GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

Воспользуемся (применительно к уравнению (2.23)) методом построения типовых уравнений Т. Н. Соколова, который основывается на способе нормирования уравнений Вышнеградского. Введем в уравнение (2.23) следующую подстановку:

где χ – нормированный безразмерный корень характеристического уравнения; kн – коэффициент нормирования.

Тогда с учетом (2.26) уравнение (2.23) принимает вид:

где a ,..., a − – нормированные коэффициенты, определяемые по действи-

1 n 1

тельным коэффициентамa1,..., an−1 уравнения (2.23) из соотношения

где i = 0, 1, 2,..., n–1.

Как отмечается в работах [190, 192, 196], нормирование уравнений имеет ряд важных особенностей:

– нормированные коэффициенты ai связаны с корнями уравнения (2.23) соотношением следующего вида:

j=0

где k – число корней, входящих в произведение;

–величины постоянных коэффициентов Ci/2,..., Cj+r+1 уравнения (2.25), описывающего программное движение, остаются неизменными как для корней уравнения (2.23), так и для нормированных корней уравнения (2.27)

втом случае, если начальные значения производных нормированы;

–величины перерегулирования остаются одинаковыми как для нормированных, так и для ненормированных коэффициентов, поскольку σ зависит от соотношения элементов корней, а не от их абсолютных значений;

–абсциссы переходных процессов (масштаб по оси времени) изменяются в соответствии с соотношением

где tн – нормированное время.

41

Таким образом, используя метод стандартных уравнений [192, 196], можно для каждого соотношения элементов корней определить нормированный переходный процесс произвольно высокого порядка, а по нему определять свойства большего количества желаемых программных движений, имеющих различные корни, но подчиняющихся выбранному соотношению элементов.

Особое внимание необходимо уделить определению коэффициента нормирования kн.

В том случае, когда известен коэффициент передачи синтезируемой САУ в прямой цепи и известна величина a0, коэффициент нормирования, как показано в [190], целесообразно определять из соотношения вида

где a0 – свободный член характеристического уравнения вида (2.23); n – порядок характеристического уравнения.

В случае известной длительности желаемого программного движения Tп.п, для определения значения kн целесообразно использовать соотношение [190]

где Tп.п – желаемая длительность переходного процесса; T0п.п– нормированная длительность переходного процесса для xст = 0,05xуст, здесь xст – величина статической ошибки синтезируемой системы, xуст – установившееся значение желаемого программного движения.

Наконец, если рассмотренные выше условия не заданы, и желательно исключить дифференциатор угла поворота объекта управления (n–1)-го порядка, то следует использовать выражение вида [190]

где a − , a − – действительные и нормированные коэффициенты ха-

n 1 n 1

рактеристического уравнения системы управления соответственно. Кроме приведенных выше соотношений (2.31)–(2.33), представляет-

ся целесообразным вычислять значение коэффициента нормирования

42

kн, исходя из действительных значений скоростей и ускорений, развиваемых проектируемой САУ [198]

где x0 , xн – максимальные значения скоростей нарастания желаемого и нормированного процессов соответственно; x0 , xн – средние значения ускорений изменения регулируемой величины в случае желаемого и нормированного процессов, соответственно.

Исходя из значений коэффициентов затухания (вещественная часть корня) и собственных частот колебаний (мнимая часть корня) составляющих типовых (стандартных) программных движений, используя коэффициенты нормирования kн (соотношения (2.31)–(2.35)), можно задавать желаемые программные движения с учетом особенностей функционирования синтезируемой САУ.

При этом следует иметь в виду, что коэффициенты затухания и собственные частоты колебаний k-х составляющих желаемого процесса (2.25) связаны с соответствующими нормированными значениями, следующими соотношениями:

где χi* – нормированное значение коэффициента затухания i-й составляющей; µk – колебательность.

В случае экспоненциальных составляющих процесса (вторая и третья суммы формулы (2.25)), соответствующие им µk принимаются равными нулю.

При решении задачи параметрического синтеза САУ, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями до 8-го порядка включительно, целесообразно при построении желаемого программного движения использовать известные из [190–202] значения

43

корней нормированных уравнений, дающих квазиоптимальные переходные процессы. Под квазиоптимальным будем понимать такое желаемое программное движение, которое является оптимальным лишь по одному (или нескольким, но не всем) из своих параметров: время затухания процесса, перерегулирование, колебательность, быстродействие.

Рассмотрим возможность построения квазиоптимальных нормированных программных движений для систем управления произвольно высокого порядка.

При необходимости получения в САУ быстропротекающего процесса с минимальным временем регулирования Tп.п целесообразно использовать распределение коэффициентов затухания и собственных частот колебаний составляющих процесса (2.25), рекомендованное Баттервортом [194]. Однако в литературе приводятся значения распределенных по Баттерворту корней нормированных уравнений лишь до 6-8-го порядков.

В работе [194] Баттерворт предлагает для уравнений четных степеней использовать только комплексно-сопряженные корни, т. е. в уравнении (2.25) должна быть только первая сумма. Исходя из этого, для нормированных уравнений k-го порядка, коэффициенты затухания и собственные частоты колебаний составляющих будут определяться выражениями вида [198]

где i – ряд четных чисел от 2 до k; k – порядок уравнения движения САУ, а индекс «н» означает, что полученные значения соответствуют нормированному программному движению.

Для уравнений нечетных степеней по Баттерворту допускается одна экспоненциальная составляющая в программном движении x0(t), которая для нормированного процесса имеет коэффициент затухания αiн = 1 (старший корень уравнения). Коэффициенты затухания и собственные частоты колебаний остальных составляющих нормированного программного движения будут определяться выражениями вида [198]

44

где i – ряд четных чисел от 2 до k–1.

Из уравнений (2.38), (2.39) следует соотношение, связывающее коэффициенты затухания i-й составляющей с ее собственной частотой колебаний в случае распределения по Баттерворту:

αi2н + βi2н = 1. (2.40)

При необходимости получения в САУ быстропротекающего процесса с максимальной степенью устойчивости, целесообразно воспользоваться рекомендациями, изложенными в [143, 197]. При этом под степенью устойчивости понимается расстояние от мнимой оси до ближайшего корня или до ближайшей пары комплексно-сопряженных корней, т. е. коэффициент затухания первой (основной) составляющей программного движения.

В работах [143, 197] отмечается, что поведение большинства замкнутых систем автоматического управления в переходном режиме зависит от компоненты процесса (2.25), определяемой наименьшим корнем, которая затухает медленнее других компонент. Следовательно, именно данная составляющая, в основном, определяет длительность и перерегулирование (в случае комплексно-сопряженных корней) процесса.

Как показано в [197, 199], минимальная длительность процесса будет получена при кратном распределении вещественных корней уравнения (2.25). В этом случае нормированное программное движение при αmн = 1 будет иметь следующий вид:

где τ = αmнt – относительное (нормированное) время; n – порядок дифференциального уравнения.

Нормированную длительность процесса Tп.п можно определить из графика нормированного программного движения, построенного в соответствии с формулой (2.25), для САУ произвольно высокого по-

45

рядка. Затем, используя соотношение (2.32), определяющее значение коэффициента нормирования kн по заданной длительности желаемого движения Tп.п, можно перейти от нормированного значения коэффициента затухания процесса (2.25) к его действительному для проектируемой САУ значению.

В работе [199] А. А. Фельдбаум показал, что при одной паре комп- лексно-сопряженных корней, а остальных вещественных, справедливо неравенство

где [1+V(τ )] – мажоранта x(t), т. е. кривая, ограничивающая x(t) сверху, а [1–V(τ )] – миноранта x(t), т. е. кривая ограничивающая x(t) снизу; причем V(τ ) определяется выражением вида

Мажоранты и миноранты позволяют оценить как время регулирования, так и перерегулирование, возможное при одной паре комп- лексно-сопряженных корней. Оценить перерегулирование в этом случае можно по затуханию пары комплексно-сопряженных корней (остальные (n–2) корня вещественные) в соответствии с неравенством [197, 200]

46

Как показано в [197], получение процесса с минимальным временем регулирования возможно при кратном распределении комплекс- но-сопряженных корней, т. е. программное движение в этом случае описывается лишь первой суммой соотношения (2.25). При этом коэффициенты затухания всех составляющих одинаковы

α1 = α2 = …= αk = α,

2

а собственные частоты колебаний образуют арифметическую прогрессию, первый член которой β1 равен разности прогрессии η. Последняя связана с коэффициентом затухания α и колебательностью µ соотношением вида

η= αµ.

Втом случае, когда степень полинома S(cк,p) отлична от нуля ( v ≠ 0 ), близкое кратному или кратное распределение корней оказывается неудовлетворительным, так как вызывает существенное увеличение перерегулирования [143, 197, 199]. В этом случае для уменьшения величин производных необходимо замедлить нарастание процесса, что при v = 1 достигается путем распределения корней, расположенных на вещественной полуоси по арифметической прогрессии, а при v = 2 – по геометрической прогрессии.

Очевидно, что для задания желаемого программного движения вида (2.25), кроме значений коэффициентов затухания α и собственных частот колебаний β, необходимо определить постоянные Ci/2,..., Cj+i+1.

Определение постоянных Ci/2,..., Cj+i+1 для уравнения переходного процесса (2.25) целесообразно проводить для любых начальных значений производных и любых воздействий так, что нулевые начальные условия являются лишь частным случаем общего решения. В

случае ненулевых начальных условий программное движение x10 (t )

будет отличаться от уравнения (2.25) на величину установившегося значения xуст(t)

Дифференцируя полученное уравнение (n–1) раз и приравнивая при t = 0, получаем n уравнений с неизвестными коэффициентами Ci/2,..., Cj+i+1

47

Затем, задаваясь начальными значениями (при t = 0) производных в уравнениях (2.43), определяются постоянные Ci/2,..., Cj+i+1 для любых начальных условий. Подставляя полученные таким образом значения постоянных в уравнение (2.25), из последнего можно определить величину переходной погрешности в любой момент времени t > 0.

Таким образом, распределив, в соответствии с заданными показателями качества работы синтезируемой САУ, коэффициенты затухания и собственные частоты колебаний и определив амплитуды составляющих (постоянные Ci/2, ..., Cj+i+1), можно задать желаемое программное движение в системе управления любого порядка при любых начальных условиях.

2.4. Аппроксимация программного движения высокого порядка основными составляющими и выбор системы координатных функций

При решении задачи синтеза САУ не всегда возможно и целесообразно задание программного движения соответствующего порядку проектируемой системы, особенно при ненулевых начальных условиях. В случае проектирования систем управления высокого порядка разработчику необходимо задавать начальные значения в общем случае n–1 производных, что является весьма непростой задачей. Кроме того, в отличие от решения задачи идентификации, где точность решения, безусловно, зависит от соответствия порядка идентифицируемой САУ и аппроксимирующего ее переходного процесса, при параметрическом синтезе систем вариационными методами, как правило, ставится задача воспроизведения системой заданных показателей качества ее работы, а не точного воспроизведения заданного желаемого программного движения. Необходимо отметить, что большинство реальных САУ, с которыми приходится иметь дело являются нелинейными. Это обстоятельство, безусловно, осложняет решение вопроса задания желаемого про-

48

граммного движения, поскольку задать заведомо реализуемое движение в системе, описываемой нелинейными дифференциальными уравнениями, особенно высокого порядка, не представляется возможным.

Поэтому рассмотрим некоторые рекомендации по аппроксимации программных движений САУ высокого порядка их основными составляющими (младшие корни уравнения (2.23)), соответствующими решениям линейных дифференциальных уравнений 2–4-го порядков, которые могут быть использованы в качестве первых приближений при решении задачи синтеза нелинейных САУ.

В случае аппроксимации программного движения произвольно высокого порядка (2.25) двумя–тремя составляющими [190 – 193], которые определяют ход основного процесса, необходимо иметь в виду следующее:

–переходная характеристика САУ определяется двумя–тремя меньшими по абсолютному значению корнями, в случае их распределения по арифметической или геометрической прогрессии;

–вещественные составляющие комплексно-сопряженных корней (коэффициенты затухания αi) при βi > αi должны удовлетворять условию

где i – ряд четных чисел от двух до n.

Следует отметить, что условию (2.44) должны удовлетворять и чисто вещественные корни, для которых i-ряд натуральных чисел от 1 до n;

– частоты собственных колебаний составляющих процесса (2.25) должны удовлетворять условиюβi = 2αi , что соответствует показателю колебательности µ ≤ 2.

Наконец, при разработке маломощных систем управления произвольно высокого порядка, малочувствительных к случайным изменениям параметров, характер программного движения определяется степенью успокоения колебаний γ за цикл основной колебательной составляющей [192]

где T = 1/α1 – постоянная времени затухания процесса; τ = 2π /β1 – период собственных колебаний; здесь α1, β1 – коэффициент затухания и собственная частота колебаний основной гармоники программного движения.

49

Как отмечается в [192], степень успокоения маломощных САУ должна быть в пределах (85–90)%, а при увеличении мощности системы γ увеличивается до (95–98)%. Исходя из этого можно определить значения α и β основной гармоники, аппроксимирующей движение в системе высокого порядка.

Таким образом, при выполнении рекомендаций, изложенных выше, программное движение САУ любого порядка (в общем случае n-го) будет в основном определяться двумя–тремя экспоненциальными составляющими (в случае чисто вещественных корней), либо двумя составляющими (в случае смешанных и комплексно-сопряженных корней) уравнения (2.25).

Покажем применение рекомендаций, изложенных выше, на примере некоторых программных движений. Как показывает опыт проектирования систем управления [89, 90, 187, 189], движение которых описывается дифференциальными уравнениями (в том числе, и нелинейными) высокого порядка, во многих случаях вполне допустимо задание желаемого программного движения в виде решения дифференциального уравнения второго порядка

где xy – значение желаемого процесса x0(t) при t = ∞ ; а H* и ϕ 0 определяются соотношениями вида

здесь x0 , x0 – начальные значения исследуемой координаты, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ, и ее производной, соответственно, в момент времени t = +0.

В случае задания желаемого движения вида (2.44) показатель затухания процесса α, определяется исходя из соотношения

50