GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

Производная i-го порядка от обобщенной функции (5.58) определяется выражением

где δ (i)(t–nT) – производная δ -функции Дирака порядка i. Подставим формулу (5.59) в выражение (5.57), в результате

С учетом (5.59), (3.52) – (3.54) выражение (5.60) принимает следующий вид:

При рассмотрении линейных несинхронных САУ (см. п. 5.2) коэффициент запаздывания λ , определяющий значение τ через длительность периода прерывания T, может быть целым числом, правильной и неправильной дробью. Причем последний случай является наиболее общим. Поэтому вычисление аналитического выражения, определяющего интеграл (5.61), рассмотрим для случая, когда λ является неправильной дробью.

181

Предположим, что выполняется следующее условие (h – 1) < λ < h, а значение λ = h – m, причем h – целое число, m – правильная дробь. Тогда соотношение (5.62), определяющее интеграл Bqτ± , будет

Если в формуле (5.62) ввести обозначение k = n ± h, то она принимает вид

Если в соотношении (5.63) положить m = 0, то получаем выражение, определяющее интеграл, когда коэффициент запаздывания является целым числом. При h = 1 соотношение (5.62) сводится к случаю, когда коэффициент запаздывания представляет собой правильную дробь. По аналогии с предыдущими соотношениями (5.37), (5.40), (5.45) для сигнала с запаздывающим аргументом

182

Далее, используя выкладки аналогичные вычислению интегралов Aqiτ± , Bqi, Bqi*, получены соотношения, определяющие интегралы Bqiτ± , для различных нелинейных характеристик при различных процессах на их входах.

Соотношения (5.65) используются для синтеза нелинейных непрерывных и импульсных САУ с запаздывающим аргументом методом ортогональных проекций. При этом наряду с аналитическими соотноше-

Таким образом, разработанный в данной главе метод синтеза параметров дискретных несинхронных систем автоматического управления может применяться к решению более простой задачи – синтеза параметров линейных и нелинейных непрерывных и импульсных САУ, содержащих звенья чистого запаздывания.

183

Глава 6

СИНТЕЗ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

С АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В данном разделе рассматриваются различные способы аппроксимации нелинейных характеристик устройств систем управления, и на основе общей схемы решения задачи синтеза нелинейных САУ разрабатываются методы синтеза непрерывных и амплитудно-импульсных систем, содержащих степенные нелинейные характеристики. Особое внимание уделяется специфике применения обобщенного метода Галеркина к решению задачи синтеза параметров регуляторов экстремальных САУ. Приводятся результаты решения задачи синтеза многорежимной системы экстремального регулирования торможением колес транспортного средства.

6.1. Методы аппроксимации нелинейных характеристик

Качество синтезируемой системы управления непосредственно связано с правильной идеализацией существующих в ней зависимостей, т. е. с построением адекватной математической модели. Как следует из науч- но-технической литературы, в решении данного вопроса невозможно указать какие-либо стандартные правила, следуя которым можно безошибочно идеализировать систему управления. Можно лишь отметить, что при построении математической модели должны сохраняться все характерные черты и свойства изучаемой САУ, и в то же время определенная идеализация состоит в том, чтобы по возможности абстрагироваться от всех несущественных, нехарактерных для исследуемой системы явлений, т. е. уравнения динамики всякой реальной системы всегда записываются с какой-то степенью идеализации, причем пренебрегают второстепенными факторами, мало влияющими на решение данной конкретной задачи. Поэтому при построении математических моделей сис-

184

Как видно из рис. 6.2, форма приведенной характеристики µ(S) аналогична рассмотренной выше зависимости момента на валу M асинхронного двигателя от угловой скорости ω (рис. 6.1). Следовательно, в основу аппроксимации характеристики µ = µ(S) могут быть положены те же принципы, что и для аппроксимации характеристики M(ω ).

При малых изменениях величины относительного проскальзывания колеса (в интервале от 0 до точки экстремума характеристики) справедливо соотношение аналогичное формуле (6.1)

скорость свободно катящегося колеса в начале процесса торможения; ω ст – скорость продольных колебаний оси колеса, определяемая уравнением вида

ωст = lст + rк dϕ ст ,

rк dt

где lст – длина стойки; rст – радиус колеса; ϕ ст – угол колебаний стойки. Зависимость, построенная в соответствии с формулой (6.4), показана на рис. 6.2 (кривая 2).

186

187

–пригодность во всей исследуемой области изменения переменных;

–интегрируемость, точная или приближенная, либо возможность простого исследования уравнения движения системы;

–относительно простой пригодный для исследования вид решения.

188

Нелинейные явления сами по себе в достаточной степени сложны и усложнение аппроксимирующих выражений может создать значительные затруднения при исследовании. Известны ряд классов аппроксимации нелинейных характеристик, классификация которых проведена в [218] по типу аналитических выражений, положенных в основу аппроксимации.

Рациональная функция

Примером такой аппроксимации служит математическое выражение следующего вида:

Аналитическое выражение характеристики скольжения S от момента асинхронного двигателя µд, выраженного в относительных единицах, является частным случаем данного вида аппроксимации

где S – скольжение; µд – момент в относительных единицах.

Алгебраическая (степенная) функция

Примером может служить аппроксимация

F (x) = kx2 , –∞ < x < +∞ .

либо

F (x) = kx3, –∞ < x < +∞ ,

189

которые обобщаются соотношением

F (x) = kxn , –∞ < x < +∞ ,

где n = 2, 3, 4, ..., – любое целое положительное число.

К алгебраической аппроксимации, безусловно, относятся математические выражения для параболической характеристики общего вида

F (x) = k (x − a )2 − c , –∞ < x < +∞ ,

где k, a, c – любые как положительные, так и отрицательные числа.

С помощью данного соотношения могут описываться системы с экстремальными характеристиками (параболического вида) объекта управления при любом ее расположении на

Аналитическая аппроксимация

В некоторых случаях целесообразно представление характеристики нелинейного звена в виде конечной комбинации аналитических функций [218]

190