GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

где τ – длительность импульса на выходе модулятора; Tn – период следования импульсов на выходе модулятора, величина которого зависит от сигнала x(t) на входе модулятора.

2.2. Постановка задачи синтеза и общая схема ее решения

Задача синтеза систем автоматического управления, содержащих модуляторы различного вида, рассматривается в следующей постановке. Предполагается, что известна структура синтезируемой САУ и параметры объекта управления. Параметры регулятора (оператора управления), структура которого задана в самом общем виде, определяются из условия приближенного обеспечения заданных показателей качества работы САУ в переходном режиме (времени переходного процесса – Tп.п; перерегулирования – σ ; колебательности – µ). При этом, безусловно, должна обеспечиваться устойчивость и грубость системы по варьируемым параметрам.

Ввиду того, что число искомых параметров может быть любым, оператор управления структурно может быть задан со значительной избыточностью. В этом случае после определения значений искомых параметров в результате применения методов теории чувствительности, определяющих координаты системы, чувствительные к варьируемым параметрам, часть этих параметров может быть принята равной нулю (бесконечности), что приводит к упрощению оператора управления и выявлению тем самым наиболее целесообразной его структуры.

Как правило, задача синтеза решается при технических ограничениях, которые накладываются на значения варьируемых параметров:

где ck+ – максимально допустимые значения варьируемых параметров; ck– – минимально допустимые значения варьируемых параметров.

Ограничения на грубость системы по варьируемым параметрам имеют следующий вид:

где ∆ 0 – заданное значение грубости системы; δ ck – вариации параметров, в пределах которых обеспечивается устойчивость системы.

31

Для определенности задачу синтеза рассмотрим при внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = H1(t) и нулевых начальных условиях для момента времени t = –0, т. е. до приложения к системе воздействия амплитудой H

Так как при синтезированных параметрах система должна быть устойчива, то

Выбираем систему из m непрерывно дифференцируемых линейнонезависимых координатных функций

В соответствии с требуемыми показателями качества работы синтезируемой системы управления в переходном режиме зададимся желаемым программным движением

где Ω 0(t) = ω 0(t)1(t) – функция, удовлетворяющая заданным граничным (начальным (2.13) и конечным (2.14)) условиям; Ω i(t) = ω i(t)1(t) – функции, удовлетворяющие однородным граничным условиям; ai – известные коэффициенты.

Анализ структурных схем импульсных систем автоматического управления, содержащих один нелинейный элемент, которые представлены на рис. 2.2, показывает следующее:

– уравнение движения системы, структура которой показана на рис. 2.2, а, записанное относительно координаты входа нелинейного элемента, имеет вид

N (ck , D) x (t) + M (ck , D)F x (t), x (t) = N (ck , D) f (t);

– динамика САУ, приведенной на рис. 2.2, б, относительно входа нелинейного элемента описывается уравнением

N (ck , D ) x (t ) + M (ck , D )F x (t ), x (t ) = N (ck , D ) f (t );

32

F(x,px)

Рис. 2.2

– для структурной схемы рис. 2.2, в уравнение движения будет следующим:

N(ck , D)K (ck , D) x (t) + L(ck , D)M (ck , D)F x (t), x (t) =

=L(ck , D)M (ck , D) f (t);

33

– в том случае, если структура системы управления имеет вид, показанный на рис. 2.2, г, динамика САУ относительно входа нелинейного звена описывается следующим образом:

– наконец для САУ, показанной на рис. 2.2, д, уравнение движения будет

N (ck , D) x (t) + M (ck , D)F x (t), x (t) = N (ck , D) f (t).

Обобщение результатов анализа частных случаев структур систем управления, приведенных на рис. 2.2, показывает, что система автоматического управления, содержащая модулятор и нелинейный элемент, в общем виде описывается следующим дифференциальным уравнением:

где x(t), x*(t) – исследуемая координата на входе и выходе модулятора, соответственно, относительно которой записано уравнение движения синтезируемой САУ; f(t), f*(t) – внешнее входное воздействие

34

– полиномы оператора обобщенного дифференцирования D с вещественными постоянными коэффициентами степеней n, n*, u, u*, v, v* соответственно.

Очевидно, что при описании динамики импульсных САУ с одним нелинейным элементом в частных случаях часть слагаемых уравнения (2.17) может отсутствовать. Также необходимо отметить, что запись уравнения движения относительно координаты входа нелинейного звена, которая впервые была предложена И. А. Орурком, дает несомненные преимущества при реализации метода синтеза систем на основе обобщенного метода Галеркина. Это связано с упрощением процедуры определения соотношений вида «вход – выход» интегралов Галеркина, что будет подробно показано в следующих главах книги.

В уравнении (2.17) применяется универсальная координата времени. Это дает возможность использовать дискретно-непрерывные модели систем, определяющих их описание на каждом из интервалов дискретности, и позволяет без перехода к разностным уравнениям, которые требуют получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, решать задачу синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для САУ широкого класса.

Поставим желаемое программное движение (2.16) в уравнение движения системы (2.17) и образуем невязку

ψ(ck ,t) = Q (ck , D) x0 (t) + Q (ck , D) x0* (t) +

+R (ck , D)F x0 (t), D{x0 (t)} +

+R (ck , D)F x0 (t), D{x0 (t)} −

Если предположить, что система с синтезированными параметрами заведомо устойчива, то значения искомых параметров определяются из условия ортогональности невязки (2.18) координатным функциям (2.13)

что приводит к следующей системе алгебраических уравнений:

35

+∞∫ R(ck ,D)F x0 (t),D{x0 (t)} ϕ q (t)dt+

0

Решая систему из m алгебраических уравнений (2.20), определяем значения варьируемых параметров оператора управления. Так как задача синтеза решается при ограничениях на значения искомых параметров, наложенных исходя из возможности их технической реализации, ограничениях на устойчивость и грубость САУ с синтезированными параметрами, а также в силу того, что имеет место нелинейная зависимость между варьируемыми параметрами, то строго равенство (2.19) выполняться не будет. Поэтому задача синтеза параметров обобщенным методом Галеркина в вычислительном плане представляет собой задачу нелинейного программирования с целевой функцией, построенной на основе уравнений (2.20) и имеющей вид

оптимум которой определяется при ограничениях, отмеченных выше, путем использования известных методов поиска экстремума функционала [89, 90].

2.3. Построение математической модели желаемого программного движения произвольно высокого порядка

Проблема обеспечения заданных показателей качества функционирования систем управления при решении задачи параметрического синтеза вари-

36

где k – четные числа.

Корни, которые имеют наименьшее (наибольшее) абсолютное значение вещественной части, в дальнейшем будем называть младшими (старшими).

Решением уравнения вида (2.22) будет следующее выражение [190]:

где i – ряд четных чисел от двух до k; l – ряд натуральных чисел; αi,...,αm

– вещественные части корней характеристического уравнения (коэффициенты затухания составляющих); β1,..., βk/2 – частоты собственных колебаний системы управления; Ci/2,..., Cj+r+1 – постоянные, определяемые начальными условиями.

Таким образом, в уравнении (2.25) первая сумма от i = 2 до i = k определяется комплексно-сопряженными корнями λ 1,2,..., λ k–1,k; вторая сумма от l = k+1 до l = j определяется вещественными корнями λ k+1,..., λ j; последняя сумма определяется вещественными кратными корнями

λj+1,..., λ j+r (рис. 2.3).

Вряде работ [191–197] предлагается оценивать качество переходно-

го процесса интегральными критериями качества вида

где n у различных авторов принимает значение 0, 1, 2.

Однако обратный переход от показателей интегральной оценки к параметрам желаемого программного движения достаточно сложен, а подчас невозможен.

Как показывает практика проектирования систем автоматического управления различных по своему назначению и функциональным возможностям, затруднительно дать общие рекомендации по заданию желаемого программного движения при решении задачи синтеза оператора управления.

В то же время, учитывая специфику работы проектируемой системы, можно задавать квазиоптимальные переходные процессы, т. е. про-

38

λi

λm

−j

Рис. 2.3

цессы, оптимальные по одному из показателей качества работы САУ в переходном режиме: величине перерегулирования, длительности переходного процесса, быстродействию [190].

Известно, что, чем меньше величина перерегулирования σ , тем качество переходного процесса лучше ( при выполнении требований к другим показателям качества). Перерегулирование зависит от корней уравнения (2.23) и начальных условий. Причем в случае внешнего скачкообразного воздействия f = H1(t) перерегулирование в системе будет лишь в случае комплексно-сопряженных корней при достаточно больших значениях собственных частот β.

Как показано в [190, 195], при вещественных корнях, комплексносопряженных корнях с малыми значениями β, а также при смешанных корнях, когда младшими являются вещественные корни, переходный процесс протекает монотонно.

Для многих САУ длительность переходного процесса Tп.п (промежуток времени, в течение которого регулируемая величина с заданной точностью достигает установившегося значения x является одним из важнейших показателей их оптимальности. При этом минимальная длительность переходного процесса при f(t) = H1(t) достигается при малых

39

мнимых частях комплексно-сопряженных корней, либо при смешанных корнях, при которых σ ≈ (1–4)% [195].

При увеличении мнимых частей (собственных частот колебаний β) комплексно-сопряженных корней возрастают как Tп.п, так и σ . Поэтому с точки зрения скорейшего затухания желаемого программного движения необходимо, чтобы вещественные части всех корней (коэффициенты затухания составляющих) были, возможно, большими. Однако наилучшие результаты получаются при равенстве вещественных частей всех корней уравнения (2.23), поскольку их сумма численно равна первому коэффициенту a0 характеристического уравнения.

В случае только вещественных корней САУ становится более устойчивой, однако при этом существенно возрастает длительность переходного процесса, причем тем больше, чем значительнее различие в коэффициентах затухания α отдельных составляющих процесса.

Под быстродействием САУ будем понимать скорость нарастания переходного процесса, что характеризует способность системы управления за минимальное время достигнуть первого согласованного с задающим устройством положения. В работах [190, 192] быстродействие характеризуется максимальной скоростью xmax и средним ускорением xср изменения регулируемой величины x во времени. Как отмечается в [190], максимальные значения характеристик быстродействия xmax и xср могут быть получены при комплексно-сопряженных корнях уравнения (2.23) с большими значениями β и малыми α, т. е. при больших перерегулированиях.

Малым быстродействием будет обладать САУ, характеристическое уравнение которой дает лишь вещественные составляющие процесса (2.23) при выполнении условия

α1 << α2 << α3 << << αn .

В ряде работ [192, 193, 195, 196] предлагаются некоторые стандартные (типовые) уравнения, дающие оптимальные переходные процессы. Приводятся не только значения коэффициентов стандартных характеристических уравнений [143, 197] и численные значения корней [190, 195], но также и значения показателей качества переходных процессов, соответствующих рассматриваемому распределению корней. К сожалению, в известных работах не рассматриваются уравнения выше 8-го порядка, что несколько снижает их ценность для практического применения в случае синтеза САУ более высокого порядка.

40