GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

теристики часто встречаются в нелинейных задачах при учете силы реакции контактных пружин или других упругих элементов, при наличии в системах управления магнитных усилителей и т. д. [116]

Примерами подобных характеристик являются:

–двусторонняя реакция упругого элемента с различной жесткостью (табл. 6.2, характеристика 1);

–характеристика магнитных усилителей (табл. 6.2., характеристика 2);

–зависимость момента сил реакции неподвижного контакта на подвижный контакт (табл. 6.2, характеристики 3,4);

–релейные характеристики, когда релейный элемент работает на включение и отключение следующего за ним звена (табл. 6.2, характеристики 5, 6)(если же релейный элемент работает на включение и переключение следующего за ним звена, то в этом случае характеристика будет симметричной);

–характеристики электронных и преобразовательных устройств (табл. 6.2, характеристики 7,8).

Характеристики двусторонней реакции упругого элемента с различной жесткостью и магнитных усилителей (табл. 6.2, характеристики 1,

2)могут быть представлены эквивалентными преобразованиями с помощью нелинейных зависимостей характеристик 3, 4, табл. 6.2.

Все отмеченные нелинейные характеристики допускают кусочнолинейное представление, однако несимметричные характеристики нелинейных элементов могут быть аппроксимированы и степенными (алгебраическими) функциями (табл. 6.2, характеристики 7, 8).

Распространение метода ортогональных проекций на системы с несимметричными нелинейными характеристиками имеет ряд особенностей:

–если уравнение движения синтезируемой системы записано относительно координаты выхода, то все аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина для соответствующих симметричных характеристик, справедливы и в данном случае; так обстоит дело с характеристиками 1, 2, 4–7; на выходе нелинейных характеристик 3, 8 процесс отсутствует, следовательно, интегральное соотношение равно нулю;

–если уравнение движения синтезируемой системы записано относительно координаты ошибки, то аналитические соотношения должны быть определены с учетом особенностей преобразования входного сигнала несимметричной характеристикой (см. рис. 6.9); рекуррентные соотношения для нелинейных характеристик, показанных в табл. 6.2., приведены в Приложении.

201

Таблица 6.2

Графическое представление и математическое описание

несимметричных нелинейных характеристик

Вид нелинейной

Математическое описание нелинейной характеристики

характеристики

1F(x)

xвых = k1x, при x ≥ 0

arctg k1 xвых = k2 x , при x < 0 x

arctg k2

2F(x)

4F(x)

202

Окончание табл. 6.2

Вид нелинейной

Математическое описание нелинейной характеристики

характеристики

5F(x)

203

– для характеристик 1, 3, 4, 7, 8 моменты переключения сигнала ошибки могут быть определены аналитически, поскольку переключения будут происходить только в моменты пересечения входным сигналом оси абсцисс, т. е. при нулевом сигнале на входе нелинейного звена.

Таким образом, если на входе нелинейного звена рассматриваемого типа будет процесс вида

x (t ) = H e− αt cos (βt − ϕ 0 )1(t ) ,

прохождение которого через несимметричную нелинейность показано на рис. 6.10, то моменты переключения определяются решением уравнения

t2

t

Рис. 6.10

204

Из соотношения (6.6) следует, что соседние точки переключения отстоят друг от друга на величину π , тогда для САУ с амплитудноимпульсной модуляцией можно установить такое соотношение между максимально допустимой величиной периода прерывания и частотой желаемого программного движения, которое будет исключать неоднозначность в определении значений σ j

При выполнении условия (6.7) между соседними импульсами не будет более одного переключения нелинейной характеристики.

Таким образом, если условия проектирования системы управления позволяют варьировать значение периода прерывания при жестко заданных показателях качества работы САУ, то, определив значение частоты желаемого программного движения, можно найти Tmax, исключающее неоднозначность в определении σ j.

Если же задан период прерывания, а показатели качества работы системы управления в переходном режиме допускают вариации, то в пределах этих вариаций можно определить ограничение на частоту программного движения, обеспечивающую выполнение условия (6.7).

Наиболее сложной представляется ситуация, когда и период прерывания, и параметры желаемого движения жестко заданы. При этом условие (6.7) может как выполняться (неоднозначность в определении σ j будет отсутствовать), так и не выполняться. В последнем случае разрешение вопроса возможно лишь программное.

Если на входе нелинейного элемента будет процесс вида

x0 (t ) = xу − H e− αt cos(βt − ϕ 0 ) 1(t ) ,

т. е. уравнение движения системы управления записано относительно координаты выхода системы, переключения нелинейной характеристики будут отсутствовать для характеристик 1, 3, 4, 7, 8 (табл. 6.1). Для остальных несимметричных нелинейностей моменты переключения будут определяться также как и для симметричных.

205

–САУ с непосредственным дифференцированием;

–шаговые системы;

–системы с модулирующим (пробным) сигналом и синхронным детектированием;

–системы с запоминанием экстремума.

Как было показано, общая схема решения задачи синтеза параметров систем управления различных классов обобщенным методом Галеркина справедлива для САУ различных структур и порядков, в том числе и для систем экстремального регулирования.

Вместе с тем для любой конкретной структурной схемы нелинейной системы управления, уравнение движения должны учитывать местоположение и количество нелинейных элементов. Так основы физики функционирования систем экстремального регулирования непосредственно связаны с наличием в САУ данного класса нелинейного звена, характеристика которого имеет экстремум, а структура системы определяется способом нахождения градиента и организации движения к экстремуму.

При рассмотрении систем, объекты управления которых имеют экстремальную, чаще всего параболическую характеристику, целесообразность алгебраической аппроксимации является очевидной, поскольку любое кусочно-линейное представление подобной характеристики будет вносить существенную погрешность в динамику процессов, происходящих в САУ. Данное утверждение иллюстрируется довольно простым примером анализа динамики системы управления, структурная схема которой изображена на рис. 6.11.

f 1( t )

t

y ( t )

Рис. 6.11

Анализ динамических процессов в рассматриваемой системе управления осуществлялся при внешнем единичном скачкообразном входном воздействии как при кусочно-линейной, так и при степенной аппроксимациях исходных нелинейных характеристик. Причем

207

степенная аппроксимация принята за эталонное воспроизведение исходной нелинейной характеристики. Исследовалось влияние числа участков кусочно-линейной аппроксимирующей характеристики на точность воспроизведения процесса на выходе системы управления по сравнению с эталонным процессом, полученным при степенной аппроксимации.

Числоипараметрыаппроксимирующихкусочно-линейныхучастковдля нелинейностей F(x) = x2 и F(x) = sign(x)x3 представлены в табл. 6.3 и 6.4 соответственно.

На рис. 6.12 показаны графики переходных процессов в системе с нелинейной характеристикой F(x) = x2 (1, 2, 3 – переходные процессы в системе при кусочно-линейной аппроксимации нелинейности двумя, четырьмя и десятью участками соответственно; 4 – переходной процесс в системе со степенной аппроксимацией нелинейности).

208

209