненциальной составляющей α2. Таким образом, все параметры желаемого программного движения вида (2.67) оказываются связанными с показателями качества синтезируемой системы управления.

Систему из m непрерывно дифференцируемых линейно-независи- мых координатных функций выбираем в виде ряда вещественных экспонент [89, 90, 189, 203–208], представляющих собой полную систему функций

−ρ t

, e

−ρ

…

−ρqt

…

−ρ

, q =

…

(2.72)

, , e

1,2,m ,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 366 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Книги

#
10.05.2015841.24 Кб113susu26.pdf
#
10.05.20153.27 Mб811Евсюков В.Н. Нелинейные системы автоматического управления.pdf
#
10.05.20151.19 Mб161ТАУ для чайников.pdf
#
10.05.20154.33 Mб231ТАУ учебник.pdf
#
10.05.20151.27 Mб248цифровые САУ.pdf