GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

Существенный прогресс в вопросах исследования динамики систем с частотно- и широтно-импульсной модуляцией связан с работами В. М. Кунцевича [38–40], которые положили начало теоретическим исследованиям частотно-импульсных систем с законом импульсной модуляции I-го рода. Дальнейшее развитие данного направления связано с работами Ю. Н. Чехового [41–43]. В работе [9] разрабатывается теория систем с ШИМ и ЧИМ на основе использования разностных уравнений и приводится значительное число примеров решения практических задач, иллюстрирующих предлагаемые авторами подходы.

Вопросам обращения прямых вариационных методов анализа на решение задачи синтеза нелинейных систем управления посвящены работы И. А. Орурка [89, 90, 172] и П. Д. Крутько [173, 174], в которых дается высокая оценка перспективам решения задачи синтеза САУ данного класса во временной области.

Вработах [89, 90] Л. А. Осиповым показана возможность обращения метода наименьших квадратов, метода Галеркина, обобщенного метода Галеркина (метода ортогональных проекций) на решение задачи синтеза непрерывных нелинейных САУ.

Вдальнейшем под руководством И. А. Орурка обобщенный метод Галеркина был распространен его учениками на импульсные линейные и нелинейные САУ с идеальным амплитудно-импульсным модулятором и системы со звеньями запаздывания [90]. Решение сложных практических задач синтеза систем управления указанных классов, описываемых нелинейными уравнениями высокого порядка, показало высокую эффективность метода ортогональных проекций.

Впоследнее время большое внимание уделяется моделям и методам исследования систем, содержащих дискретные и непрерывные компоненты [175–179], что связано с массовым внедрением вычислительной техники в системы управления непрерывными объектами. Как отмечается в [175] использование классических методов теории дискретных систем, опирающихся на дискретные операционные преобразования, применительно к непрерывно-импульсным системам (даже в линейном плане) малоэффективно. Поэтому в ряде работ [65, 175, 177] предпринимаются попытки создания универсального математического аппарата, описывающего динамику непрерыв- но-импульсных систем (в зарубежной литературе называемых гибридными).

21

Вработах зарубежных авторов, обзор которых приведен в [176], предлагается применять к непрерывно-импульсным системам подход, связанный с переходом в гибридное пространство состояний с помощью специального математического аппарата, который отличается значительной громоздкостью.

Для систем управления данного класса Е. Н. Розенвассер [175] предлагает использовать метод, являющийся обобщением подхода, изложенного в [180, 181]. Основная идея предлагаемого метода заключается в использовании переходных передаточных функций, что дает возможность построить единое математическое описание непрерывных, импульсных и непрерывно-импульсных систем.

Вработах [177–179, 182–186] обсуждается описание дискретно-не- прерывных САУ в виде дискретных моделей. Так в [182–186], рассматриваются вопросы сохранения качественных свойств систем автоматического управления непрерывными процессами, использующими ЭВМ, при их дискретизации по методам Эйлера, Рунге–Кута, Адамса и др.

В[187] рассматривается построение моделей импульсных модуляторов различных типов во временной области. Это дало возможность разработки дискретно-непрерывных моделей систем, определяющих их описание на каждом из интервалов дискретности. Данные модели позволяют без перехода к разностным уравнениям, требующим получения аналитических решений нелинейных нестационарных дифференциальных уравнений, решать задачу параметрического синтеза обобщенным методом Галеркина с единых математических позиций для широкого класса стационарных САУ. Таким образом, обобщенный метод Галеркина получил свое дальнейшее развитие. В [187]

В.Ф. Шишлаковым обобщенный метод Галеркина был распространен на системы с различными видами модуляции сигнала и САУ с неоднозначными нелинейными характеристиками и нелинейностями произвольного вида, допускающими кусочно-линейное представление, а также системы с дискретными регуляторами при синхронной и несинхронной работах импульсных элементов с одинаковыми и разными значениями периодов прерывания. Этот материал в несколько переработанном и дополненном виде представлен в настоящей монографии.

На рис. 1.1 показаны классы стационарных систем автоматического управления, параметрический синтез которых может осуществляться с помощью обобщенного метода Галеркина.

22

СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

с АИМ типа I

с АИМ типа II

с ШИМ

с ЧИМ

Рис. 1.1

Результаты совместной работы авторов данной книги позволили расширить границы применимости метода ортогональных проекций, распространив подход на непрерывные и импульсные системы управления с алгебраическими (степенными) нелинейными характеристиками, несимметричными алгебраическими и кусочно-линейными характеристиками.

Кроме того, соавторами сделаны шаги в вопросе решения обобщенным методом Галеркина задачи параметрического синтеза нестационарных систем управления с амплитудно-импульсной модуляцией, что представляется весьма перспективным с точки зрения существенного расширения класса САУ, синтезируемых с единых математических и алгоритмических позиций.

23

Глава 2

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗАСИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫММЕТОДОМГАЛЕРКИНА

В данном разделе рассматривается общая схема решения задачи параметрического синтеза нелинейных систем автоматического управления с различными видами модуляции сигнала обобщенным методом Галеркина, а также вопрос построения желаемого программного движения при решении задачи синтеза параметров САУ произвольно высокого порядка и рекомендации по аппроксимации данного движения основными составляющими.

2.1. Математические модели импульсных элементов

Импульсной системой автоматического управления (САУ) называется любая динамическая система, в которой информация передается с помощью определенной временной последовательности стандартных импульсов. Данная последовательность может быть получена с помощью импульсного модулятора, входной сигнал которого является носителем информации (модулирующая функция). Несущая импульсная последовательность может состоять из импульсов различной формы (δ -фун- кция, прямоугольные импульсы и т. д.). Как правило, при модуляции форма несущих импульсов постоянна, а изменяется какой-либо параметр, характеризующий размеры импульса (амплитуду, длительность) или его местоположение в импульсной последовательности (фазу, интервал между импульсами).

Втеории импульсных систем автоматического управления [9, 142, 143, 169] существуют различные способы классификации видов импульсной модуляции. Приведем здесь тот из них, который представляется наиболее удобным для последующего изложения.

Взависимости от вида модулируемого параметра различают ампли- тудно-импульсную (импульсная дискретная и импульсная цифровая)

24

(рис. 2.1, а, б, в), широтно-импульсную (рис. 2.1, г) и частотно-импуль- сную (рис. 2.1, д) модуляцию. При амплитудно-импульсной модуляции модулируется амплитуда (высота) импульса, при широтно-импульс- ной модуляции – длительность (ширина) импульса, при частотноимпульсной модуляции – интервал между импульсами (величина обратная частоте), а размеры импульса (его амплитуда и длительность) остаются неизменными.

При рассмотрении САУ с амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ) импульсный элемент (модулятор) обычно считают идеальным. При этом понятие импульсного элемента можно вводить двояко.

Если предположить, что импульсный элемент генерирует решетчатую функцию с периодом T, образованную из входного непрерывного сигнала, то сигнал на выходе импульсного элемента определяется выражением вида [169]

x (t ) = x (t ) t=nT ,

где T – период квантования.

Можно представить, что идеальный импульсный элемент генерирует с периодом T последовательность бесконечно коротких импульсов типа δ -функции, площадь которых пропорциональна непрерывному сигналу на входе импульсного элемента в моменты времени t = nT [169]

∞

x(nT ) = ∫ x(t)δ(t − nT )dt,

0

величина n-го дискретного значения; δ(t − nT ) – задержанная импульсная функция, существующая при t = nT ; T – период прерывания, интервал времени между соседними импульсами.

Таким образом, импульсный элемент эквивалентен модулятору, в котором в качестве модулирующего сигнала используется входной сигнал x(t), а в качестве несущего – последовательность единичных им-

25

Необходимо отметить, что представление импульсного элемента в виде (2.1) не соответствует действительности, так как никакой реальный импульсный элемент не может генерировать бесконечно короткие импульсы бесконечной амплитуды [142, 169]. Однако такой подход к представлению импульсного элемента позволяет упростить математическое описание систем управления с АИМ и поэтому широко используется в теории дискретных систем управления.

Принятое допущение об идеальности импульсного элемента справедливо для дискретных импульсных и цифровых САУ в случае малой длительности замыкания, а также, если в системе стоит экстраполятор определенного порядка.

В целом ряде реальных импульсных систем замыкание АИМ происходит не мгновенно, что приводит к необходимости учета ширины импульса при решении задач синтеза и исследования динамики САУ. Сигналы на выходе реальных амплитудно-импульсных модуляторов могут быть двух типов [142] (рис. 2.1, б, в). В качестве импульсного элемента может использоваться аналог падающей дужки гальванометра, генерирующей прямоугольные импульсы (рис. 2.1, б), высота которых пропорциональна амплитуде входного непрерывного сигнала в моменты квантования. Кроме того, в качестве импульсного элемента может использоваться звено типа ключа, которое по какой-либо внешней причине производит замыкание цепи короткими импульсами через равные промежутки времени. Отличие импульсного элемента типа «ключ» от импульсного элемента типа «падающая дужка» заключается в том, что он как бы вырезает отдельные участки из непрерывного входного сигнала (рис. 2.1, в). В дальнейшем будем называть импульсный элемент типа «падающая дужка» – импульсным элементом типа I, а импульсный элемент типа «ключ» – импульсным элементом типа II.

Тогда сигнал на выходе импульсного элемента типа I описывается следующим образом:

где τ = γ T – ширина импульса, здесь γ < 1.

Сигнал на выходе импульсного элемента типа II описывается уравнением

26

27

где x(t) – сигнал на входе модулятора.

В большинстве импульсных САУ высокочастотные составляющие, появляющиеся в полезном сигнале в результате процесса прерывания должны быть отфильтрованы. Несмотря на то, что большая часть нежелательных дополнительных сигналов фильтруется элементами системы, часто на выходе модулятора ставятся формирующие элементы, осуществляющие экстраполяцию сигнала. В результате данной операции на выходе модулятора с запоминающим устройством воспроизводится огибающая функция сигнала. Как показано в [169], значение экстраполирующей временной функции в промежутке между последующими моментами прерывания nT и (n+1)T зависит от значений функции в предыдущие моменты nT, (n–1)T,..., и поэтому сигнал на выходе экстраполятора k-го порядка можно представить следующим образом:

где x(nT) – значение x(t) при t = nT; x(1)(nT), x(2)(nT),..., x(k)(nT) – значения производных x(1)(t), x(2)(t),..., x(k)(t), найденных при t = nT.

Запоминающие элементы высокого порядка дают лучшее воспроизведение временной функции по ее дискретным значениям. Вместе с тем они вносят в систему значительный фазовый сдвиг, поэтому на практике используются, как правило, экстраполяторы нулевого (реже первого и второго) порядка.

Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка

где T0 – постоянная времени разряда запоминающего элемента.

Во временной области сигнал на выходе запоминающего элемента нулевого порядка может быть записан [169]

28

го элемента за время хранения.

Известно, что постоянная времени T0 обычно настолько велика, что могут быть приняты следующие допущения:

тогда выражения (2.4) и (2.5) принимают вид

Рассмотренный модулятор является линейным в том смысле, что входной и выходной сигналы подчинены принципу суперпозиции, в то время как широтно-импульсный и частотно-импульсный модуляторы необходимо рассматривать как нелинейные элементы, для которых принцип суперпозиции неприменим.

Так для импульсного элемента с ШИМ состояние САУ в конце периода квантования является суммой вектора, зависящего от состояния системы в начале периода, и вектора, длина и направление которого – нелинейные функции ширины импульса.

Полагаем, что импульсный модулятор типа ШИМ генерирует последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды A = const, знак которых совпадает со знаком квантуемого сигнала. Тогда, для n-го периода регулирования сигнал на выходе модулятора описывается следующим образом [187–189]:

29

где T – период квантования; Tj – длительность j-го импульса; Tjn = kjT – ширина j-го импульса, когда nT ≤ t ≤ (n+1)T, здесь kj изменяется в пределах от 0 до 1.

Из соотношения (2.7) следует, что система с широтно-импульс- ным модулятором обладает двумя видами нелинейностей: нелинейность, обусловленная ограничением максимальной ширины импульса, и нелинейность, свойственная самому принципу управления в САУ с ШИМ.

Поскольку модулятор формирует последовательность прямоугольных импульсов постоянной амплитуды A, то систему уравнений (2.7), описывающую сигнал x*(t), вид которого показан на рис. 2.1, г, можно записать в виде одного уравнения

где sign xn – знак сигнала x(t) на входе модулятора в моменты квантования.

С учетом соотношения Tjn = kjT, связывающего ширину j-го импульса с длительностью периода квантования T, формула (2.8) будет

Системы управления, содержащие частотно-импульсные модуляторы, являются непериодическими и существенно нелинейными (подобно релейным и релейно-импульсным САУ). Во многих режимах САУ с ЧИМ не допускают линеаризацию даже при малых глубинах модуляции [9], что существенно осложняет решение задачи синтеза параметров подобных систем.

Будем полагать, что сигнал на выходе модулятора представляет собой последовательность прямоугольных импульсов амплитуды A = const, период следования которых Tn зависит от сигнала на входе ЧИМ (рис. 2.1, д). Сигнал на выходе ЧИМ может быть в общем виде описан следующим выражением:

n=0

30