При гармонической линеаризации нелинейная характеристика элемента заменялась линейной, при которой в этой линейной зависимости постоянная составляющая и первая гармоника совпадала с постоянной составляющей и первой гармоникой данной нелинейной характеристики. Это осуществлялось с помощью разложения нелинейной характеристики в ряд Фурье и учитывалось только два первых члена ряда. Остальные гармоники, которые возникали на выходе данного нелинейного элемента не учитываются. Соответственно, не учитывались остальные члены ряда Фурье. Таким образом коэффициент гармонической линеаризации q1(A) и q2(A) зависит от амплитуды входного сигнала и от вида нелинейной характеристики.

При статистической линеаризации нелинейная характеристика элемента тоже заменяется на линейную, но по другим показателям. При этом среднее значение (или математическое ожидание) и дисперсия в полученной линейной характеристике совпадает со средним значением и дисперсией данной нелинейной характеристики. Таким образом, учитывается только два первых вероятностных момента случайного процесса (среднее значение и дисперсия), а остальные параметры случайного процесса не учитываются. Таким образом, коэффициенты статистической линеаризации K0 (mx, σx ), и K1 (mx, σx) зависят от закона распределения случайного процесса и от вида нелинейной характеристики.

6.6 Определение коэффициентов статистической линеаризации

Существуют два способа определения коэффициентов статистической линеаризации:

- первый способ – по равенству математического ожидания и дисперсии на выходе действительной нелинейной характеристики элемента mдей , Dдей(y) и линеаризованной , то есть теоретически рассчитанной характеристикой

- второй способ – по минимуму среднеквадратической ошибки при замене действительной нелинейной характеристики линеаризованной характеристикой

ε 2 = М{[σ ( t ) −σ~ ( t )]2 }→ min

дей y

Оба способа позволяют произвести приближенную статистическую линеаризацию, то есть без учета моментов распределения случайной величины третьего и более высокого порядка.

Математическое ожидание случайного стационарного процесса на выходе нелинейного элемента определённое этими двумя способами практически совпадет. Пусть нам известна характеристика нелинейного элемента F(x) и плотность распределения случайного процесса. Тогда математическое ожидание на выходе нелинейного элемента

158

∞

my = ∫F( x ) ω1( x ) dx,

−∞

Коэффициент статистической линеаризации по математическому ожиданию K0 (mx, σx ) можно определить, если известно математическое ожидание случайного стационарного процесса на входе mx.

∞

K0 ( mx ,σx ) = my = −∫∞F( x ) ω1( x ) dx mx mx

Значение этого коэффициента K0 (mx, σx) для трех видов нелинейной характеристики при нормальном законе распределения показаны на графиках рисунков 6.9, 6.10, 6.11. Для удобства пользования этим графиками зависимости my = φ(mx) даны в относительных значениях.

где а – зона нечувствительности реле Для нелинейного элемента с зоной насыщения

где а – линейная часть характеристики

В графиках на рисунках 6.10 и 6.11 значение my K0 / b дополнительно зависит от σx, которое тоже берется в относительных значениях σ1 = σx /α

Коэффициента статистической линеаризации по дисперсии выходного сигнала K1 (mx, σx) можно определить разными способами и получаем различные значения K1 (mx, σx).

По первому способу для определения К1(1)(mx, σx) в качестве критерия эк-

вивалентности принимается, что среднее значение дисперсий действительного процесса [Dq(y)] и теоретически определенного [Dm (y)] должны быть равны

M [Dq ( y )]= M [Dò ( y )],

где M – знак усреднения

Дисперсия стационарного выходного сигнала определяется

159

∞

Dт( y ) =σ y2 = ∫[y( t ) − my ]2ω1 (y) dy

−∞

При заданной нелинейности элемента F(x) и заданной плотности распределения случайного процесса ω1(x) дисперсия стационарного выходного сигнала

∞

Dт( y ) = ∫F 2 ( x )ω1 (x) dx − mx2

−∞

Тогда по заданному значению СКО входного случайного процесса σx и СКО выходного процесса σy определяем K1(1)(mx ,σx )

Значения этого коэффициента K1(1)(mx ,σx )для трех видов нелинейной ха-

рактеристики при нормальном законе распределения показаны на графиках рисунков 6.9, 6.10, 6.11. Они показаны в таких же относительных единицах , как для коэффициентов K0 (mx , σx).

По второму способу для определения K1(2 ) в качестве критерия экви-

валентности принимается минимум квадрата разницы между действительным и теоретически определенном значением дисперсии выходного сигнала.

M [Dq ( y ) − Dm ( y )]2→ min

Этот минимум определяется с помощью нахождения производных по К0 и К1(2) и в результате получаем

∞

∫F( x )( x −mx )ω1( x )dt

K ( 2 )( mx ,σx ) = −∞

1 σx2

Полученное значение K1( 2) по второму способу обычно меньше K1(1) по первому способу. В дальнейшем при расчете будем использовать K1(1)

Пример 6.2 – Определить коэффициенты статистической линеаризации по математическому ожиданию и по дисперсии выходного сигнала для идеального реле zâûõ (x) =b siqn x при нормальной плотности распределения входного

сигнала, то есть

160

РЕШЕНИЕ

1 Определяем математическое ожидание выходной величины для идеального реле

3 Коэффициент передачи по дисперсии выходного сигнала K1( 1 ) (mx ,σx ) (по первому способу вычисления)

где b - выходная величина идеального реле;

∞

∫ω1dx =1 - при нормальной плотности распределения;

−∞

my - получено в пункте 1 этого примера.

5 Коэффициент передачи дисперсии выходного сигнала (по второму способу вычисления)

161

Для различных видов нелинейных характеристик имеются графики для определения коэффициентов K0 , K1(1), K1(2). Графики статистической линеаризации для K0 , K1(1) идеального реле показаны на рисунке 6.9; для реле с зоной нечувствительности на рисунке 6.10; для усилителя с насыщением на рисунке

6.11.

В

x

- B

Рисунок 6.9 – Графики для определения коэффициентов статистической линеаризации идеального реле

Рисунок 6.10 – Графики для определения коэффициентов статистической линеаризации реле с зоной нечувствительности

y

-a

B

-B

a

Рисунок 6.11 – Графики для определения коэффициентов статистической линеаризации нелинейных элементов

162

6.7Анализ нелинейных разомкнутых систем методом статистической линеаризации

Задача анализа нелинейных разомкнутых систем заключается в определении статистических характеристик выходного сигнала по известным статистическим характеристикам входного случайного сигнала.

Пусть на вход разомкнутой системы с нелинейным элементом F(x) и линейной частью с передаточной функцией W(p) действует стационарный случайный процесс x (t) с нормальным законом распределения (рисунок 6.12 а).

x(t) = mx + xo(t),

где mx - математическое ожидание входного сигнала;

В результате математическое ожидание случайного процесса выходного сигнала mz

mz = K0 ( mx ,σx ) b W( 0 )

Составляющая случайного процесса выходного сигнала zo( t ) = K1( mx ,σx ) b W( p ),

где K0 ( mx ,σx )- статистический коэффициент для данного нелинейного

звена по математическому ожиданию, который зависит от mx и σx входного сигнала;

K1(mx ,σx ) - статистический коэффициент по случайной оставляющей, b - коэффициент усиления нелинейного элемента звена;

W(0) = W(p) p=0 - коэффициент передачи линейной части системы.

Если центрированная составляющая случайного процесса на входе системы задана спектральной плотностью Sx(ω), то спектральная плотность выходного

163

сигнала Sz(ω) определяется

Sz (ω ) = W( jω ) 2 K1( mx ,σx ) b 2 Sx (ω )

Дисперсию выходного сигнала можно определить с помощью стандартного интеграла, учитывая, что с помощью коэффициента гармонической нелинейная зависимость стала линеаризованной.

Пример 6.3 – Определить mz и σz на выходе разомкнутой нелинейной системе (рисунок 6.12). На вход системы поступает стационарный случайной

процесс, спектральная плотность которого S x (ω ) = Dx a /( à2 +ω2 ). Математи-

ческоеожидание случайного процесса mx. Нелинейный элемент в виде усилительного звена с зоной насыщения (рисунок 6.11) Линейная часть системы в виде апериодического звена

РЕШЕНИЕ

1 Определение my проводим с помощью графика зависимости K0 ( mx ,σ x )

Тогда согласно графику (рисунок 6.11) K0 ( mx ,σ x ) = 0,75 2 Коэффициент усиления линейной части системы

3 Математическое ожидание на выходе системы с учетом коэффициента усиления передаточной функции

mz = K0 ( mx,σx ) b W( 0 ) =0,75 4 0,5 =1,5

4 Определение K1 (mx, σx) проведем с помощью графика (рисунок 6.11)

при mx / α = 1,5 и σ1 = 1, тогда K1( 1 ) =0,45

5 Дисперсия выходного сигнала определим с помощью стандартного интеграла J2. Учитывая, что с помощью коэффициента статической линеаризации

164