m = |
t p |
= |
0,49 |
=0,95 |
≈1 |
, |
|
T |
0,51 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
02 |
|
|
|
|
|
ОТВЕТ: - время регулирования
-перерегулирования
-число колебаний
-период колебаний
-частота колебаний
где T |
= |
|
2π |
= |
2 3,14 |
= 0,51 |
|
ωcp |
12,25 |
||||||
02 |
|
|
|
||||
tp = 0,49c; Acp = 14,2; m = 1;
T02 = 0,5c;
ωcp = 12,25 c-1.
Обратите внимание! При разных значениях коэффициента усиления получили разные значения амплитуд автоколебательного режима. Но значения
частоты автоколебаний одинаковое (ω =10 c−1 ). При однозначной характери-
стики нелинейного звена частота колебаний в установившемся режиме не зависит изменении от амплитуды.
5.3 Коррекция нелинейных систем
5.3.1 Способы коррекции
Наличие нелинейностей может существенно ухудшить качество регулирования. Поэтому при проектировании таких систем возникает задача уменьшить влияние нелинейности на динамику регулирования за счёт введения корректирующих устройств [3, 5, 12].
Коррекция нелинейных систем служит для формирования заданных динамических качеств системы управления.
Задачи, решаемые при коррекции:
-компенсация влияния нелинейной статической характеристики в виде люфта, зазора, зоны нечувствительности, зона насыщения и т.д.
-вибрационная линеаризация существенно нелинейной зависимости;
-уменьшение амплитуды автоколебаний или полное их устранение;
-уменьшение инерционности системы с помощью псевдолинейного корректирующего звена;
-изменение режима работы в зависимости от изменения состояния системы.
Методы коррекции нелинейных систем:
-изменение структуры и параметров линейной части системы;
-применение компенсирующих форсирующих устройств;
-введение дополнительных обратных связей;
-обеспечение заданного закона управления с помощью логических корректирующих устройств;
135
Коррекция нелинейных систем может быть осуществлена с помощью линейных или нелинейных корректирующих устройств. Отличие нелинейных корректирующих устройств в выполнении конкретных задач по улучшению ка-
чества регулирования, которые решаются проще и надежнее.
Но, чем шире диапазон внешних воздействий тем труднее выбрать нелинейное корректирующее устройство. Может получиться, что нелинейная коррекция, выбранная для определенного режима работы может оказаться далеко не эффективной при других неучтенных условиях работы системы. В этом случае линейное корректирующее устройство, которое имеет широкий диапазон воздействия, обеспечивает более надежную коррекцию системы. Все это усугубляется еще и тем, что нет общей методики выбора нелинейных корректирующих устройств. Приходиться прибегать к методу проб и ошибок, используя различные рекомендации и индивидуальные приемы расчета.
5.3.2 Компенсация влияния нелинейности в виде зоны нечувствительности
Естественная нелинейность в виде зоны нечувствительности, вносит до- |
||||
|
|
полнительные статические и динамические |
||
xвх |
zвых(t) |
ошибки в работу системы. Поэтому необ- |
||
F1(x) |
|
ходимо компенсировать влияние такой не- |
||
α |
+ |
линейности. Пусть нелинейное усилитель- |
||
ное |
звено F1 (x) имеет зону нечувстви- |
|||
|
|
|||
F2(x) |
α |
тельности |α|. Для компенсации ее влияния параллельно с заданным нелинейным звеном F1 (x) включают нелинейное звено
F2 (x) с такими же коэффициентом усиле-
Рисунок 5.6 – Схема парал- |
ния в пределах α и без зоны нечувствитель- |
||
ности, но с зоной насыщения после значе- |
|||
лельной компенсации нели- |
|||
ния α, (рисунок 5.6) |
|
||
нейной характеристики F1(x) |
Zвых (t ) будет скла- |
||
Выходной сигнал |
|||
|
|||
дываться из двух параллельных сигналов. В пределах зоны нечувствительности | α | входной сигнал будет проходить через нелинейное звено F2 (x). После зоны
нечувствительности характеристика F2 (x) не изменяется (она в зоне насыщения) и сигнал будет проходить через звено F1 (x). Аналогично можно рассмотреть сложение характеристикF2 (x) и F1 (x)при входном отрицательном сигна-
ле. Таким образом, с помощью параллельных нелинейных характеристик получена одна общая линейная характеристика. Главная трудность такой коррекции нелинейного звена F1 (x) в подборе второго нелинейного звена F2 (x), которое
по всем другим показателям совпадала со звеном F1 (x), кроме вида нелинейности.
136
5.3.3Компенсация влияния нелинейности путем включения в цепь местной связи звена с желаемой характеристикой
Рассмотрим систему с отрицательной главной обратной связью и с существенно нелинейным звеном F1 (x) в главной цепи. Для компенсации нели-
нейности в F1 (x) параллельно ему включена модель линейного элемента
Кл.э. (р) с желаемой характеристикой в этом нелинейном звене F1 (x). Сигналы
сF1 (x) и Кл.э. (р) сравниваются и их разность подается через форсирующее звено Wф(p) на вход системы (рисунок 5.7). Если x2 > x1 , то на вход системы
поступает отрицательный сигнал, который уменьшает значение x2 . Если x2 < x1 , то на вход системы поступает положительный сигнал и увеличивает x2 . За счет такого компенсирующего контура достигается равенство x2 = x1 и устраняется влияние нелинейности в звенеF1 (x). Использование форсирующего звена ускоряет процесс компенсации нелинейности F1 (x).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(p) |
U(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W1(p) |
|
|
F1(x) |
|
W2(p) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- x2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kл.э(p) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wф(p)
Рисунок 5.7 – Схема компенсации нелинейности с помощью звена c желаемой характеристикой
Определим передаточную функцию компенсирующего контура Wком (p).
Wком (p)= |
|
|
W1 (p)F1 (x) |
|
|
1 |
− Kл.э. (p)Wф (p)W1 (p)+W1 |
(p)F1 (x)Wф (p) |
|||
|
|||||
Значение переданной функции компенсирующего контура при условии, что линейная модель имеет желаемую характеристику Kл.э. (p)
|
|
|
|
|
Kл.э. (p)= |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wф (p)W1 |
(p) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W |
(p)= |
|
|
|
|
W1 (p)F1 (p) |
|
|
|
|
= |
1 |
|||
|
|
Wф |
(p)W1 |
(p) |
|
|
|
|
|
|
W |
(p) |
|||
ком |
1 |
− |
|
+W (p)F |
(p)W |
(p) |
|||||||||
|
|
|
|
|
ф |
|
|||||||||
|
W |
(p)W |
(p) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
ф |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
ф |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
137
В результате нелинейная характеристика элемента F1 (x) не оказывает
влияние на характеристику системы. При включении в обратную связь форсирующего звена. компенсирующий контур с помощью форсирующего звена становится устойчивым апериодическим звеном.
5.3.4Компенсация влияния нелинейности с помощью дополнительной обратной связи
Для компенсации нелинейности используются дополнительные обратные связи различного вида: жесткие, гибкие, смешанные.
Если коэффициент обратной связи не зависит от изменения
выходного сигнала, то такая обратная связь называется жесткой.
Если коэффициент обратной связи зависит от изменения выходного сигнала, а при постоянном выходном сигнале равен нулю, то такая обратная связь называется гибкой.
Если коэффициент обратной связи зависит от изменения выходного сигнала, но при постоянном выходном сигнале не равен нулю, то такая обратная связь называется смешанной.
Рассмотрим схему компенсации нелинейной характеристики с помощью жесткой обратной связи (рисунок 5.8).
Пусть нелинейный элемент F1 (x) с линейной частью системы W1 (p) охвачен жесткой обратной связью с коэффициентом Kо.с. (Wо.с. (p) = Kо.с. ). Частотная передаточная функция скорректированного участка системы
|
|
|
|
|
|
|
|
W ( jω)= |
|
W ( jω)F (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
+W ( jω)F (x)K |
о.с. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u(t) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(t) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1(x) |
|
|
W2(p) |
|
|
W3(p) |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
W1(p) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Wо.с(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 5.8 – Схема компенсации нелинейной характеристики с помощью обратной связи
Выберем коэффициент обратной связи такой, чтобы в области существенных частот работы системы выполнялось соотношение
138
1 <<W |
( jω)F (x)K |
о.с. |
, тогда |
W ( jω)≈ |
W1 ( jω)F (x) |
≈ |
1 |
|
|
||||||
1 |
|
|
W1 ( jω)F (x)Kо.с. |
|
Kо.с. |
||
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, характеристика этого участка системы практически не зависит от свойств нелинейного элемента и полностью определяется коэффициентном обратной связи Kо.с. . В некоторых случаях можно охватывать жест-
кой обратной связью только нелинейный элемент и существенно линеаризовать его характеристику. Но при этом необходимо помнить, что выходной сигнал такого линеаризованного нелинейного элемента значительно ослабнет и приходится использовать усилительное звено.
Поставим такую задачу. Максимально увеличить коэффициент усиления K1 в первом звене W1 (p) для уменьшения статической ошибки системы
(рисунок 5.8). Для этого охватим нелинейное звено F1 (x) вместе с апериодическим звеном W1( p ) с гибкой обратной связью Wо.с. =T4 p . Для упрощения расчета примем, что все линейные звенья в прямой цепи апериодические.
Передаточная функция скорректированного участка системы Wкор (p)
|
|
W ( p ) = K1F( x ) /(T1 p + 1 ) = |
|
|
|
|
K1F( x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
kop |
|
|
1 + |
|
K1F( x )T4 p |
|
|
|
|
(T p |
+1 ) + K |
1 |
F( x )T p |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
T p + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Передаточная функция всей системы Wсист (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
Wсист( p ) = |
|
Wkop ( p )W2 ( p )W3 |
( p ) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 +Wkop ( p )W2 ( p )W3( p ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
K1F( x )K2 K3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(T p + 1)(T p + 1 )(T p + 1 ) + K |
1 |
F( x )T p( T p + 1)(T p + 1) + K |
1 |
K |
2 |
K |
3 |
F( x ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Поделим числитель и знаменатель на K1 и предположим, что m =1/ K1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно малая величина. Тогда получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Wсист (p)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
F (x)K2 K3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m(T1 p +1)(T2 p +1)(T3 p +1)+ F (x)T4 p(T2 p +1)(T3 p +1)+ K2 K3F (x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Если K1 →∞, то m → 0 и характеристическое уравнение вырождается в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
(T +1)+ K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L( ) |
= F (x)T p |
(T +1) |
2 |
K |
F |
(x)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A(p) |
4 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
= F (x)T T T p3 + F (x)T |
(T +T )p2 + F (x)T p + K |
2 |
K |
F (x)= 0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
4 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На основании теоремы о непрерывной зависимости корней алгебраического уравнения (в данном случае характеристического уравнения) от его коэффициентов можно утверждать, что три корня системы при m → 0 будут стремиться к трем корням вырожденного уравнения и устойчивость системы
139
будет определяться полученным вырожденным характеристическим уравнением. Условие устойчивости по критерию Гурвица для системы третьего порядка
F( x )T4 (T2 +T3 ) F( x )T4 − F( x )T2T3T4 K2 K3 F( x ) >0
Упростим это неравенство T |
(T +T )−T T K |
2 |
K |
3 |
> 0 |
или T > |
T2T3K2 K3 |
||||
|
|||||||||||
4 |
2 |
3 |
2 |
3 |
|
|
4 |
T2 |
+T3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОТВЕТ При полученном значении постоянной времени дифференцирующего звена система будет устойчива при любом F1 (x) и допускает увели-
чении коэффициента усиления в охваченном обратной связью апериодическом звене K1 → ∞.
Способ максимального увеличения коэффициента усиления за счет гибкой обратной связи называется «метод Меерова».
Показатели качества регулирования автоматической системы взаимосвязаны. Если в результате коррекции нелинейного звена «методом Меерова» ста-
тическая |
ошибка δ (t ) существенно уменьшилась и при K1 → ∞ значение |
||||||
δ (t )→ 0 |
, то какой показатель качество регулирования ухудшился? Представим |
||||||
скорректированный участок системы в следующем виде |
|||||||
|
Wkop = |
K1F( x ) |
|
= |
|
K1F( x ) |
|
|
(T1 p + 1 ) + K1F( x )T4 p |
[T1 |
+ K1F( x )T4 ] p + 1 |
||||
|
|
|
|||||
При K1 → ∞ постоянная времени |
этого скорректированного участка |
||||||
[T1 + K1F( x )T4 ] → ∞ и, соответственно, время регулирования tр → ∞ . Таким
образом, чем больше увеличиваем коэффициент усиления в апериодичном звене, тем продолжительнее будет время регулирования. Для реальной системы надо искать компромиссное решение между δ (t ) и tр .
Вопросы для самоконтроля к подразделу 5.3.1 - 5.3.4
1Задачи, решаемые при коррекции нелинейных систем.
2Методы коррекции нелинейных систем.
3Преимущества и недостатки нелинейных корректирующих устройств.
4Какой вид нелинейного звена включается параллельно заданному нелинейному звену при параллельной компенсации зоны нечувствительности?
5При охвате нелинейного звена совместно с апериодическим звеном гибкой обратной связью может ли устойчивость системы не зависит от нелинейного звена?
6При охвате нелинейного звена совместно с апериодическим звеном гибкой обратной связью можно ли существенно увеличивать коэффициент усиления апериодического звена без потери устойчивости системы?
7Как измениться при этом статическая ошибка системы?
140