|
|
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|
||
|
− x + µ |
|
|
+ |
|
|
|
= 1, |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
A ω |
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
где A2 |
– новые условия движения вала 1 из точки 3*. Значение A2 опре- |
||||||||||||
делим из уравнения точки 3* |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
− x0 + 2µ |
= 1 A = x − 2µ . |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение фазовой траектории на участке 3*-5* |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
y |
|
2 |
|
||
|
|
|
− x + µ |
|
+ |
|
|
|
=1 . |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
µ |
|
|
|
ω( x0 − |
|
|
|
|||
|
|
xо − 2 |
|
|
|
2µ ) |
|
||||||
Этот |
участок эллипса |
заканчивается в |
точке 5* с координатами |
||||||||||
x = x0 −3µ , y =0 . При дальнейшем движении точка фазовой траектории попа-
дает в зону нечувствительности (точка 7*), где сила упругости пружины не может преодолеть силу трения.
Фазовая траектория движения оси 2 отличается от фазовой траектории движения оси 1 тем, что в точках максимума (при движении оси 1 в обратном направлении ) ось 2 стоит на месте и ждёт пока пружина не закрутится с достаточной силой и преодолеет силу трения в подшипнике 4. Эти остановки оси 2 на фазовой траектории показаны отрезками 1-2, 3-4, 5-6. Окончательная остановка оси 2 произойдёт раньше (точка 7), чем остановка оси 1 (точка 7*).
2.2.5 Предельные циклы фазовой траектории
Понятие предельного цикла рассмотрим на основе понятия устойчивого движения системы по второму (прямому) методу Ляпунова. Этот метод основан на простой идее, известной из механики: в положении равновесия система имеет минимум потенциальной энергии. Абсолютный минимум энергии считается равным нулю. Тогда, если движение системы стремится к нулю – она устойчивая. Если движение системы происходит с увеличением потенциальной энергии
– она неустойчивая.
Рассмотрим различные варианты движения систем на фазовой плоскости (рисунок 2.16). Равновесие системы соответствует началу координат (точка 0). Область допусти-
0мого отклонения системы от абсолютного минимума (точка 0) обозначим ε. Заданную область отклонения параметров системы обозначим δ . Условие устойчивости по Ляпуно-
Рисунок 2.16 – Траектория движения устойчивой и неустойчивой системы
ву следующее. Система считается устойчивой, если при отклонении параметров системы в пределах достаточно малой области δ траектория движения системы достигает гра-
32
ницу области допустимого отклонения системы от абсолютного минимума (областьε) иостаётсявпределахэтойобласти(кривая1, рисунок2.16). Система считается неустойчивой, если при отклонении параметров системы в пределах области δ траектория движения системы не
достигает области ε (кривая 2).
Таким образом, устойчивость системы по Ляпунову рассматривается при достаточно малых начальных отклонениях параметров системы, то есть устойчивость “в малом”. Поведение неустойчивой системы “в малом” характеризуется расходящимся процессом. Но амплитуда расходящихся колебаний из-за нелинейности характеристики может увеличиваться до определённого предела и затем оставаться постоянной [11,12].
На рисунке 2.17 а показана фазовая характеристика системы, которая при отклонении “в малом” ( ∆х1 ) имеет вид
неустойчивого фокуса.
Спираль этой фазовой характеристики
Рисунок 2.17 – Предельные циклы фазовых траекторий
расходится, асимптотически приближаясь к некоторому изолированному замкнутому контуру, имеющему конечные размеры.
Изолированная фазовая траектория в виде замкнутого контура называется предельным циклом.
Если система попала на устойчивый предельный цикл, то она обладает устойчи-
выми автоколебаниями. Амплитуда автоколебаний определяется по оси абсцисс ( x0 ), скорость изменения колебаний
определяется по оси ординат ( у0 ). Пусть
параметры системы имеют отклонения ∆x2. Фазовая характеристика имеет вид устойчивого фокуса и траектория движения системы стремится к устойчивому предельному циклу. В данном случае система устойчива “в большом” при отклонении ∆x2, но она неустойчива “в малом” при отклонении ∆x1, т.к. эта фазовая траектория системы удаляется от абсолютного минимума (точка 0).
33
Если фазовая траектория при любых отклонениях параметра системы ∆x1 и ∆x2 имеет вид сходящегося фокуса (рисунок 2.17 б), то такая система считается устойчивой и “в малом”, и “в большом”. Она устойчива “в общем”. Предельный цикл (если он существует) неустойчивый. Если параметры системы имеют отклонение в пределах малой величины ∆x1 (рисунок 2.17 в) и фазовая характеристика имеет вид устойчивого фокуса, то установившееся значение системы стремится в область допустимого отклонения или даже в точку 0. Система устойчива “в малом” . Но если при отклонении параметров на величину больше предельного цикла, например, ∆x2, то фазовая характеристика имеет вид неустойчивого фокуса и система с течением времени увеличивает амплитуду своих колебаний, система становится неустойчива “в большом”. Таким образом одна и та же система в зависимости от отклонения параметров ∆x может быть устойчива “в малом” (при ∆x1 ) и неустойчива “в большом” (при ∆x2). Предельный цикл (если он существует) является неустойчивым.
Если фазовая траектория системы при малых отклонениях параметра ( ∆х1 ) и при больших отклонениях параметра ( ∆x2 ) имеют вид расходящегося
фокуса (рисунок 2.17 г), то такая система неустойчива и “в малом”, и “в большом”. Предельный цикл (если он существует) является неустойчивым.
Примечание – Анализ амплитудных колебаний нелинейного звена проводится по первой (основной) гармонике. Как правило, в нелинейном звене возникают гармоники и более высокого порядка. Определение параметров этих гармоник математически сложная задача и обычно не рассматривается.
Вопросы для самоконтроля к подразделу 2.2.5
1Критерий устойчивости по второму (прямому) методу Ляпунова.
2Что значит устойчивость “в малом”?
3Что значит устойчивость “в большом”?
4Что значит устойчивость “в общем”?
5Что называется предельным циклом?
6Что значит устойчивый предельный цикл? Какая при этом будет устойчивость “в малом” и устойчивость “в большом”?
7Что значит неустойчивый предельный цикл? Будет ли при этом устойчивость “в большом”?
8Может ли быть устойчивость “в общем” при неустойчивом предельном цикле?
9Может ли система иметь несколько предельных циклов как устойчивых,
так и неустойчивых?
10 Если система устойчива “в общем”, то может ли она иметь устойчивый предельный цикл?
34