GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник
.pdfпредложили алгебраический критерий устойчивости систем управления с амплитудно-импульсной модуляцией, базирующийся на прямом методе Ляпунова. В монографии [6] В. И. Зубов для непрерывных систем свел задачу отыскания функций Ляпунова к нахождению решения дифференциального уравнения в частных производных, с помощью которого можно выбрать функцию, удовлетворяющую определенным условиям. Решение этого уравнения позволяет получить желаемую функцию Ляпунова. Результаты, полученные В. И. Зубовым, были обобщены на случай разностных уравнений Р. О. Шеа, который предложил несколько теорем, базирующихся на втором методе Ляпунова и обратном преобразовании.
Каждый из критериев, предложенных на основе второго метода Ляпунова, используется для определенного класса нелинейных САУ, что является неизбежным из-за произвольного выбора функций Ляпунова. Обзор ряда аналитических критериев устойчивости амплитуд- но-импульсных систем управления: Р. О. Шеа, Н. Н. Пури и Р. Л. Дрейка, Р. Е. Калмана, основывающихся на втором методе Ляпунова, дан в монографии П. Видаля [7]. В большинстве работ, посвященных приложению метода Ляпунова к исследованию устойчивости импульсных систем, рассматривается амплитудно-импульсная САУ без запоминающего устройства, содержащая один нелинейный элемент [8, 9]. При этом используется функция Ляпунова в виде квадратичной формы, либо в форме А. И. Лурье [10], который предложил дополнить квадратичную форму интегралом от нелинейности.
Различные аспекты применения прямого метода Ляпунова к дискретным системам управления как с одним, так и несколькими нелинейными элементами рассмотрены в работах [11–21] и др. Так в [18], рассматриваются дискретные САУ с несколькими нелинейными нестационарными элементами, для которых получены необходимые и достаточные условия существования функций Ляпунова из класса квадратичных форм с отрицательно определенной первой разностью. В работах [19, 20–22] для систем того же класса формулируются необходимые и достаточные условия абсолютной неустойчивости в случае расположения характеристики нелинейного звена в секторе.
В работах Е. С. Пятницкого предлагаются итерационный [16] и градиентный [23] методы построения функций Ляпунова, допускающие реализацию на ЭВМ. Суть итерационного подхода состоит в том, что задача построения функций Ляпунова сводится к эквивалентной 11
минимаксной задаче математического программирования, что позволило получить критерий устойчивости в форме численных процедур и разработать алгоритмы численного построения областей абсолютной устойчивости непрерывных и дискретных САУ. При градиентном методе задача построения функций Ляпунова из класса квадратичных форм сводится к задаче отыскания седловых точек функции, которая не является выпукло-вогнутой. Данный поход разработан для непрерывных САУ с несколькими нелинейностями и развит на дискретные системы управления.
В работе А. М. Родионова [24] условия абсолютной устойчивости дискретных уравнений получаются вторым методом Ляпунова с помощью нестандартных дискретных функционалов [25–27], которые позволяют получить простые достаточные условия абсолютной устойчивости коэффициентного типа. В [28] дано развитие теорем Векслера и Халаная [29] и предложены более жесткие требования к функциям Ляпунова, позволяющие найти притягивающие множества для нелинейных дискретных уравнений.
Исследованию устойчивости больших систем с помощью метода Ляпунова посвящены работы В. М. Матросова [30–36] в которых предлагается использовать векторные функции Ляпунова. Метод сравнения с векторными функциями Ляпунова в [35] распространен на дискретные системы, динамика которых описывается конечно-раз- ностными уравнениями. Обзор работ по методу векторных функций Ляпунова дан в статьях А. А. Воронова [37] и В. М. Матросова [36].
Исследования, распространяющие метод Ляпунова на нелинейные системы управления с широтной и частотной модуляцией, связаны с широким использованием систем указанных классов к задачам управления роботами и манипуляторами, различными подвижными объектами и т. д. Этому вопросу посвящены циклы работ В. М. Кунцевича, Ю. Н. Чехового [9, 38–43], в которых прямой метод Ляпунова применяется к одномерным и многомерным системам управления, содержащим широтные и частотные модуляторы.
Таким образом, исследование устойчивости нелинейных импульсных САУ, основывающееся на втором методе Ляпунова, имеет весьма широкое распространение.
Однако основная трудность в использовании данного подхода состоит в нахождении функций Ляпунова, поскольку в настоящее время не существует простого, надежного и хорошо разработанного ал-
12
горитма, обеспечивающего их построение для систем управления с модуляторами различных видов.
Для исследования абсолютной устойчивости систем управления наряду с прямым методом Ляпунова широкое развитие и распространение в теории автоматического управления получили частотные методы, которые позволяют рассматривать САУ произвольно высокого порядка с нелинейностями довольно общего вида.
В работе [44] В.М. Попов сформулировал критерий, позволяющий исследовать абсолютную устойчивость нелинейной непрерывной системы по частотным характеристикам ее линейной части. В последующих работах [45, 46] В. М. Попов предложил геометрическую интерпретацию аналитического критерия.
Значительный вклад в развитие частотных критериев абсолютной устойчивости импульсных систем управления внесен работами Я. З. Цыпкина, Е. И. Джури, А. Х. Гелига, В. А. Якубовича.
Так в работах [47–50], В. А. Якубович распространил метод исследования устойчивости В. М. Попова на системы автоматического управления с гистерезисными нелинейностями, с ограниченной производной нелинейной характеристики, с неединственным положением равновесия, а также на импульсные САУ с несколькими нелинейными и линейными нестационарными блоками.
Е. И. Джури и Б. У. Ли [51, 52] получили частотный критерий устойчивости дискретных САУ со многими нелинейными элементами, математическую основу которого составляет частотный метод Попова. Показано, что при стремлении периода квантования к нулю критерий абсолютной устойчивости Джури–Ли переходит в критерий В. М. Попова. В работе [53] Е. И. Джури получил робастные модификации классических частотных критериев абсолютной устойчивости дискретных систем. В статье сформулированы критерии абсолютной устойчивости системы Лурье (САУ, состоящей из дискретного линейного стационарного объекта и статической безынерционной нелинейности в цепи обратной связи) при параметрической и непараметрической неопределенности линейной части, а также неопределенности стационарного запаздывания в цепи обратной связи.
Для импульсных САУ Я. З. Цыпкиным [54–56] был получен аналог частотного критерия Попова. В дальнейшем критерий устойчивости Цыпкина был распространен на нелинейные дискретные системы управления с нейтральной и неустойчивой линейной частью 13
[57], на случай нестационарной нелинейной характеристики [58], а в [59] Я.З. Цыпкин предложил учитывать крутизну характеристики нелинейного элемента. Различные условия робастной абсолютной устойчивости дискретных САУ были разработаны Я.З. Цыпкиным в [60, 61].
Вряде работ [18, 62–64] критерий Цыпкина распространен на дискретные системы с нестационарными нелинейными характеристиками. Так А. П. Молчановым [63], для данного класса нелинейностей вариационным методом [62, 64] получены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых частотное неравенство
Я.З. Цыпкина обеспечивает экспоненциальную устойчивость в заданном классе нелинейностей.
Вработе [65] предложен точный метод исследования периодических колебаний в САУ с различными видами модуляции, который является развитием метода, предложенного Я. З. Цыпкиным для релейных систем [66]. Метод дополнен графо-аналитическими методиками исследования колебаний в системах с наиболее распространенными видами модуляции.
Вработе А. Х. Гелига [67] предложен частотный критерий устойчивости импульсных систем с различными видами модуляции, основанный на методе усреднения сигнала на выходе модулятора [68]. Этот метод позволяет в рамках единого подхода рассматривать различные виды модуляции, при которых частота модуляции ограничена снизу (широтно-импульсная модуляция, некоторые разновидности частотно-импульсной модуляции, системы с комбинированной и фазовой модуляцией). Основная идея метода, предложенного А. Х. Гелигом близка к известному принципу эквивалентных площадей [69] и заключается в рассмотрении специальных локальных квадратичных связей: среднее значение сигнала на выходе модулятора связывается со значением модулирующего сигнала в некоторые дискретные моменты (частота следования которых совпадает с частотой модуляции). Метод усреднения нашел широкое применение при разработке частотных критериев устойчивости импульсных САУ различных классов [70–81].
А. Х. Гелигом и его учениками получены достаточные частотные условия существования простейших периодических режимов в САУ с ЧИМ как при отсутствии внешнего воздействия [72–74], так и при постоянном внешнем воздействии [75, 76]. В [77] получены доста-
14
точные частотные условия устойчивости в целом систем автоматического управления, включающих в свой состав несколько импульсных элементов, осуществляющих комбинированную широтно-частот- ную модуляцию. В работах [79, 80] на основе метода усреднения рассматривается абсолютная устойчивость САУ с интегральной широт- но-импульсной модуляцией и однополярными ШИМ и ЧИМ. На примере последних показано, что описанные в [69, 70] локальные связи, могут быть сведены к традиционным интегральным квадратичным связям в рамках общей теории устойчивости [82]. Это дает возможность расширить область параметров САУ, для которой гарантируется устойчивость по сравнению с аналогичным критерием [70].
Системы автоматического управления с широтно-импульсной модуляцией эффективно работают вблизи границ области устойчивости, поэтому важное значение имеют работы, посвященные методам, отыскивающим точные границы этих областей. Решение этой задачи рассматривается в статьях [83 – 86] применительно к САУ с ШИМ I, II и интегральным ШИМ. Для описания периодического режима используется импульсно-частотная характеристика [86, 87], что позволяет свести проблему устойчивости к проблеме расположения корней некоторой функции комплексного переменного.
В [88] предложен алгебраический алгоритм определения точной границы области абсолютной устойчивости нелинейных нестационарных импульсных систем, который применим к САУ произвольно высокого порядка с любым числом «секторных» нестационарных нелинейных характеристик.
Как отмечается в [53] недостатком некоторых частотных критериев устойчивости нелинейных импульсных систем (в частности, критерий Джури–Ли) является то, что они не допускают графической интерпретации и требуют численной оптимизации на интервале от нуля до бесконечности. Поэтому с ростом числа неопределенных параметров затраты на вычисления оказываются неприемлемыми даже для мощных современных компьютеров. Однако некоторые методики исследования абсолютной устойчивости непрерывных и дискретных систем [89, 90] на основе критерия В. М. Попова с использованием схемы Рауса достаточно эффективны, в том числе для САУ произвольно высокого порядка со многими нелинейностями.
15
1.2. Синтез нелинейных импульсных систем автоматического управления
При решении большинства практических задач по разработке систем автоматического управления различными объектами недостаточно обеспечить только устойчивость САУ, а также важно обеспечить заданные показатели качества их функционирования.
Точным методом синтеза нелинейных систем управления является метод фазового пространства, предложенный применительно к непрерывным САУ А. А. Андроновым [91–95]. В монографии [7], а также в работах [96, 97], указанный метод синтеза распространен на нелинейные системы с амплитудно-импульсной модуляцией сигнала, описываемые двумя конечно-разностными уравнениями (метод дискретной фазовой плоскости). Этот метод дает возможность проводить качественный и количественный анализ переходных процессов, протекающих в системе при различных значениях параметров и при различных начальных условиях, а также производить выбор параметров оператора управления (регулятора).
К методу дискретной фазовой плоскости тесно примыкает метод разделения движений [97, 98], использующий понятие фазового пространства. Основой данного метода синтеза является разделение полного движения импульсной САУ на быстрые и медленные составляющие, которым соответствуют системы уравнений более низкого порядка, чем исходные. Условием применимости этого подхода является так называемое «условие фильтра», предложенное в [97] и определяющее возможность расщепления исходной системы уравнений на две подсистемы меньшего порядка.
Однако, как отмечается в [99, 100], методы фазовой плоскости, фазового пространства и их дискретные аналоги могут эффективно работать лишь для сравнительно простых систем, динамика которых описывается уравнениями невысокого порядка.
В [101] А. С. Востриковым к решению задач синтеза дискретных САУ применяется принцип локализации. Основная идея принципа локализации близка к методу разделения движений [97, 98] и заключается в следующем: система строится так, чтобы всевозможные отклонения параметров возмущения отрабатывались в быстром контуре, который как бы локализует все возмущения, а требуемый вид переходного процесса обеспечивается медленным контуром.
16
Широкое распространение для решения задачи синтеза линейных импульсных систем получил метод z-преобразования [102–105]. Благодаря работам Е. И. Джури [106, 107], на основе метода z-преобразова- ния был разработан метод корневых годографов, в котором используется свертка z-преобразований, позволяющая определять решение для дискретных САУ с нелинейными элементами определенного вида. Указанный метод применяется для исследования импульсных систем со слабонелинейными звеньями и позволяет найти выходной сигнал в дискретные моменты времени как функцию входного сигнала. Недостатком метода, предложенного Е. И. Джури, является необходимость представления нелинейности в виде разложения в конечный ряд, что приводит к линеаризации релейных характеристик.
Ввиду сложности и трудоемкости точных методов исследования нелинейных непрерывных и дискретных САУ широкое распространение в инженерной практике получили приближенные методы. Большинство приближенных методов исследования систем указанных классов основывается на идеях гармонического баланса.
Фундаментальные работы по этим подходам принадлежат Л. С. Гольдфарбу [108, 109], Е. П. Попову [110, 111] и ряду других ученых. В монографии [112] Б. С. Куо на основе z-преобразования, распространил метод гармонического баланса на импульсные системы. Необходимо отметить, что метод гармонического баланса и его дискретный аналог предназначены, в основном, для исследования нелинейных непрерывных и импульсных САУ, процессы в которых близки к синусоидальным. Поэтому данный подход особенно эффективен при исследовании периодических режимов в нелинейных системах [113–115].
Применению данного метода для исследования непрерывных систем посвящены работы Е. П. Попова, Ю. И. Топчеева, И. П. Пальтова, Е. И. Хлыпало [116–118], а для дискретных – М. М. Симкина [119, 120], Я. З. Цыпкина [121, 122], предложившего вариант метода гармонического баланса, основанный на использовании импульсных частотных характеристик линейной части системы.
В работах [123–129] метод гармонического баланса распространен на системы с ЧИМ 2-го рода, поскольку данные САУ не допускают математического описания в терминах нелинейных разностных уравнений.
Однако следует отметить, что метод имеет ограниченное применение почти исключительно для САУ, устойчивых в разомкнутом со17
стоянии [99, 130] и содержащих нелинейные элементы с характеристиками релейного типа [131]. Кроме того, точность данного метода связана главным образом с возможностью синусоидальной аппроксимации входных сигналов нелинейных элементов.
При использовании метода гармонического баланса для дискретных систем существенно возрастает его сложность и трудоемкость вследствие необходимости учета влияния квантования по времени [114]. Трудность в использовании данного метода вызывает и постоянное смещение начальных точек отсчета на нелинейных статических характеристиках входных и выходных преобразователей, вызванное изменяющимися внешними условиями [99].
Применению частотных методов исследования как непрерывных, так и дискретных САУ посвящен целый ряд работ, в том числе работы В. В. Солодовникова [133–135].
В работе [133] дается обзор развития частотных методов и обоснование метода ортогональных спектров, рассматриваемого как обобщение классического частотного метода на основе понятия интегральных преобразований и ортогональных функций, позволяющего получить удобные для программирования на ЭВМ алгоритмы расчета систем управления. В работе [134] предлагается метод ортогональных моментов, базирующийся на идеях совместного применения ортогонального разложения и классической проблемы моментов, отмечается связь метода с положениями частотного подхода к анализу и синтезу САУ, а также показано его применение к исследованию линейных САУ с распределенными параметрами и дискретных систем. На идеях ортогонального разложения основываются методы расчета и проектирования САУ [136–139]. В работах [138, 139] излагаются особенности спектрального подхода к решению задач обработки информации и исследования САУ, указываются направления его развития, получившие свое отражение в обобщенной теории ортогональных преобразований.
Как отмечается в монографии В. А. Бесекерского [99], аналитические методы исследования импульсных систем, предложенные в [140, 141] мало эффективны. Поэтому широкое распространение получили методы синтеза нелинейных импульсных САУ, основанные на рассмотрении линеаризованных систем с учетом влияния квантования по уровню в виде шумов квантования. Работы С. М. Федорова, Е. П. Попова, В. А. Бесекерского [142–152] и некоторые другие
18
посвящены синтезу импульсных систем управления с использованием логарифмических амплитудно-частотных характеристик (ЛАЧХ). Метод заключается в переходе от передаточных функций элементов системы, записанных в виде преобразования Лапласа, к z-преобразо- ванию, а от него с помощью билинейного преобразования – в область псевдочастот. При этом наилучшее приближение ЛАЧХ нескорректированной САУ к желаемой достигается путем подбора соответствующего корректирующего устройства.
Внастоящее время указанная процедура алгоритмизирована и синтез частотным методом ведется с использованием ЭВМ [150]. При этом процедура синтеза формулируется как задача аппроксимации желаемой частотной характеристики разомкнутой импульсной САУ
ввыбранных частотах по критерию минимума средних квадратов.
В[65] предлагается обобщающий закон время-импульсной модуляции, позволяющий проводить расчеты импульсных систем с позиций теории нелинейных САУ, а также разрабатывать методы и методики пригодные, как для всего класса время-импульсных систем, так и для отдельных подклассов (однополярные и двухполярные модуляторы). Предлагается осуществлять синтез нелинейных САУ с различными видами модуляции графо-аналитически с использованием специального графического материала и логарифмических частотных характеристик.
Методы исследования импульсных систем, основанные на частотном анализе, алгебре передаточных функций, преобразовании Лапласа и z преобразовании, играют значительную роль в теории автоматического управления вследствие их простоты и ясной связи с физической реализацией.
Однако несмотря на широкую популярность частотного метода, которая обусловлена его наглядностью и простотой, а также тем, что с помощью данного подхода можно решать задачи структурного синтеза систем, ему присущи достаточно серьезные недостатки. Прежде всего – это сложность, а иногда и невозможность практической реализации (особенно для импульсных систем), получаемых в результате решения задачи синтеза передаточных функций корректирующих устройств, что существенно снижает эффективность частотного метода. Кроме того, метод применим к нелинейным системам лишь в случае гармонической или обобщенной линеаризации характеристик нелинейных элементов, что, несомненно, сказывается на точности получаемых результатов.
19
Более гибким методом, предназначенным для постановки задачи синтеза многомерных САУ на ЭВМ, является использование уравнений состояний, позволяющих осуществить четкую формализацию вычислительных процедур [153, 154].
Применение метода пространства состояний было стимулировано появлением работ Л. С. Понтрягина [155, 156], метода динамического программирования Р. Беллмана [157–159] и общей теорией фильтрации и управления, разработанной Р. Е. Калманом [160].
Внастоящее время имеется значительное число работ, использующих метод пространства состояний для синтеза дискретных систем управления [161–171 и др.]. Матричное описание динамики систем управления приводит к тому, что САУ описываются дифференциальными или разностными уравнениями первого порядка, решение которых достаточно легко найти. Необходимо отметить, что разностные уравнения широко используются для описания динамики импульсных систем с различными видами модуляции сигнала.
Вмонографиях В. Стрейца [153], Б. С. Куо [166], Ю. Т. Ту [167] показано, что метод эффективен для синтеза многомерных систем, систем со сложными законами прерывания и с большим числом переменных. Данный подход дает возможность найти путь к систематическому и планомерному решению задачи, что связано со значительными трудностями при использовании классических методов. Описание в пространстве состояний позволяет унифицировать описание одномерных и многомерных систем с различными типами квантования, может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем, а также является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ.
Вопросам синтеза систем управления методом пространства состояний с использованием ЭВМ посвящен ряд работ [167, 170, 171]
идр., в которых достаточно подробно и обстоятельно рассматриваются достоинства и недостатки присущие данному подходу. Из последних следует отметить существенное увеличение объема вычислений при исследовании нелинейных дискретных САУ, что снижает эффективность метода. В монографии [167] говорится о значительных трудностях в использовании метода пространства состояний при наличии в дискретной САУ даже одного нелинейного звена и невозможности использования данного метода при нескольких нелинейностях.
20