GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

где K0 = 5; T0 = 1с – коэффициент передачи и постоянная времени объекта управления соответственно; τ =1с – запаздывание, вносимое объектом управления; T1, T2, K1 – параметры ПИД-регулятора.

В ходе решения задачи синтеза необходимо определить положительные значения варьируемых параметров, обеспечивающих в системе при f(t) = 1(t) переходный процесс с перерегулированием σ ≤ 50% и временем затухания Tп.п ≤ 15с, при выполнении требований устойчивости.

В результате решения задачи синтеза обобщенным методом Галеркина были получены следующие значения параметров ПИД-регу- лятора: K1 = 0,244; T1 = 051с; T2 = 0,12с, обеспечивающие в САУ процесс удовлетворяющий заданным показателям качества, приведенный на рис. 8.2.

271

Пример 3. Рассмотрим синтез параметров регулятора нелинейной непрерывной системы автоматического управления бортовой антенной летательного аппарата. Структурная схема САУ представлена на рис. 8.3, а, б.

– передаточная функция регулятора, здесь K, T1,..., T5 – варьируемые параметры;

– передаточная функция неизменяемой части системы управления; F [x(t), x(t)] – неоднозначная нелинейная характеристика типа «люфт без ограничения», параметры которой указаны на рис. 8.3.

Уравнение движения, описывающее динамику рассматриваемой САУ, имеет следующий вид:

Q(ck , p)x(t) + R(ck , p)F [x(t), x(t)] = S(ck , p) f (t),

272

где x(t), x(t) – координата входа нелинейного звена и ее первая производная соответственно; f(t) = 1(t) – внешнее входное воздействие; Q(ck,p), R(ck,p), S(ck,p) – полиномы оператора дифференцирования p = d/dt, определяемые выражениями

a7 = 2,34 10−4Y3; b0 = e0 = 435,91K; b1 = e1 = 435,91K (T1 + T2 + T3 ); b2 = e2 = 435,91K (T1T2 + T2T3 + T1T3 ); b3 = e3 = 435,91KT1T2T3.

Через Y1, Y2, Y3 обозначены следующие выражения

Требуется определить значения параметров регулятора, обеспечивающие в системе устойчивый переходный процесс, имеющий перерегулирование σ ≤ 20% и затухающий за время Tп.п ≤ 0,4с.

Исходя из заданных значений показателей качества работы САУ в переходном режиме в соответствии с методикой, изложенной в гл. 2, были определены параметры желаемого программного движения вида

где xу = 1; H1 = 1,12; α = 12; β = 24 рад/с; ϕ 0 = 0,464 рад.

График желаемого программного движения, построенный в соответствии с (8.4), приведен на рис. 8.3 (кривая 1).

Задача синтеза была решена при следующих ограничениях на значения искомых параметров:

где ck–, ck+ – минимально и максимально допустимые значения варьируемых параметров соответственно.

273

В ходе решения задачи были определены следующие значения параметров регулятора: K = 0,2; T1 = 0,02 с; T2 = 0,125 с; T3 = 0,1 с; T4 = 2,0 с; T5 = 0,0025 с, которые обеспечивают в системе управления процесс, показанный на рис. 8.3 (кривая 2). Как видно из рис. 8.3, найденные значения параметров регулятора приближенно обеспечивают заданные показатели качества работы САУ в переходном режиме.

8.2. Примеры синтеза систем управления с АИМ

Пример 1. Рассмотрим линейную САУ, содержащую идеальный амп- литудно-импульсный модулятор, структурная схема которой показана на рис. 8.4, а, б.

Рис. 8.4

Уравнение движения данной системы, записанное относительно координаты выхода z(t), имеет следующий вид:

Tдв p2 + (1 + KуKдвK1) p z (t ) + KуKдвKредz (t ) =

= KуKдвKред f (t ),

где параметры неизменяемой части системы: постоянная времени и коэффициент передачи двигателя – Tдв = 0,4 с; Kдв = 450 град/В соответственно; коэффициент передачи редуктора – Kред = 0,005.

274

Требуется определить значения варьируемых параметров системы: коэффициента усиления усилителя – Kу > 0 и коэффициента передачи тахогенератора – K1 > 0, которые будут обеспечивать в синтезируемой системе заданные показатели качества. При внешнем входном воздействии f(t) = 1(t) время переходного процесса в системе должно составлять Tп.п ≈ 1,0с, а перерегулирование σ ≈ 50%, при этом очевидно, что САУ должна быть устойчива.

Программное движение было задано в виде (3.2), при этом его параметры (α = 3, β = 13,5) были определены в соответствии с рекомендациями, приведенными в гл. 2. Значения варьируемых параметров были определены для двух значений периода квантования 0,05 с (0,1 с) и составили K1 = 0,00346 (0,00235); Kу = 1,288 (1,764) соответственно. На рис. 8.4, б построены кривая желаемого программного движения (кривая 1) и огибающие дискретных значений выходной координаты импульсной САУ с синтезированными параметрами для периода квантования 0,05 с (кривая 2) и 0,1 с (кривая 3). Как видно из рис. 8.4, качество работы системы управления с синтезированными значениями искомых параметров удовлетворяет требованиям задания.

Если же в рассмотренную систему наряду с идеальным импульсным элементом введен экстраполятор нулевого порядка (рис. 8.5, а, б), то в

а)

275

результате решения задачи синтеза методом ортогональных проекций, получаем значения параметров K1 > 0, Kу > 0, из условий, аналогичных требованиям, которые предъявляются к процессу. Так для периода квантования0,05сбылиполученыследующиезначения:K1=0,00021; Kу = 39,486, а для T = 0,1 с – K1 = 0,00036; Kу = 56,953. Для проверки достоверности полученного решения на рис. 8.5. приведены кривые желаемого программного движения (кривая 1) и огибающие дискретных значений процессов в САУ с синтезированными значениями параметров при величинах периода квантования 0,05 с (кривая 2) и 0,1 с (кривая 3). Как видно из рис. 8.4, 8.5, наилучшее приближение к программному движению обеспечивается при уменьшении величины периода квантования и наличии в САУ экстраполятора.

Пример 2. В данном примере рассматривается синтез параметров регулятора импульсной САУ, структурная схема которой представлена на рис. 8.6, а, б.

б) z

1

1 , 0

2

0 , 6

Рис. 8.6

276

Динамический процесс в системе (относительно координаты выхода САУ) описывается дифференциальным уравнением:

Параметры регулятора K1 > 0, T1 > 0, K2 > 0 должны обеспечивать в синтезируемой САУ при T = 0,2 c и внешнем скачкообразном входном воздействии f(t) = 1(t) переходный процесс с перерегулированием σ ≈ 5% и временем затухания Tп.п ≈ 2 с.

Следует отметить, что исходными данными для решения задачи являются:

–порядки полиномов Q(ck,D), Q*(ck,D), S*(ck,D) дифференциального уравнения – n = 3, n* = 0, v* = 0 соответственно;

–массивы коэффициентов полиномов Q(ck,D), Q*(ck,D), S*(ck,D), выраженных через неизвестные параметры, которые задаются в виде матриц

В результате решения поставленной задачи были получены следующие значения параметров регулятора: K1 = 0,0306; K2 = 0,105; T1 = 0,0039 с, обеспечивающие в САУ процесс, показанный на рис. 8.6, б (1 – желаемый процесс; 2 – огибающая дискретных значений процесса в системе с синтезированными параметрами).

277

Пример 3. Рассмотрим задачу параметрического синтеза импульсной САУ, описанной в [170]. Данная система содержит идеальный амплитудно-импульсный модулятор с экстраполятором нулевого порядка, элемент чистого запаздывания и обладает характеристиками фильтра низких частот, Уравнение движения синтезируемой системы имеет вид

T1T2T3 p3 + (T1T2 + T1T3 + T2T3 ) p2 + (T1 + T2 + T3 ) p +1 z (t ) = = K (T4 p +1) f (t − τ ),

где τ = 4с – время запаздывания; K = 1; T1, T2, T3, T4 – варьируемые параметры.

Требуется определить положительные значения искомых параметров для двух значений периода квантования – 1 и 4 с, обеспечивающих в САУ при f(t) = 1(t) монотонный переходный процесс, заканчивающийся

кмоменту времени 60 с.

Врезультате решения задачи синтеза получены следующие значения

варьируемых параметров: T1 = 17,2 с; T2 = 0,547 с; T3 = 0,216 с; T4 = 2,31 с (для периода квантования 1 с); T1 = 14,7 с; T2 = 0,182 с; T3 = 0,451 с; T4 = = 0,997 с (для периода квантования 4 с). Огибающие дискретных значений переходных процессов в САУ с синтезированными параметрами приведены на рис. 8.7 (кривая 1 – для T = 1 с, кривая 2 – для T = 4 с).

1

0 , 6

Рис. 8.7

278

Пример 4. В данном примере при решении задачи синтеза применяются эквивалентные преобразования кусочно-линейной характеристики отличной от типовой. Рассмотрим параметрический синтез следящей системы стабилизации изображения на индикаторе радиолокационной станции с идеальным импульсным модулятором и экстраполятором нулевого порядка, структурная схема которой приведена на рис. 8.8, а, б.

На рис. 8.8, б приняты следующие обозначения: 1 – датчик рассогласования с преобразователем код-напряжение, статическая характеристика которого соответствует статической многоступенчатой характеристике квантователя-экстраполятора; 2 – усилитель мощности; 3 – двигатель; 4 – редуктор; 5 – тахогенератор; 6 – жесткая отрицательная обратная связь по скорости двигателя; 7 – положительная обратная связь по скорости двигателя. Для обеспечения высоких показателей качества работы при одновременном обеспечении устойчивости процессов в рассматриваемой системе используется коррекция в виде положительной и отрицательной обратных связей по скорости. Жесткая отрицательная обратная связь по скорости уменьшает ошибку системы, обусловленную нестабильностью усилителя и двигателя, и позволяет повысить их линейность и стабильность. Динамика САУ описывается следующим дифференциальным уравнением:

S (ck , D ) = ∑7 ei (ck )Di ;

i=0

здесь

a0 = e0 = 0; a1 = e1 = K (K1 − K2 ) +1;

279

Рис. 8.8