ных процесса друг с другом никак не связаны (статистически независимы), то

Rxy (τ) = 0

6.3 Спектральная плотность случайного процесса

Понятие о спектральной плотности связано с разложением стационарного случайного процесса на гармонические составляющие, подобные обычному разложению в ряд Фурье. Это позволяет при расчете автоматических систем, использовать частотные методы анализа.

Спектральная плотность Sx(ω) случайного процесса x(t) характеризует спектральный (частотный) состав случайной величины и представляет собой частотную функцию для средних значений квадратов амплитуд гармоник, на которые может быть разложен случайный процесс.

Для стационарного случайного процесса спектральная плотность Sx(ω) может быть получена как изображение Фурье корреляционной функции Rx (τ)

∞

Sx (ω ) = ∫Rx (τ )å− jωτ dτ

−∞

С помощью обратного преобразования Фурье можно определить корреляционную функцию через спектральную плотность

На рисунке 6.3 показаны графики корреляционной функции Rx(τ) (смотри рисунок 6.2) и соответствующие им графики спектральной плотности S(ω). Это соотношение аналогично соотношению между переходной и частотной характеристикой системы: чем продолжительнее переходный процесс, тем уже его частотная характеристика. При рассмотрении случайных процессов: чем шире график корреляционной функции (кривые 3, 4) , тем уже график спектральной плотности и наоборот.

Рисунок 6. 3 – Корреляционные функции и соответствующие спектральные плотности центрированных стационарных процессов

В предельном случае, когда случайная величина x(t) является постоянной величиной и корреляционная функция тоже постоянная и равна Dx = a2

150

(прямая 1), то спектральная плотность существует только при нулевой частоте и равна

Sx (ω ) = 2πa2δ(ω )

В другом предельном случае, когда случайная величина x(t) является абсолютно случайным процессом (белый шум), то корреляционная функция существует только при τ = 0 (прямая 2). Спектральная плотность такого случайного процесса равномерно распределена по всем частотам и равна

Sx (ω ) = C 2

Для непериодического случайного процесса (кривые 3, 4) корреляционная функция аппроксимируется R(τ) = Dx å−α τ , тогда спектральная плотность определяется

Sx (ω ) = 2Dxα

α2 +ω2

Если случайная величина x(t) имеет периодическую составляющую при ω = ω0, то спектральная плотность при частотах ω = + ω0 и ω = - ω0 будет иметь соответствующие пики (кривая 5). Корреляционная функция такого слу-

Одним из основных параметров работы системы при случайных воздействиях является среднеквадратичное отклонение, которое характеризует отклонение случайной величины от его среднего значения. Если известна спектральная плотность сигнала S(ω), то при τ = 0 можно определить дисперсию

Тогда среднеквадратичное отклонение (СКО)

σx = D x = Rx ( 0 )

По полученным основным характеристикам случайного процесса исследование автоматической системы на статистическую точность работы проводят

вследующей последовательности:

-по заданному случайному процессу определяют его корреляционную

функцию Rx(τ);

-по корреляционной функции Rx(τ) определяют спектральную плотность сигнала на входе системы Sx(ω) ;

-по известной частотной передаточной функции системы W(jω) определяют спектральную плотность на выходе системы Sy(ω);

-по полученной спектральной плотности на выходе системы Sy(ω) определяют корреляционную функцию выходного сигнала Ry(τ);

151

- по корреляционной функции выходного сигнала Ry(τ) определяют дисперсию Dy = Ry(0) и среднеквадратичное отклонение регулируемой величины.

6.4Анализ точности работы линейной системы при случайном воздействии

Если входное воздействие, приложенное к линейной системе, является случайным стационарным процессом x(t), то выходная величина y(t) то же будет случайным стационарным процессом. При этом предполагается, что рассматриваемая система устойчива. Ясно, что в этих условиях судить о точности работы системы нужно не по мгновенным значениям выходной величины, а по некоторым средним значениям, которые вычисляются по спектральной плотности выходного сигнала Sy(ω) .

Пусть спектральная плотность входного сигнала Sx(ω), тогда спектральная плотность выходного сигнала Sy(ω) определяется (без вывода) [5, 9, 10]

S y (ω) = W ( jω) 2 Sx (ω)

Спектральная плотность выходного сигнала автоматической системы равна спектральной плотности входного сигнала умноженного на квадрат модуля частотной характеристики исследуемой системы.

Закон распределения случайной величины при прохождении ее через автоматическую систему в общем случае может меняться. Но если на входе линейной системы закон распределения нормальный, то и на выходе системы можно принять нормальное распределение.

Пусть математическое ожидание mx стационарного процесса x(t), на

входе линейной системы не равно нулю, тогда на основании принципа суперпозиции для линейных систем этот случайный процесс на входе системы можно представить

x1( t ) = mx + xoc ( t ),

где xo(t) - центрированный случайный процесс на входе системы.

В этом случае математическое ожидание на выходе системы my определяется, если mx умножить на частотную передаточную функцию при ω =0

my =W( 0 ) mx

Когда на систему одновременно действует случайный сигнал управления xa(t) и случайный сигнал возмущения xn(t), то спектральная плотность ошибки регулирования Soш (ω) определяется

Sîø (ω ) = Wa ( jω ) 2 Sa (ω ) + Wn ( jω ) 2 Sn (ω ),

где Sa (ω) - спектральная плотность сигнала управления; Sn (ω) - спектральная плотность сигнала возмущения;

Wa(jω) - передаточная функция по ошибке регулирования; Wn(jω) - передаточная функция по возмущению.

152

Дисперсия ошибки регулирования Dy и общее среднеквадратичное ее значение σу определяется по формулам

Dy =1 / 2π ∞∫[Wa ( jω ) 2 Sa (ω ) + Wn ( jω ) 2 Sn (ω )]dω ,

При подаче на вход системы случайных сигналов управления и возмущения общая среднеквадратичная ошибка определяется по теореме Пифагора по СКО управления и СКО возмущения

Отметим преимущества и недостатки оценки точности работы системы по среднеквадратичной ошибке регулирования (СКО). С помощью СКО можно оценить вероятность появления ошибки сверху. Так оценивает усредненное, статистическое значение ошибки, а не величина мгновенного значения ошибки. Поэтому для систем, где недопустимы большие ошибки (хотя и кратковременные) применяется другой метод расчета. Кроме этого, полученное СКО справедливо для больших промежутков времени (при T → ∞), а ошибки, связанные с кратковременным переходным процессом, практически не учитываются.

Если спектральные плотности и частотные передаточные функции заданы в виде дробно-рациональных функций от ω, то можно сразу определить дисперсию выходного сигнала Dy, образно говоря, минуя определения Sy(ω) выходного сигнала и Ry(τ) выходного сигнала. Значение дисперсии выходного сигнала определяется по табличному интегралу Jn в зависимости от порядка характеристического уравнения системы. Для этого подинтегральное выражение приводится к табличному виду

где G(ω ) = b0ω2n−2 + b1ω2n−4 + ... + bn−1 ; H( jω ) = a0 ( jω )n + a1( jω )n−1 + ... + an.

Покажем формулы вычисления табличного интеграла по коэффициентам передаточной функции

Для более высокой степени характеристического уравнения вычисления этих табличных интегралов становится громоздким. Поэтому используются другие методы статистического анализа.

Параметры системы, выбранные по критерию минимизации СКО необходимо оценить по возможности их технической реализации и, кроме этого, оценить изменившиеся динамические характеристики системы.

153

Пример 6.1 –По критерию минимизации СКО Определить оптимальное значение коэффициента усиления Ky для заданной линейной следящей системы (рисунок 6.4). На вход системы поступает случайный сигнал, управляющая

спектральная плотность которого Sα = (2Dγ α ). Одновременно на вход посту-

α2 +ω2

пают случайные помехи в виде белого шума со спектральной плотностью Sn(ω) =С 2

n(t)

4 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J2

154

6 Дисперсия ошибки регулирования от случайных помех в виде белого шума

7 Полученное подинтегральное выражение соответствует табличному интегралу J1

10 Для определения оптимального значения Ky, при котором суммарная ошибка минимальная, построим графики Dош , Dпом, Dобщ в зависимости от Ky (рисунок 6.5).

155

В этой линейной системе, используя принцип суперпозиции, можно отдельно и независимо друг от друга определить математическое ожидание вы-

ходного сигнала my ( t )и дисперсию случайной выходной величины yo( t ) (ри-

157