Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

МИРЭА - Российский технологический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Управление роботами и РТС

.pdf

Скачиваний:

183

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

1.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Методы решения задач кинематики.

Прямая задача кинематики устанавливает связь однородных координат точки, соответствующие схвату робота, связанной со схватом системе координат однородными координатами этой точки в абсолютной системе координат, при известных углах и сдвигах звеньев робота.

Такая связь обеспечивается матрицами преобразования координат.

Pi-1 = i-1Ai·Pi

где Pi – координаты схвата в i-ой связанной точке. Pi-1 – координаты схвата в (i – 1) системе.

i-1Ai – матрица преобразования от i-ой к (i – 1) системе.

При наличии нескольких звеньев матрица преобразования получается путем последовательного перемножения матриц для отдельных звеньев.

0Ti = 0A1·1A2·…·i-1Ai =

Ti Aj j 1

Операция умножения матриц некоммутативна (результат зависит от перестановки

сомножителей), поэтому имеет значение порядок перемножения матриц звеньев.

Общее правило умножения матриц.

Переместить можно матрицы, у которых для А·В = С число столбцов А равно числу строк В, при

этом результирующая матрица С имеет число строк как у А и число столбцов как у В.

Аmxn·Bnxp = Cmxp

Нахождение элементов результирующей матрицы Сmxp.

Cij aik bkj

k 1

Суммируется произведения элементов i-ой строки.

Пример умножения матриц.

Матрица перехода от системы координат OXYZ к системе O1X1Y1Z1 сдвигом на «b» относительно Y1 и поворотом на α относительно X.

			1	0	0	0		1	0	0	0	0
T = Тхα1·TbY12 =			0	Cos α	-Sin α	0	·	0	1	0	0	b	=
T = Тхα1·TbY12 =			0	Sin α	Cos α	0	·	0	0	1	0	0	=
			0	Sin α	Cos α	0		0	0	1	0	0
			0	0	0	1		0	0	0	0	1
	1	0		0	0
=	0	Cos α		-Sin α	b·Cosα
=	0	Sin α		Cos α	b·Sinα
	0	Sin α		Cos α	b·Sinα
	0	0		0	1

Порядок перемножения матриц.

Если подвижная система координат O1X1Y1Z1 совершает поворот/сдвиг относительно системы OXYZ, то однородную матрицу предыдущего преобразования надо умножить слева на матрицу этого поворота/сдвига.

Если подвижная система координат O1X1Y1Z1 совершает поворот/сдвиг относительно одной из собственных осей, то однородную матрицу предыдущего преобразования надо умножить справа на матрицу этого поворота/сдвига.

Проверка результата умножения матриц.

Приведем матрицу к более удобному виду:

С= А·В

C1		C1		C1	C1					a1	a1	a1		a1		b1			b1		b1	b14
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3	b14
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3
C2		C2		C2	C2					a2	a2	a2		a2		b2			b2		b2	b24
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3	b24
1		2		3	4			=		1	2	3		4	·	1			2		3
C3		C3		C3	C3			=		a3	a3	a3		a3	·	b3			b3		b3
C3		C3		C3	C3					a3	a3	a3		a3		b3			b3		b3	b34
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3	b34
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3
C4		C4		C4	C4					a4	a4	a4		a4		b4			b4		b4	b44
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3	b44
1		2		3	4					1	2	3		4		1			2		3
							1		0			0					1		0	0	0	0
							1		0			0		0			1		0	0	0	0
Cij = Σajk·bkj =							0		Cos α			-Sin α		0	·		0		1	0	0	b	=
Cij = Σajk·bkj =							0		Sin α			Cos α		0	·		0		0	1	0	0	=
							0		Sin α			Cos α		0			0		0	1	0	0
							0		0			0		1			0		0	0	0	1
			1	0				0			0
	=		0	Cos α				-Sin α			b·Cosα
	=		0	Sin α				Cos α			b·Sinα
			0	Sin α				Cos α			b·Sinα
			0	0				0			1
С11 = (а11·b11) + (a12·b21) + (a13·b31) + (a14·b41) = 1+0+0+0 = 1
С12 = (а11·b12) + (a12·b22) + (a13·b32) + (a14·b42) = 0+0+0+0 = 0
И так далее.
Параметры манипулятора РМ-01 (PUMA).

Шарнир i				Θi		αi			ai				di					Пределы из-
Шарнир i				Θi		αi			ai				di					менения
																		менения
1				90		-90			0				0					-160 ± 160
2				0		0			431,8 мм				149,09 мм					-225 ± 45
3				90		90			-20,32 мм				0					-45 ± 225

4				0		-90			0				433,07 мм					-110 ± 170
5				0		90			0				0					-100 ± 100
6				0		0			0				56,25 мм					-226 ± 226

Обычно манипулятор в начальном положении, находится в вытянутом состоянии. Поэтому от этого начального положения и производятся все остальные вычисления.

Матрицы перехода для каждой степени подвижности.

Матрицы получают из формулы:

	Cos θi		- Cos αi ·Sin θi			Sin αi ·Sin θi		ai·Cos θi
i-1Ai =	-Sin θi		Cos αi ·Cos θi			- Sin αi ·Cos θi		ai·Sin θi
i-1Ai =	0		Sin αi			Cos αi		di
	0		Sin αi			Cos αi		di
	0		0			0		1
Из этой матрицы получаем:
	C1	0	-S1	0		C2	-S2 0	a2·S2
	S1	0	C1	0		S2	……………
0A1 =	0	-1	0	0	1A2 =	…………………
	0	-1	0	0		…………………
	0	0	0	1		…………………

И так далее.

Решение прямой задачи кинематики.

0T6 = 0A1·1A2·…·5A6 = Σj-1Aj

Решать можно раздельно для первых и последних трех звеньев. T1 = 0A1·1A2·2A3; T2 = 3A4·4A5·5A6

T1 =	C1·C23	-S1	C1·S23	a2·C1·C2 + a3·C1·C23 – d2·S1
	S1·C23	C1	S1·S23	a2·S1·S2 + a3·C1·C23 + d2·C1

	-S23	0	C23	– a2·S2 – a3·S23
	0	0	0	1
	C4·C5·C6 – S4·S6		-C4·C5·C6 C4·S5		d6·C4·S5
	C4·C5·C6 – S4·S6		-C4·C5·C6 C4·S5		d6·C4·S5
T2 =	...................................			S4·S5	d6·S4·S5
T2 =	……………………………………………
	……………………………………………
	……………………………………………

где Сi = Cos θi Si = Sin θi

Cij = Cos (θi + θj) Sij = Sin (θi + θj)

Решение прямой задачи в декартовых координатах.

						nx	Sx	a	Px
						nx	Sx	x	Px
								x
T =	n	S	a	P	=	ny	Sy	a	Py
T =					=	ny	Sy	y	Py
								y
						nz	Sz	az	Pz
	0	0	0	1		0	0	0	1

Ориентация схвата: nx=C1·[C23·(C4·C5·C6–S4·S6)–S23·S5·C6]–S1·(S4·C5·C6+C4·S6)

…

Положение схвата:

Px=C1·[d6·(C23·C4·C5–S23·C5)+S23·d4+a3·C23+a2·C2]–S1·(d6·S4·S5+d2)

Методы решения задачи кинематики.

1.В обратной задаче известны:

Положение (Р) и ориентация схвата (n, S, a).

Геометрия манипулятора (матрица 0Т6).

2.Необходимо определить:

Обобщенные координаты (θ1, θ2,…, θ6).

3.Возникает необходимость решения неоднозначно из-за избыточности степеней свободы манипулятора.

Точные методы решения обратной задачи.

Метод обратных преобразований в эйлеровых координатах φ, θ, ψ. В авиации φ – крен, θ – тангаж, ψ – курс.

						nx	Sx	a	Px
						nx	Sx	x	Px
								x
T =	n	S	a	P	=	ny	Sy	a	Py	= 0T6 = 0A1·1A2·…·5A6
T =					=	ny	Sy	y	Py	= 0T6 = 0A1·1A2·…·5A6
								y
						nz	Sz	az	Pz
	0	0	0	1		0	0	0	1

Где левая часть (т.е. обе матрицы) это все известные элементы, а правую часть необходимо найти (включают эйлоровые координаты).

Приравняв левую и правую части равенства, получим 9 уравнений и 3 неизвестных, отсюда – неоднозначное решение.

Метод решения обратной задачи кинематики.

Вобратной задаче кинематики:

Положение (р) и ориентация схвата (n, s, a).

Геометрия манипулятора (матрица оТ6). Необходимо определить:

Обобщенные координаты (θ1, θ2, …, θ6)

Решение неоднозначно из-за избыточности степеней свободы манипулятора. Основные направления обратной задачи:

1.Обратная задача важна при нахождении траектории.

2.Неоднозначность решения обратной задачи. Система из 9 уравнений:

nx = Sin φ·Cos ψ – Sin φ·Cos θ·Sin ψ ny = Sinφ·Cos ψ + Cos φ·Cos θ·Sin ψ nz = Sin θ·Sin ψ

sx = -Cos φ·Sin ψ – Sin φ·Cos θ·Cos ψ sy = -Sin φ·Sin ψ + Cos φ·Cos θ·Cos ψ sz = Sin θ·Cos ψ

ax = Sin φ·Sin θ ay = -Cos φ·Sin θ az = Cos θ

В результате решения определяем эйлеровы координаты:

	ay
Arccos
Arccos
Sin
Arccos az


	s	z
Arccos		z
Arccos
Sin

В связи с тем, что решения будут нести неопределенных характер при нуле градусов, обычно делают переход к тангенсу.

Смысл неоднозначности решения обратной задачи.

При избыточности кинематики манипулятора одну и ту же точку рабочего пространства можно получить с помощью разных конфигураций манипулятора.

Это означает, что схват робота может вывести в требуемую точку с помощью разных наборов обобщенных координат.

Существует два метода решения неоднозначности:

Графо-аналитический метод.

Локоть и рука – характеризуют первые три узла манипулятора. Индикаторы конфигурации позволяют получить:

1.4 решения обратной задачи для первых трех узлов манипулятора.

2.2 решения для последних трех узлов.

+1 для правой руки

рука = - 1 для левой руки

+ 1 для верхней руки локоть = - 1 для нижней руки

Например, угол θ1 определяется следующим образом:

Приближенные методы решения обратной задачи.

Основаны на численных методах. Решения уравнения связи вектора заданного положения манипулятора хзад и текущего вектора хq.

Уравнения связи и момент совпадения векторов является равенством: хзад = х(q)

Получить это решение можно, минимизируя функционал рассогласования:

I2(q) = |xзад – x(q)|2

Аналитическое решение задачи затруднено из-за многомерности аргумента q функционала. Численное решение выполняют в два этапа:

Градиентным методом (грубое приближение)

Метод Ньютона (уточнение решения)

Метод градиента.

Минимизирующая последовательность имеет вид рекуррентной формулы: qk+1 = qk + μ·δqk

где qk+1 – последующее значение, qk – предыдущее значение, μ – длина шага, δqk – вектор возможного направления поиска.

Метод Ньютона.

Линейные приближения уравнения связи

xзад x o

o q

где qo – начальное приближение по методу

градиента.

- значение

матрицы уравнения связи при q = q

Метод Ньютона работает хорошо при малых прира-

щениях обобщенных координат.

dRo

Гi dqj Ri

j 1

где dRo – малое приращение положения схвата; Гi – матрица преоб-

разования координат; i = 1, 2, …, N;

j = 1, 2, …, i.

2. Методы описания динамических свойств манипулятора. Прямая и обратная задачи динамики, методы их решения. Учет динамики следящего привода в уравнениях динамики манипулятора.

Динамика манипулятора

Предметом динамики манипулятора как раздела робототехники является математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения. Также уравнения необходимы для моделирования движения манипулятора с помощью ЭВМ, при выборе законов уравнения и при оценке качества кинематической схемы и конструкции манипулятора.

Задача управления включает задачу формирования динамической модели реального манипулятора и задачу выбора законов или стратегий управления, обеспечивающих выполнение поставленных целей.

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе использования известных законов ньютоновой или лагранжевой механики. Результатом применения этих законов является уравнения, связывающие действующие в сочленениях силы и моменты с кинематическими характеристиками и параметрами движения звеньев.

Таким образом, уравнения динамики движения реального манипулятора могут быть получены методами Лагранжа-Эйлера или Ньютона-Эйлера. Уравнения Лагранжа-Эйлера обеспечивают строгое описание динамики манипулятора. Их можно использовать для решения прямой и обратной задачи динамики.

Прямая задача состоит в том, чтобы по заданным силам и моментам определить обобщённые ускорения, интегрирование которых позволит получить значения обобщённых координат и скоростей.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным обобщённым координатам, скоростям и ускорениям определить действующие в сочленениях манипулятора силы и моменты.

Для решения обеих задач, как правило, необходимо вычислить динамические коэффициенты

Dik , hikm и ci . Вычисление этих коэффициентов требует выполнения очень большого числа арифмети-

ческих операций. В связи с этим уравнения Лагранжа-Эйлера без дополнительных упрощений практически неприменимы для управления манипулятором в реальном времени.

С целью получения более эффективных с вычислительной точки зрения алгоритмов расчёта обобщённых сил и моментов используют уравнения Ньютона-Эйлера, которые просты по содержанию, но весьма трудоёмки. Результатом является система прямых и обратных рекуррентных уравнений, последовательно применяемых к звеньям манипулятора. Это позволяет реализовать простые законы управлением манипулятора в реальном времени.

Метод Лагранжа-Эйлера

Полное описание движения манипулятора можно получить, применяя метод Лагранжа-Эйлера для неконсервативных систем. Описав кинематику манипулятора с помощью матричного представления Денави- та-Хартенберга, можно получить уравнение динамики. Такое совместное использование Д-Х-представления и метода Лагранжа приводит к компактной векторно-математической форме уравнений движения, удобной для аналитического исследования и допускающей реализацию на ЭВМ.

Вывод уравнений динамики движения манипулятора основан на следующем:

5.На описании взаимного пространственного расположения систем координат i-го и (i-1)-го звеньев с помощью матрицы преобразования однородных координат i 1 Ai . Эта матрица преобразует координаты произвольной точки относительно i-й системы координаты этой же точки относительно (i-1)-й системы координат.

2.На использовании уравнения Лагранжа-Эйлера:

dLL
;	i 1, 2, 3,...n,	(9-9)
dtqqi	i 1, 2, 3,...n,
i

где L-функция Лагранжа (L=K-P);

K-полная кинетическая энергии манипулятора;

P-полная потенциальна энергия манипулятора qi -обобщённые координаты манипулятора;

qi -первая производная по времени обобщённых координат;

i -обобщённые силы (или моменты), создаваемые в i-м сочленении для реализации заданного движе-

ния i-го звена.

Для того, чтобы воспользоваться уравнением Лагранжа-Эйлера, необходимо выбрать систему обобщённых координат. Обобщённые координаты представляют собой набор координат, обеспечивающий, полное описание положения рассматриваемой физической системы в абсолютной системе координат. Существуют различные системы обобщенных координат, пригодные для описания простого манипулятора с вращательными и поступательными сочленениями. Однако, поскольку углы поворотов в сочленениях непосредственно доступны измерению с помощью потенциометров или других датчиков, то они составляют наиболее естественную систему обобщенных координат. В этом случае обобщённые координаты совпадают с присое-

диненными переменными манипулятора. В частности, если i-е сочленение вращательное, то qi i , ес-

ли же i-е сочленение поступательное, то qi di . Скорость произвольной точки звена манипулятора

Для того, чтобы воспользоваться уравнениями Лагранжа-Эйлера, необходимо знать кинетическую энергию рассматриваемой физической системы, а следовательно, и скорости всех её точек.

Рассмотрим произвольную точку, неподвижную относительно i-го звена и заданную в системе коорди-

нат i-го звена однородными координатами i ri (рис. 9.2):

. (9-10)

Обозначим через 0 ri координаты этой же точки относительно базовой системы координат. Матрица

i 1 Ai обозначает матрицу преобразования однородных координат, определяющую пространственное поло-

жение системы координат i-го звена относительно системы координат (i-1)-го звена, а 0 Ai -матрицу, определяющую связь между системой координат i-го звена и базовой системой координат.

Рисунок 9.2. Точка i r			i-го звена
		i
	Тогда связь между		0 r и	i r	определяется соотношением:
			i	i
					0r 0A i r ,		(9-11)
					i i	i
	0 0 1		i 1
где	A AA...A.						(9-12)
	i 1 2		i
						i 1 A
	Если i-е сочленение – вращательное, то матрица						i имеет вид:
		coscossinsinsinacos
			i		i	i	i i i		i

		sincoscossincosasin
	A				i i		i i i i
	i1	i			i i		i i i i
	i									, (9-13)
					sin		cos		d
		0			sin		cos		d
					i		i		i

		0			0		0		1
							i 1 A
	Если i-ое сочленение – поступательное, то матрица						i имеет вид:
		coscossinsinsin0
				i	i	i	i i

	i1	sincoscossincos0
	i1	i			i	i	i i
	A								. (9-14)
	i				sin
			0		sin		cos d
					i		i		i
					0		0
			0		0		0		1

	В общем все ненулевые элементы матрицы					0 Ai являются функциями величин j , dj , j и
a(j 1, 2, ...i,)								j	или d j представляет со-
j			, причём в зависимости от типа j-го сочленения						или d j представляет со-
j

бой присоединенную переменную этого сочленения, а остальные величины – известны (задаются конструкцией манипулятора). В выводах уравнений движения, как вращательных, так и поступательных, использует-

ся обобщённые координаты qi ,					(qi i , если i-е		сочленение – вращательное и qi di , если i-е
сочленение – поступательное).
Скорость точки		i r		относительно базовой системы координат (при i ri 0 ):
			i
0			d		d
0				0		0 i
v v				(r)		(Ar)
i	i			i		i i
			dt		dt
0 1 i1 i 0 1 i1 i							0 i1 i 0 i
AA...Ar AA...Ar ...A...Ar Ar

1 2 i i 1 2 i i							1 i i i i	. (9-15)
								. (9-15)
i	0
i	A
	A
		i qir

j i
	q
j1		j

Частные произведение матрицы 0 Ai по переменным di легко вычисляется с помощью матрицы Qi ,

которая для вращательного сочленения имеет вид:

, (9-16а)

а для поступательного сочленения:

. (9-16б)

Используя эту матрицу, можно написать:

i1
AiQi1A.	(9-17)
qi
i

Например, для манипулятора с вращательными сочленениями qi i . Используя равенство (9-13), имеем:


	sin
		i
i 1	cos
д A		i
i

д
д
i		0
		0

		0
		0

cos cos sin cos asin
cos cos sin cos asin						0 1 0 0
i	i	i	i	i	i	0 1 0 0

cos sin sin sin				a cos
cos sin sin sin				a cos		1 0 0 0
i	i	i	i	i	i


0		0		d
0		0		d		0 0 0 0
				i
				i

0		0		0		0	0 0 0
0		0		0


	cos cos sin sin sin
		i	i	i	i	i
			cos cos sin cos

	sin
		i	i	i	i	i

0			sin		cos
			i		i

		0	0		0
		0	0		0

a cos
i	i

asin		Qi 1A
i	i	Qi 1A
		i i
d
i

1
1

Таким образом, для i 1, 2,...,n

		i1 i1
	0 1 i2	i1 i1
	AA...AQA...A,еслиj i;

A
0	1 2 j1 j j i
q
i		(9-18)
j	0,	еслиj i.

По смыслу равенство (9-18) описывает изменение положения точек i-го звена, вызванное движением в j-

м сочлененииманипулятора.Для упрощенияформулвведёмобозначениеUijд0Aiдqj,сучетомкоторогоравенство(9-18)можнопредставитьдляi1,2...,,n:

	j 1
0	j 1
A Q		A, еслиj i;
j 1	j	i

i j
U		(9-19)
0,		еслиj i.

Используя введённое обозначение, формулу для U i можно записать в форме:

				i
			U Uq ir.				(9-20)
			i	i j j i
				j 1

Определяем величину, характеризующую эффект взаимодействия сочленений:
					j 1	k1
				0	j 1	k1
				AQ AQ A, еслиi k j;
			j 1 j			k1 k	i
					k1	i1
	U		0		k1	i1
	U			AQ AQ A, еслиi j k;
	ij		k1 k			j 1 j i
		U					(9-21)
		U
	q		ijk
	q					еслиi j илиi k.
	k
			0,

Например, для манипулятора вращательными сочленениями при i j k 1 и qi i имеем:

11 (Q0A)QQ0A.

1 1 11 1 1 1

ДИНАМИКА МАНИПУЛЯТОРА.

Пространственные движения робота во времени, где робот представляет собой систему звеньев.

Основная задача динамики – это математическое описание связей между действующими на манипуляторы силами и моментами (причины) и параметрами движения звеньев (следствия).

Модель динамики робота – это дифференциальные уравнения, в которых время представлено в явном виде, а параметры движения звеньев описываются с помощью фазовых координат/положений, скоростей, ускорений и других производных более высокого порядка.

Динамика определяет устойчивость и качество движения робота.

Преобразование динамических параметров.

Последовательная кинематическая цепь из пятого класса (вращательные и поступательные звенья).

		Y3	Y4
		3
		Y2	X4
Yo		2 X3	X4
Yo		2 X3	4
			4
		X2		rc	N
Y1		1	F
Y1					M


	0	X1
	0

N систем координат Oi Xi Yi Zi

O0 X0 Y0 Z0

O1 X1 Y1 Z1

………………….

ON XN YN ZN

Центр масс звена rci, к которому приложена сила веса Gi, к центру схвата rcN приложены внешняя сила F и момент M.

В основе дифференциального динамического уравнения лежит второй закон Ньютона.

Вывод уравнений динамики манипулятора.

Динамическая модель манипулятора может быть построена на основе законов Ньютоновой или Лагранжевой механики.

Второй закон Ньютона связывает силы и ускорения для массы:

F = m·a

где F – сила (причина), приложенная к массе m

a – ускорение (следствие), движение массы под действием силы F.

Если во втором законе Ньютона время представить в явном виде, то получим математическое описание динамики в виде дифференциального уравнения.

Методы описания:

1.Второй закон Ньютона.

2.Уравнение Лагранжа второго рода.

3.Принцип Даламбера.

4.Принцип наименьшего принуждения Гаусса.

Принцип стационарного действия Гамильтона.

Вывод уравнений динамики на основе уравнений Лагранжа и Рода.

Система с голономными связями и степенями свободы

d d

k = 1, …, n

dt dq'k

dqk

где dL/dq`k и dL/dqk – это частные производные;

L = кинетическая – потенциальная энергия; qk –

обобщенная координата положения; q`k – обобщенная координата скорости; Fk – обобщенная сила.

Кинетическая энергия манипулятора с грузом.

Элемент энергии для элемента массы dmi dki = 0.5·(ri)2dmi. Радиус вектор точки ri = Ti·rii, где Ti – матрица перехода к инерциальной системе. Частная производная матрицы Ti:

Uij	d	Гi	Г1 Г2 ... Гi Ф

	dqi

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке mobile

#
10.05.20151.85 Mб119Аппаратное и программное обеспечение.pdf
#
10.05.20151.46 Mб139Информационные устройства роботов.pdf
#
10.05.2015433.56 Кб271Моделирование и исследование роботов.pdf
#
10.05.2015318.37 Кб119Технология роботизированного производства.pdf
#
10.05.20151.3 Mб183Управление роботами и РТС.pdf