GOS for Iphone / mobile / ТАУ / Книги / ТАУ учебник

В соответствии с общей схемой решения задачи синтеза систем управления, рассмотренной во втором разделе, исходя из уравнения (4.2) получаем целевую функцию

а интегралы Aqi, Cqi были определены ранее.

Таким образом, для решения задачи параметрического синтеза САУ с ШИМ необходимо определить интегралы вида (4.4), (4.5) и далее минимизировать функционал J в соответствии с общей схемой решения поставленной задачи.

Прежде чем рассматривать вычисление интегралов (4.4), (4.5) необходимо отметить следующее. Интегралы Aqi, Cqi вычислялись при определенном (заданном) виде программного движения и внешнего входного воздействия, поскольку вид аналитических рекуррентных соотношений непосредственно связан с видом желаемого процесса и входного воздействия. В случае САУ с ШИМ модулятор преобразует входной сигнал любого вида в последовательность прямоугольных импульсов одинаковой амплитуды, следовательно, вид аналитических выражений, определяющих Aqi*, Cqi*, будет одинаковым. Поэтому рассмотрим лишь вычисление интеграла Aqi*.

122

При i = 0 получаем

Далее, применяя к полученному соотношению (4.6), формулу (3.58), определяющую сумму членов геометрической прогрессии, получим

Применяя аналогичные выкладки, определим интеграл Aqi* при i = 1

Преобразуя соотношение (4.8), аналогично вычисленному ранее (4.6), и используя фильтрующее свойство δ -функции

∞

∫ f (t )δ(k ) (t − τ)dt = (−1)k f (k ) (τ),

0

получаем следующее:

123

В случае i = n* получаем

Таким образом, обобщая полученные результаты, получаем следую-

здесь A – амплитуда импульса на выходе модулятора; sign (xn0) – знак сигнала на входе модулятора в n моменты квантования.

Очевидно, что полученное соотношение справедливо при любом виде сигнала на входе широтно-импульсного модулятора, в том числе и при типовых внешних воздействиях. Однако если в качестве такого воздей-

124

ствия будет использоваться скачкообразное или линейно нарастающее, т. е. функции постоянные по своему знаку, то формулы (4.12), (4.13) могут быть упрощены

Применение соотношений (4.12), (4.14) связано с необходимостью определения знаков амплитуд сигнала на входе модулятора и значений коэффициента kn, определяющего ширину импульса в моменты квантования.

Задача определения sign(xn0) может быть решена довольно просто. Поскольку известно желаемое программное движение x0(t), время переходного процесса Tп.п и период квантования, то для моментов времени, соответствующих n-ым периодам квантования в интервале от 0 до Tп.п определяются значения процесса. По найденным числовым значениям процесса x0(t) формируется массив sign(xn0) в моменты коммутации входного сигнала.

Ширина импульса на выходе широтно-импульсного модулятора определяется значением kn, которое нелинейно зависит от соотношения величин входного x0(t) и опорного y(t)=sign (xn0) t сигналов (рис. 4.1). В качестве опорного необходимо использовать тот сигнал, который применяется в реальном ШИМ проектируемой системы управления. Как правило, в схемах широтно-импульсных модуляторов опорным является сигнал пилообразной формы с периодом T. Исходя из этого, процедура определения массива значений kn может быть следующей: в начале задается приращение ∆ t координаты t и определяется значение разности процессов x0(t) и y(t): ε = x0 (t)− y (t), когда указанная разность не будет превышать заданное значение ε 0, соответствующее значение tj,

125

Начало

Ввод исходных данных

ление опорного сигнала, и вычисления повторяются до тех пор, пока текущее значение координаты t не превысит заданную длительность

126

переходного процесса. Таким образом, формируется массив значений

kn на интервале от 0 до Tп.п.

Блок-схема алгоритма программы, реализующей данную процедуру, представлена на рис. 4.2.

4.2. САУ с частотно-импульсной модуляцией

Область применения систем автоматического управления с частотноимпульсными модуляторами (ЧИМ) весьма широка. Модуляторы данного вида используются как в системах регулирования инерционных технологических процессов, так и в системах ориентации и стабилизации летательных аппаратов [9]. Системы управления данного класса являются непериодическими и существенно нелинейными в силу принципа частотного управления, и во многих режимах работы не допускают линеаризации даже при малых глубинах модуляции. Отмеченные особенности САУ с ЧИМ затрудняют решение задачи синтеза параметров операторов управления традиционными методами. Поэтому подробно рассмотрим применение обобщенного метода Галеркина к системам данного класса, общая схема которого для решения задачи синтеза импульсных САУ с различными видами модуляции сигнала была показана во втором разделе.

Задача синтеза решается в традиционной для обобщенного метода Галеркина постановке: известна структура САУ с ЧИМ, формирующим сигналы, частота следования которых зависит от сигнала на входе модулятора, и параметры объекта управления. Требуется определить параметры регулятора, структура которого задана в общем виде, исходя из условия приближенного обеспечения в синтезируемой системе заданных показателей качества ее работы в переходном режиме, абсолютной устойчивости и грубости САУ по варьируемым параметрам.

Уравнение движения САУ n-го порядка с ЧИМ, структурная схема которой показана на рис. 4.3, а и б имеет вид (4.2).

Следовательно, в соответствии с общей схемой решения задачи синтеза САУ с различными видами модуляции сигнала, получаем целевую функцию

minck J → 0,

127

здесь x0*(t) и f*(t) – процессы на выходе частотно-импульсного модулятора, определяемые в соответствии с (2.10)

128

где A = const – амплитуда импульса, длительностью τ = const на выходе модулятора; Tn – период следования импульсов, величина которого зависит от сигнала на входе модулятора; sign(x0(Tn)), sign(f(Tn)) – знаки желаемого программного движения x0(t) и внешнего воздействия f(t) на входе модулятора в момент формирования n-го импульса (длительностью Tn) соответственно.

Интегралы Aqi, Cqi уравнения (4.16) были определены ранее, поэтому для решения поставленной задачи требуется лишь определить интегралы вида (4.17), (4.18). При этом следует отметить, что, как и в случае систем управления с ШИМ (см. формулы (4.3)–(4.5)), вид данных интегралов не зависит от вида сигнала на входе частотноимпульсного модулятора, поскольку последний преобразует сигнал любой формы в последовательность прямоугольных импульсов равной амплитуды. Поэтому рассмотрим только лишь вычисление соотношения вида (4.17).

С учетом соотношения (4.19) интеграл (4.17) принимает вид

Рассуждая аналогично вычислению соответствующего интеграла для САУ с ШИМ, получаем следующее

129

Для вычисления соотношения (4.23), а, следовательно, и интеграла вида (4.22), необходимо рассмотреть вопрос определения периода следования импульсов Tn на выходе модулятора, как функции входного сигнала ЧИМ. Решение данного вопроса непосредственно связано с конкретными схемными реализациями ЧИМ.

4.3. Частотно-импульсные модуляторы 1-го рода

При импульсной модуляции 1-го рода, как показано в [9], значения модулируемого параметра определяются мгновенными значениями модулирующей функции в моменты срабатывания импульсного элемента, причем между обеими величинами существует функциональная зависимость вида an = f (xn ), где an = a(tn ) – модулируемый параметр; xn = x(tn ) – модулирующая функция; tn (n = 0, 1, 2,...) – моменты срабатывания импульсного элемента.

Рассмотрим функциональные и принципиальные электрические схемы некоторых двухполярных частотно-импульсных модуляторов [9].

Двухполярный ЧИМ 1-го рода на базе аналоговых микросхем

Функциональная схема рассматриваемого модулятора и диаграммы сигналов, поясняющих работу ЧИМ, показаны на рис. 4.4, где приняты следующие обозначения: 1 – блок вычисления абсолютной величины входного сигнала; 2 – запоминающее устройство, реализованное в виде интегратора с коэффициентом интегрирования K1; 3 – времязадающий блок, в состав которого входят интегратор с коэффициентом интегрирования K2 и релейный элемент с зоной нечувствительности ∆ 1; 4 – блок выдержки времени, в состав которого входят интегратор с коэффициентом интегрирования K3 и релейный элемент с зоной нечувствительности ∆ 2; 5 – блок формирования импульсов, реализованный на релейном элементе с зоной нечувствительности ∆ .

Модулятор работает следующим образом. В исходном состоянии сигналы на выходе всех трех интеграторов равны нулю. После подачи на вход модулятора воздействия x(t), величина которого превышает значение зоны нечувствительности ∆ релейного элемента, замыкается ключ SA5 и интеграторы (блоки 2 и 4) начинают интегрировать до тех пор, пока сигнал y3(t) не достигнет значения ∆ 2, которое определяется следующим образом:

∆ 2= E0K3τ.

130