F ( x )
0
Рис. 6.6
F ( x )
0
Рис. 6.7
Возможно также представление аппроксимируемых функций в виде разложения по экспонентам
F (x) = ∑n aiebi x
i=1
или разложения в ряд Фурье, если область изменения одной из переменных ограничена с двух сторон.
Интегралы и пределы
В тех случаях, когда реальная нелинейная характеристика имеет разрывы применяется аппроксимация и виде интегральных или предельных соотношений [218].
Например, нелинейная зависимость, показанная на рис. 6.6 (пун-
ктиром показаны формы кривой при изменении нагрузки) может быть ап-
x
проксимирована как соотношением (6.5), так и интегралом вида
x |
|
2 |
F (x) = a∫ e−(x |
2 |
−b) dx, |
0 |
|
|
поскольку производная функции
dF (x) при увеличении х увеличи- dx
вается до максимального значения a, а затем начинает уменьшаться, стремясь к нулю при x → ∞ .
Характеристика, показанная на рис. 6.7, может быть аппроксимирована следующим образом
|
F (x) = lim |
ax |
, |
|
1 + e−nx |
|
n→+∞ |
|
F ( x ) = kx ,
при x > 0;
F ( x ) = 0,
при x ≤ 0.
что представляется более сложным по сравнению с кусочно-линей- ной аппроксимацией, которая является наиболее простой.
Наиболее часто применяется кусочно-линейная аппроксимация, которая обладает наибольшей степенью универсальности, что, было показано в предыдущих главах книги, либо аппроксимация степенными функциями, в том числе в случае несимметричных нелинейных характеристик, либо сочетание кусочно-линейной и степенной аппроксимаций.
6.2. Синтез параметров систем управления при алгебраической (степенной) аппроксимации характеристик нелинейных элементов
Общая схема решения задачи параметрического синтеза систем автоматического управления, содержащих различного типа импульсные элементы, является универсальной в том смысле, что не ограничивает семейство нелинейных характеристик лишь кусочно-линей- ными, или теми характеристиками нелинейных элементов, которые допускают кусочно-линейную аппроксимацию. Поэтому данная схема решения задачи синтеза параметров регуляторов систем управления может эффективно использоваться для разработки методов синтеза САУ, содержащих нелинейные элементы, характеристики которых допускают различные виды аппроксимации, что безусловно является весьма ценным, поскольку, как было отмечено в предыдущем параграфе, универсального способа аппроксимации нелинейных характеристик реальных элементов систем управления не существует.
Однако разработка методов параметрического синтеза систем на основе общей схемы решения задачи, математическую базу которой составляет обращение обобщенного метода Галеркина требует выполнения следующего основного условия: любая аппроксимация исходной нелинейной характеристики является допустимой, если ее использование не приводит к получению неберущихся на множестве элементарных функций интегральных соотношений вида «вход – выход», определяющих интегралы Галеркина минимизируемых целевых функций.
В настоящем разделе рассматриваются системы управления, содержащие нелинейные характеристики, построенные на основе степенных функций, вид и математическое описание которых приведены в табл. 6.1.
192
Таблица 6.1
Графическое представление и математическое описание алгебраических (степенных) нелинейных характеристик
|
Вид нелинейной |
|
Математическое описание нелинейной характеристики |
|
характеристики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
F(x) |
|
xвых = kx2signx = k |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо |
|
|
x |
|
|
xвых = kx3 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
F(x) |
|
xвых = kx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо |
|
|
|
|
|
x |
= kx3signx |
|
|
|
|
|
вых |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
F(x) |
|
xвых = k (x + a)2 + c, |
|
c |
|
a, c, k – могут быть как положительными, так и |
|
x |
отрицательными |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0a
4 |
F(x) |
|
|
|
|
c |
|
|
|
−b |
k1 |
|
xвых = k1 (1− kx)2 x, |
x ≤ b |
|
x |
|
|
0 |
b |
xвых = c sign x, |
x > b |
|
|
|
|
|
−c |
|
|
|
Для решения задачи параметрического синтеза САУ, содержащих степенные (алгебраические) характеристики, обобщенным методом Галеркина требуется минимизировать целевую функцию вида
m |
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ bi (ck )Bqi + |
J = ∑ ∑ |
|
ai (ck ) A∑qi + ai |
(ck )∑Aqi |
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
q=1 i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
u |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
+ |
(c |
e |
(c |
)C |
− |
(c |
|
, |
b |
)B − |
e |
)C |
|
∑ |
i |
|
k |
qi ∑ |
i |
k |
|
∑qi |
|
i |
k |
qi |
|
i=0 |
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
minc |
|
J. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
где рекуррентные соотношения, определяющие интегралы Aq, Aq*, Cq, Cq* были получены ранее.
Поэтому для распространения обобщенного метода Галеркина на новый класс нелинейных элементов, характеристики которых целесообразно аппроксимировать степенными (алгебраическими) функциями, необходимо вычислить аналитические соотношения, определяющие интегралы Bq, Bq*, для характеристик представленных в табл. 6.1.
Аналитические соотношения, определяющие интегралы Галеркина Bq, Bq* для алгебраических нелинейностей как для непрерывных, так и импульсных САУ получены в соответствии с методикой, изложенной выше, и представлены в табл. П1–П3.
Применительно к обобщенному методу Галеркина кусочно-линей- ная аппроксимация при всех ее несомненных преимуществах, связанных с универсальностью, т. е. возможностью кусочно-линейного представления широкого спектра реальных нелинейных характеристик звеньев систем управления, имеет и определенный недостаток. Недостаток заключается в не точном определении моментов времени переключения кусочно-линейной характеристики, значения которых используются при вычислении соответствующих рекуррентных аналитических соотношений, определяющих интегралы Галеркина целевых функций.
При решении задачи синтеза параметров непрерывных систем управления с помощью прикладного программного обеспечения, значения моментов времени переключения для любой кусочно-линейной характеристики можно определить с точностью до половины величины приращения координаты времени, т. е. наибольшее значение погрешности будет составлять
δ = ∆ t . Погрешность в определении моментов переключения нелинейных
2
характеристик, особенно если число переключений велико, приводит к воз-
растанию погрешности вычисления соответствующих рекуррентных аналитических соотношений, а следовательно, к определенному снижению точности решения задачи синтеза параметров САУ.
При решении задачи синтеза систем с амплитудно-импульсной модуляцией сигнала, погрешность в определении значений времени переключения будет возрастать по сравнению с непрерывными системами управления. Для импульсных САУ время переключения кусочно-линей- ных характеристик определяется по непрерывному входному сигналу, а затем осуществляется дискретизация полученных значений. Дискретное значение момента времени переключения определяется
|
|
|
|
t j = σ jT , |
|
|
t |
j |
|
где σ j |
= E |
|
, здесь символ E означает целую часть числа. |
|
|
|
|
T |
|
Очевидно, что ошибка в определении дискретного значения точки переключения будет тем больше, чем больше значение периода прерывания, в соответствии с которым осуществляется дискретизация.
Кроме того, при использовании большого числа кусочно-линейных участков для аппроксимации гладких нелинейных функций, возможно получение принципиально неверного результата решения задачи синтеза.
Такая ситуация возможна, если число участков принятой аппроксимирующей характеристики не согласовано с периодом прерывания импульсного элемента. Допустим, что период прерывания имеет достаточно большое значение по сравнению с длительностью времени работы САУ на текущем участке характеристики. В этом случае в течение одного периода прерывания может произойти несколько переключений нелинейной характеристики, т. е. несколько переходов с одного кусоч- но-линейного участка на другой. Следовательно, нескольким значениям моментов времени переключения, определенным по непрерывному входному сигналу будет соответствовать одно и то же значение времени переключения, полученное в результате дискретизации, т. е. исходная математическая модель синтезируемой системы управления не будет соответствовать фактически синтезируемой САУ.
На рис. 6.8 показано прохождение процесса x(t), а также процесса x*(t), полученного при амплитудно-импульсной модуляции исходного движения x(t) идеальным АИМ, через нелинейную характеристику F(x) = kx2, 1 – процесс на выходе нелинейности F(x) = kx2 при непре195
рывном входном сигнале x(t); 2 – дискретные значения процесса на выходе нелинейности F(x) = kx2 при модулированном по амплитуде входном сигнале x*(t); 3 – дискретные значения процесса на выходе нелинейной характеристики F(x) = kx2, аппроксимированной двумя кусоч- но-линейными участками при модулированном по амплитуде входном сигнале x*(t). Очевидно, что аппроксимация исходной нелинейности двумя кусочно-линейными участками вносит существенную погрешность в результат преобразования входного сигнала, что видно по разнице амплитуд импульсов на первых семи периодах (графики 2 и 3). Однако для рассматриваемого сигнала на входе нелинейности подобная аппроксимация не вносит погрешности в определение точек переключения кусочно-линейной характеристики, поскольку на каждом периоде прерывания имеет место лишь одно переключение. Следовательно, дискретизация моментов переключения данной кусочно-линейной характеристики, определенных по непрерывному входному сигналу будет осуществлена с точностью до очередного периода, т. е. величина σ j в формулах, определяющих интегралы B*qi (Прил. 1), будет последовательно принимать значения 1, 2, 3, ..., n.
Более точные варианты кусочно-линейной аппроксимации характеристики F(x) = kx2 показаны на рис. 6.9 (рис. 6.9, а – три кусочно-линейных участка; рис. 6.9, б – пять кусочно-линейных участков). Очевидно, что увеличение числа кусочно-линейных участков аппроксимирующей характеристики снижает ошибку в преобразовании входного как непрерывного, так и амплитудно-импульсного сигналов. Вместе с тем, увеличение числа кусочно-линейных участков вносит неопределенность в результат вычисления величины σ j. Из рис. 6.9, а видно, что дискретизация значений моментов переключения t1 и t2 будет давать одинаковые значения σ j, т. е. σ 1 = σ 2, такая же ситуация будет и для моментов переключения t6 и t7. Увеличение числа кусочно-линейных участков (рис. 6.9, б) усугубляет описанную ситуацию, так как одинаковые значения σ j будут давать моменты
переключения t1 – t3; t4 – t6; t7 и t8; t9 и t10. Эти примеры показывают следующее:
–аппроксимация степенных нелинейных характеристик двумя ку- сочно-линейными участками, как правило, неприемлема из-за вносимой подобным представлением погрешности в преобразование входного сигнала;
–при решении задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, содержащей нелинейные характеристики, состоящие из двух кусочно-линей-
ных участков, программное обеспечение позволяет однозначно осуществлять дискретизацию моментов переключения нелинейности; величина σ j будет последовательно принимать значения 1, 2, 3, ..., n, если значение периода прерывания импульсного модулятора согласовано с частотой процесса x(t) на входе кусочно-линейного звена;
– при решении задачи параметрического синтеза САУ с АИМ, содержащих нелинейные характеристики с большим числом кусочно-линей- ных участков, программное обеспечение, реализующего обобщенный метод Галеркина (без принятия специальных мер), будет (с большой долей вероятности) формировать некую случайную модель синтезируемой системы, степень приближения которой к заданной будет определяться вероятностью получения различных (для каждого момента переключения) значений σ j, используемых в расчете соотношений B*qi.
Избежать возникновения неоднозначности в определении значений σ j можно путем согласования периода прерывания амплитудно-импульсного модулятора и частоты сигнала на входе нелинейности, чтобы между соседними импульсами было не более одного переключения нелинейной характеристики. Добиться этого можно одним из двух способов построения алгоритма программы определения точек переключения для систем управления, содержащих амплитудно-импульсные модуляторы.
Первый подход состоит в согласовании величины периода прерывания импульсного элемента и частоты желаемого программного движения путем определения максимально возможного (максимально допустимого) значения периода прерывания, соответствующего однозначному определению величин σ j при дискретизации значений моментов переключения нелинейной характеристики tj. Для случая, показанного на рис. 6.9, а.
T ≤ t.− t
max 1 2
Таким образом, для установления T = Tmax необходимо определить моменты переключения tj кусочно-линейной характеристики в случае непрерывного процесса на ее входе, а затем на интервале от 0 до Tп.п определить все разности
∆ ti= t j− t j−1
и найти наименьшее значение ∆ ti, которое и будет соответствовать максимально допустимому периоду прерывания.
Найденное значение периода прерывания будет оптимальным в смысле однозначности нахождения величины σ j, поскольку в данном случае между двумя соседними импульсами всегда будет лишь одна точка переключения нелинейной характеристики. Подобный подход целесообразно использовать в тех случаях, когда период прерывания может быть включен в число параметров варьируемых при синтезе системы управления.
Второй подход имеет более широкую область практического применения, поскольку рассчитан на общий случай решения задачи параметрического синтеза систем с АИМ, когда значение периода прерывания и частота желаемого процесса жестко заданы условиями проектирования САУ. Чтобы избежать неоднозначности в определении σ j, необходимо при реализации алгоритма определения точек переключения, после дискретизации соответствующих моментов переключения, т. е. определения последовательности значений σ j исключить из сформированной последовательности все одинаковые значения σ j, кроме одного. Это означает, что все значения моментов переключения tj (определенные по непрерывному входному сигналу), между двумя соседними импульсами, заменяются одним значением σ j. Тогда динамика синтезируемой математической модели будет верно отражать физику ее функционирования.
Несомненное достоинство алгебраической (степенной) аппроксимации нелинейных характеристик, которую целесообразно использовать для различных электронных схем выпрямления и преобразования сигнала, состоит в том, что для подобных нелинейных характеристик точки переключения будут отсутствовать [в случае симметричных степенных характеристик 1–3 (табл. 6.1)]. Исключение составляют зависимости вида 4 (табл. 6.1), которые получены путем одновременного применения степенной (алгебраической) и кусочно-линейной аппроксимации, для которых точки переключения определяются аналогично кусочнолинейным характеристикам.
6.3.Синтез параметров систем управления, содержащих нелинейные элементы
с несимметричными характеристиками
При решении задачи синтеза нелинейных систем управления достаточно часто приходится иметь дело с САУ, в состав которых входят звенья, имеющиенесимметричныенелинейныехарактеристики.Несимметричность характеристик, как правило, связана с физическими особенностями функционирования устройств. Так несимметричные кусочно-линейные харак-
