GOS for Iphone / mobile / Моделирование и исследование роботов

Моделирование и исследование роботов

1. Классификация математических моделей роботов. Модели сложных

робототехнических систем.

а) Геометрические модели – это модели формы роботов, дающие исчерпывающее наглядное представление о них. Эти модели используются для визуализации движения роботов, для расчета основных характеристик прочности, для технологической подготовки производства роботов и т. д.

б) Модели прочности – это модели позволяющие рассчитать основные характеристики прочности роботов (напряжения, упругие и пластические деформации и т. д.)

в) модели кинематики – эти модели учитывают движение роботов без учета взаимного силового влияния звеньев. Эти моделиадекватно описывают сравнительно медленное перемещение роботов.

г) Модели динамики – эти модели описывают сравнительно быстрое движение роботов, когда необходимо учитывать силовое взаимодействие звеньев в процессе перемещения.

д) Модели управляемого движения – это модели целенаправленного перемещения роботов, происходящего при наличии системы управления.

математического описания.

Уравнения, описывающие процессы в системе управления, вместе с уравнениями динамики образуют уравнения управляемого движения роботов, которые могут использоваться для различных целей, в том числе для моделирования роботов на ЭВМ.

Методичка Тягунов, Мосяков «Моделирование роботов». Главы 1.4, 1.5 Файл White.pdf

1.4. УРАВНЕНИЯ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ РОБОТОВ И ТРАНСПОРТНЫХ РОБОТОВ

В 1.3 этой главы были рассмотрены уравнения динамики роботов и

транспортных роботов. Отличительной особенностью этих уравнений является то, что они описывают собственные динамические свойства этих механических агрегатов без учета систем управления, служащих целям целесообразного перемещения роботов и ТР. Таким образом, уравнения, описывающие процессы в системе управления, вместе с уравнениями динамики образуют уравнения управляемого движения роботов и ТР, которые могут использоваться для различных целей, в том числе для моделирования роботов на ЭВМ.

При построении уравнений управляемого движения роботов и ТР возникают определенные сложности, связанные с тем, что уравнения динамики роботов и ТР задаются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений, а для описания свойств их систем управления используется своеобразный язык структурных схем и передаточных функций. Приведем пример построения уравнений управляемого движения для робота “Электроника НЦТМ-30”. Функциональная схема системы управления этого робота приведена на рис. 1.10 [17].

44

Всостав системы управления входят: центральное вычислительное устройство (ЦВЧУ), предназначенное для решения траекторных задач и координации действий вычислительных устройств нижнего уровня; вычислительные устройства (ВчУ1) и (ВчУ2), каждый из которых осуществляет управление тремя приводами робота ( блоки Б1 и Б2); в качестве преобразователя используется широтно-импульсный пребразователь (ШИП), осуществляющий преобразование “код-длительность импульса”; исполнительные механизмы (М) (двигатели постоянного тока с механическим редуктором) выполняют функции перемещения звеньев манипулятора; датчики угла (ДУ) преобразуют угловое перемещение вала М в число импульсов. Кроме того, в состав системы управления входит устройство электроавтоматики (ЭА), предназначенное для включения и выключения уст-

ройств __________робота, не связанных с его движением. Связь между ВчУ1и ВчУ2

Рис. 1.10

может осуществляться только через ЦВЧУ. Для управления движением роботов имеются контуры регулирования скорости и положения.

Вобщем случае все шесть приводов связаны между собой. Свойство многосвязности проявляется в изменении моментов инерции суставов, происходящих в процессе движения робота. Рассмотрим структурную схему контура управления одной степенью подвижности (см. рис. 1.11 ).

45

ВчУ может быть представлено как последовательное соединение нелинейного элемента квантования по уровню (НЭ1), импульсного элемента (ИЭ) с тактом T и фиксатора нулевого порядка (Ф) с передаточной функцией W s Ts

s

( ) exp( ) ,

1 где T такт обновления информации на вы-

ходе вычислительного устройства.

Широтно-импульный преобразователь (ШИП) осуществляет преобразование кодовых сигналов из диапазона чисел от 0 до 256 в длительность импульсов. Структурно ШИП представлен в виде последовательного соединения нелинейного элемента типа ограничение (НЭ2) с порогом огра-

ничения 128 и широтно-импульсного модулятора (ШИМ) 2-го рода с

Рис. 1.11

Двигатель представлен нелинейностью типа “зона нечувствительности” (НЭ3) и двумя апериодическими звеньями с постоянными T1 (электрическая постоянная времени) и T2 (электромеханическая постоянная

времени). Коэффициент усиления k1 определяется максимальным моментом Mdb , развиваемым двигателем при максимальной длительности импульсов ШИП. Зона нечувствительности двигателя в основном определяется моментами трения в подшипниках и механическом редукторе. Коэффициент k2 задает статический коэффициент преобразования момента в угловую скорость вращения двигателя.

46

Цифровой датчик угла представлен передаточной функцией k s

d и

нелинейностью типа квантование по уровню. Порог квантования такой же, как у ВчУ и учитывается с помощью нелинейного элемента НЭ1.

Задающее воздействие на привод 3 (t) зависит от типа системы

управления (позиционная или контурная) и вычисляется в ЦВЧУ. Уравнения динамики роботов (1.31) без учета свойств упругости могут быть записаны в виде

A( ) B( , ) C( ) M,

(1.48)

где

M

вектор обобщенных моментов.

При построении уравнений управляемого движения находят функциональную зависимость

3 вектор задающих воздействий на приводы робота,

, соответственно векторы обобщенных координат и скоростей; с помощью вектора

K

задаются параметры системы управления ( в том числе параметры регулятора ).

Уравнение (1.48) разрешают относительно

, т.е.

( ) ( , ) ( )

где A 1 ( )

матрица, обратная матрице инерции робота A( ).

Если в правую часть выражения (1.49) входят производные, то с помощью введения вспомогательных переменных и увеличения размерности

можно избавиться от присутствия производных в правой части (1.50). Уравнение (1.50) будем называть уравнением управляемого движения роботов. В известных учебниках по вычислительной математике [16]

47

описаны процедуры сведения системы уравнений (1.50) к системе дифференциальных уравнений в нормальной форме Коши, т.е.

( , )

Y F Y t . (1.51)

Если размерность вектора обобщенных координат

равна n ( с уче-

том динамики СУ) , то размерность вектора

Y и соответственно порядок системы (1.51) будут равны 2n.

Процедура нахождения уравнений управляемого движения ТР аналогична описанной выше процедуре для роботов.

1.5. АВТОМАТИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ РОБОТОВ И ТРАНСПОРТНЫХ РОБОТОВ В 1.2, 1.3 и 1.4 решались задачи нахождения математического опи-

сания роботов и транспортных роботов, причем многие вычислительные операции были весьма трудоемкими.

Например, в 1.2 процедура решения прямой задачи кинематики по положению (1.3) требует перемножения матриц Ai в символическом виде и при большом числе звеньев достаточно сложна. При нахождении выра-

жений для скоростей vi и ускорений wi звеньев (выражения (1.4) и (1.5))

необходимо выполнять операции символического дифференцирования матриц взаимного положения ( см. выражения для Bi

j и Bi

jk ). При по-

строении уравнений кинематики ТР необходимо обращать матрицы большой размерности. Такая же задача возникает при решении обратных задач кинематики по скорости и ускорению для роботов.

Однако наиболее трудоемкие операции необходимо выполнять при нахождении уравнений динамики и уравнений управляемого движения (параграфы 1.3 и 1.4). Это задача нахождения функции Лагранжа L и вы-

48

полнение операций формирования левых и правых частей уравнений Лагранжа 2-го рода для роботов (1.25) , задача нахождения кинетической энергии ТР как функции квазискоростей и формирование уравнений динамики ТР в форме уравнений Эйлера-Лагранжа для неголономных систем (1.45) и (1.46). Отметим, наконец, задачу построения уравнений управляемого движения роботов (1.50) и приведения их к нормальной форме Коши (1.51). Для всех перечисленных задач характерно наличие большого числа весьма утомительных операций преобразования выражений в символической форме. Решение некоторых задач подобного рода практически невозможно для исследователя, выполнящего преобразования операции “вручную”.

Поэтому перспективным представляется использование специально разработанных программных комплексов, позволяющих выполнять операции преобразований алгебраических выражений в символической форме. Такие программные комплексы часто называют системами аналитических вычислений (САВ). САВ позволяет выполнять громоздкие аналитические выкладки, необходимые для вывода уравнений кинематики и динамики манипуляторов и ТР. За рубежом часто используется также термин "системы компьютерной алгебры".

Все имеющиеся САВ можно условно разделить на универсальные и специализированные. Универсальные САВ обладают большим числом встроенных возможностей и поэтому занимают большой объем оперативной памяти и требуют больших временных затрат. Из современных универсальных САВ наиболее известны системы MAPLE, REDUCE, MATHEMATICA и др. Специализированные САВ ориентированы на определенную предметную область. Для таких систем характерно высокое быстродействие. В [18] описана специализированная САВ MLR для исследования механических систем. Система построена по модульному принципу и содержит следующие модули:

-модули сервиса (служат для ввода и кодирования символьной информации);

-модули матрично-векторной алгебры (выполняют операции сложения векторов и матриц, вычисления скалярного и векторного произведений векторов, умножения матриц, перестановки строк и столбцов,

49

транспонирования матриц, выделения определителя матрицы, выделения нулевого минора);

-модули преобразований и упрощений (раскрытие скобок, приведе-

ние подобных членов, вынесение общего множителя за скобки, подстановка одного выражения вместо другого, преобразования);

С помощью комплекса MLR решались задачи вывода дифференциальных уравнений механических систем в форме уравнения Лагранжа 2-го рода, нахождения стационарных движений, линеаризации уравнений движения и исследования устойчивости стационарных движений.

В [19] описана специализированная система MMANG, предназначенная для выполнения иcследований в механике твердых тел аналитическими методами. В отличие от известных систем [18] при разработке системы MMANG был использован алгоритмический язык REFAL, позво-

ляющий манипулировать символами, проводить аналитические преобразования и при необходимости численного счета использовать язык Фортран. В целом характеристики системы MMANG аналогичны характери-

стикам системы MLR. В [20] приведено описание некоторых специализированных САВ для исследования механических систем.

В монографии [21] рассмотрено применение мощной универсальной

системы REDUCE для _________яисследования механических систем. Система REDUCE описана в [22,23].

В учебном пособии [14] приведены примеры использования системы REDUCE для решения задач кинематики манипуляторов.

Во второй главе данного пособия рассмотрена программная система ACA, предназначенная для решения задач автоматизации получения мате-

матического описания роботов.__

3. Геометрические модели роботов. Сравнительный анализ программных

средств геометрического моделирования роботов

Геометрическое моделирование – это представление различных физических тел (например манипуляторов) с точки зрения их геометрических свойств. Геометрические модели играют очень важную роль, т.к. используются для многих целей как при разработке, так и при изготовлении манипуляторов (и иных изделий специального назначения). Важно отметить, что геометрическая модель тела является машинным представлением его формы и размеров.

Виды геометрических моделей: а) Двухмерный (для чертежей).

б) Трёхмерная модель (создаёт виртуальное представление изделия во всех 3-х измерениях).

Различают 3 основных типа 3-х-мерных моделей:

1)Каркасные. (проволочные модели).

2)Поверхностные модели.

3)Модели сплошных тел (объёмные).

Вкаркасных моделях хранятся только координаты XYZ вершин и соединяющие их рёбра. Поскольку известны только рёбра и вершины, различные интерпретации одной модели.

Поверхностная модель позволяет описывать иногда достаточно сложные поверхности. Такую возможность часто добавляют каркасным моделям для описания поверхности изделия, которую невозможно автоматически определить по каркасным моделям. Однако такая гибридная модель не обеспечивает однозначности, которая позволила бы определить ограничивают ли заданные поверхности некоторый объём.

Возможны различные виды задания поверхности (плоскости), поверхность вращения, линейчатая поверхность. При этом используются различные математические модели аппроксимации поверхностей ( методы Кунса, Безье, Б-сплайны).

Объёмная модель позволяет представлять сложные изделия с обеспечением логической связности информации, в частности благодаря введению понятия о материале. Объёмы могут быть ограниченны сложными поверхностями.

Основные требования к геометрическим моделям.

1.Любая модель которую можно сконструировать не должна противоречить реальному объекту (правильность модели).

2.Допустимо полное конструирование модели объекта (мощность модели или степень точности).

3.Возможно вычисление ряда геометрических величин (например объёмов).

4.Предусмотрено использование различных функций. Разработка серий изделий и расчёт конструкции.

Для удовлетворения этих требований необходимо, чтобы модель обладала определённым набором математических свойств. В частности объёмная модель должна иметь следующие свойства:

1.Однозначность – тело должно быть заполнено внутри.

2.Конечность - тело должно занимать конечную часть пространства.

3.Жёсткость . Сплошное тело должно сохранять свою форму не зависимо от

положения и ориентации.

Кроме того, программная система геометрического моделирования должная удовлетворять следующим требованиям:

1.Согласованность операций: любая операция, выполняемая над телом должна приводить к образованию сплошных тел (перемещение, или булевая операция), если иное не оговорено пользователем.

2.Возможность описания: каждое тело должно быть представлено в машинном виде.

3.Непротиворечивость информации: точка пространства может принадлежать не более чем одному телу (т.е. о каждой точке пространства, можно сказать – «принадлежит ли она какому-нибудь телу»).

Уравнения, описывающие процессы в системе управления, вместе с уравнениями динамики образуют уравнения управляемого движения роботов, которые могут использоваться для различных целей, в том числе для моделирования роботов на ЭВМ.

Методичка Тягунов, Мосяков «Моделирование роботов». Главы 2.1

4.Математический аппарат и принципы создания математической модели робота и его системы управления. Программные средства для решения задачи моделирования СУ роботом.

Методичка Тягунов, Мосяков «Моделирование роботов Глава 2.2