GOS for Iphone / mobile / Управление роботами и РТС

1. Математический аппарат описания робота как объекта управления. Выбор и преобразование систем координат. Прямая и обратная задачи кинематики, алгоритмы их решения.Кинематика манипуляторов.

Математическая модель – это создание виртуальной модели, при этом она должна обладать как минимум двумя свойствами: модель должна быть адекватной; простота, быстрее, дешевле. Она описывается какими-то математическими конструкциями (пример: множество, отображение этого множества с другим, из этого понятия появляется понятие функции, дифференциальные уравнения (второй закон Ньютона), моменты создаваемые в сочленениях робота – первичная задача, положение и ориентация (декартовы координаты) –

вторичная задача).Основные этапы математического моделирования

По Тягунову: Составление мат. модели (1), Технологический этап (2-5)

1)Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2)Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3)Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4)Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5)Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

Классификация математических моделей и области применимости (геометрические, прочности, кинематики, динамики, динамики исполнительной подсистемы, управляемого движения)

Системы бывают: непрерывными и дискретными.

Если имеется хотя бы часть, каких либо непрерывными элементами, то такая система называется дискретной.

Бывают: детерминированные, стохастические системы. Детерминированные системы – это системы с чем-то уже определенным.

Стохастические системы означает, что в нашей системе есть что-то, что не определено. Основоположником теории вероятности был Паскаль.

Формализуемые системы и трудно-формализуемые системы. Формализуемые системы – это системы, которые возможно формализовать.

Трудно-формализуемые системы – это присутствие тех или иных живых существ (человек). Принципы, лежащие в составление математической модели.

Связаны с законами природы. Законы гидродинамики, гидростатики, химические законы, законы механики, законы электротехники и т.д.

Использование экспериментальных методов. Этим методом занимается наука идентификации. Принцип множества математических моделей.

Его основная суть: единой универсальной модели для описания процессов не существует. Для изучения того или иного процесса используют ту или иную модель.

Классификация математических моделей манипуляционных роботов. Всего можно выделить 6 базовых моделей роботов:

Геометрические модели. Это чертеж, эскиз. Композиция – пересечения плоскостей. Они нужны для:

Задача анимации.

Задача, связанная с расчетом характеристик.

Расчет характеристик прочности.

Задачи для решения автоматизированного производства. Модели прочности. Это модели, которые учитывают расчет напряжений.

Модели кинематики. В основе лежит следующее: вводим две группы векторов. 1-ая группа описывает

ориентацию какой-то характерной части нашего робота – это есть вектор выходных элементов, а входом будет совокупность обобщенных координат. Соответственно это есть прямая задача.

Модели динамики. - математическое описание действующих на манипулятор сил и моментов в форме уравнений динамики движения.

Модели динамики исполнительных элементов. ↑ вполне возможно, что это идентично Уравнения управляемого движения. Это своеобразная композиция в уравнениях кинематики, динамики

и уравнениях исполнительной части. Общие понятия в кинематике.

Анализ кинематики необходим для исследования робота как механической многозвенной конструкции.

Механическая система робота называется манипулятором и представляет собой совокупность звеньев в виде абсолютно твердых тел, на которые наложены связи (связи координат звеньев).

Связи бывают голономными и неголономными.

Голономные связи – это когда связи скоростей приводятся к связи координат путем интегрирования, в противном случае связи называются неголономными.

Два соседних звена образуют кинематическую пару.

Типовые кинематические пары (изгиб, шаровой шарнил, вращение, лин. перемещение) Конфигурация манипулятора.

При наличии только кинематических пар 5-ого класса манипулятор имеет число степеней свободы, равное числу звеньев или пар.

Углы поворота в шарнирах (или поступательные относительные перемещения звеньев) называются обобщенными координатами. Обозначаются q(t).

Обобщенные координаты используются в качестве переменных в уравнениях манипулятора. Оно иногда может быть записано в паспорте робота.

Совокупность положений рабочего органа (схвата) робота в пространстве, соответствующая полной совокупности конфигураций манипулятора, называемая рабочей заной. Рабочая зона, как правило, меньше, чем пространство конфигураций.

Конфигурация манипулятора рассматривается в определенной системе координат.

Система координат и их преобразования.

1.Абсолютная (декартова) система координат.

Система координат инерциального пространства, связанная с неподвижным звеном манипулятора (основанием).

Абсолютная система координат – это система координат, в которой находится наблюдатель.

Другое название абсолютной системы – это базовая система координат.

z0 – особая ось в робототехнике, т.к. все вращения происходят вокруг нее.

2.Связанная система координат.

Подвижная система координат, фиксируемая на отдельном звене манипулятора.

3.Цилиндрическая система координат.

Допускает вращение относительно одной только оси координат при наличии сдвигов в плоскости, нормальной к оси вращения.

Эта система удобна для описания роботов, имеющих винтовую пару по оси вращения.

4.Сферическая система координат.

Допускает единственный сдвиг вдоль радиуса сферы при наличии вращений.

Удобна для описания роботов, имеющих в соединении звеньев шаровой шарнир.

Преобразование координат.

Абсолютная или базовая система координат наглядно отображает геометрию, таким образом, как ее видит наблюдатель.

Связанная система координат отображает приращение координат относительно осей связанной системы.

При наличии нескольких звеньев и нескольких, связанных с ними системами координат значения координат точек в связанной системе не совпадают с соответствующими значениями координат этих же точек в абсолютной системе координат.

Преобразование системы координат позволяет находить по координатам заданной точки в связанной системе координат этой точки в базовой системе (Обратное так же справедливо).

Преобразование координат на плоскости.

Преобразование координат из одной системы в другую физическую соответствующую процессу совмещения таких систем координат.

На плоскости совместить связанные системы с базовой можно за 3 движения: 1 поворот и 2 сдвига.

Поворот связанной системы вокруг начала координат угол α параллельно осей связанной и базовой систем.

Сдвиг связанной системы вдоль оси Y на расстояние OY1O до полного совпадения связанной и

базовой систем. Координаты точки «А».

В связанной системе.

A(((X’AO1·cosα + Y’AO1·sinα) + OX1O),((Y’AO1·cosα – X’AO1·sinα) + OY1O))

10.Линейные преобразования задаются произведением матрицы 4х4.

11.Вращение:

где U – здесь описывается поворот, это квадратная матрица 3х3.

При вращении, начала координат остается на месте, а элементы матрицы U, являющимися направляющими косинусами осей старой системы координат по осям новой системы координат.

12. Сдвиги:

где Е – единичная матрица 3х3.

b = (b1, b2, b3)T трехмерный вектор.

13. Обратное преобразование.

UT -UTb

A-1 =

0 0 0 1

где А-1 – матрица обратного однородного преобразования.

В кинематических задачах для роботов наибольший интерес представляют вращения и параллельные сдвиги, поэтому однородные координаты эффективно используются в задачах кинематики.

Общая матрица преобразования в однородных координатах.

Преобразование перспективы характерны для компьютерной графики и системы автоматического проектирования. Для роботов f1x3 = (0, 0, 0).

Преобразование масштаба отсутствует в роботах -| x | = 1

Для кинематики роботов играет значение 1-ая строка матрицы Т.

1.Матрицы вращения.

Вокруг оси Х на угол α

Вокруг оси Y на угол φ

Вокруг оси Z на угол Θ

2.Матрицы сдвига.

Если есть сдвиги то в последнем столбце в элементах dx, dy, dz будут присутствовать свои значения.

3.Матрицы преобразования перспективы (локального растяжения).

4.Матрицы глобального масштабирования

где s – это значение изменения масштаба.

Кинематика: прямая и обратная задачи Анализ кинематики робота сводится к исследованию геометрии манипулятора в виде векторного уравнения:

x = F(q), где х – декартовы координаты манипулятора. ( в частности, схвата); q – обобщенные координаты (углы в шарнирах или перемещения).

F(q) – функция связи координат.

При известных обобщенных координат q может определить неизвестные декартовы координаты x, и, наоборот. При известных декартовых координатах можно определить неизвестные обобщенные координаты – прямые и обратные задачи кинематики.

В робототехнике, есть две основные задачи кинематики: прямая и обратная.

Рассмотрим эти задачи на стандартном примере манипулятора.

Прямая задача — это вычисление положения (X, Y, Z) рабочего органа манипулятора по его кинематической схеме и заданной ориентации (A1, A2… An)

его звеньев (n — число степеней свободы манипулятора, A — углы поворота).

Обратная задача — это вычисление углов (A1, A2… An) по заданному положению (X, Y, Z) рабочего органа и опять же известной схеме его кинематики.

Т.о., решение прямой задачи говорит — где будет находиться рабочий орган манипулятора, при заданных углах его суставов, а обратная задача, наоборот, говорит: как нужно «вывернуться» манипулятору, чтобы его рабочий орган оказался в заданном положении.

Очевидно, что более распространённой и важной является именно обратная задача кинематики. Но нужно иметь в виду, что эта задача редко может быть решена однозначно.

Дело в том, что хотя для углов (A1, A2, ..., An) всегда существует ЕДИНСТВЕННОЕ положение (X, Y, Z) рабочего органа, но не факт, что для положения (X, Y, Z) отыщется такая же единственная комбинация углов (A1,

A2, ..., An).

Скорее всего, достичь заданного положения (X, Y, Z) возможно и при другой комбинации углов (A1', A2', ...,

An').

При решении обратной задачи аналитически, эта неоднозначность проявляется в явном виде (например, через квадратные корни).

Рассмотрим пример прямой задачи кинематики.

у нас есть манипулятор, способный работать только в одной плоскости и имеющий два сустава. Первый сустав L1 закреплён на основании и повёрнут на угол Q1,

второй сустав L2, крепится к концу первого сустава и повёрнут относительно него на угол Q2. Рабочий орган манипулятора находится на конце второго сустава.

Прямая задача кинематики состоит в нахождении координат рабочего органа (x, y) по заданным L1, L2, Q1, Q2. L1 и L2 — это, соответственно, длины плеча и локтя манипулятора; определены конструкцией манипулятора.

Решение:

здесь, мы имеем две системы отсчёта — первая, связанная с точкой крепления плеча L1 — O, а вторая — с началом координат в точке крепления локтя — A.

Найдём смещение второй системы относительно первой (координаты точки A в системе отсчёта O):

XA = L1*cos(Q1)

YA = L1*sin(Q1)

Координаты (x, y) в системе отсчёта локтя: x'' = L2*cos(Q2)

y'' = L2*sin(Q2)

По рисунку видно, что в системе O, локоть L2 повёрнут относительно плеча на Q1+Q2: x' = L2*cos(Q1+Q2)

y' = L2*sin(Q1+Q2)

т.о.:

x = XA + x' = L1*cos(Q1) + L2*cos(Q1+Q2) y = YA + y' = L1*sin(Q1) + L2*sin(Q1+Q2)

Теперь, рассмотрим пример обратной задачи кинематики.

тот же рисунок, но теперь нужно найти такие углы Q1 и Q2, которые позволят манипулятору с плечом L1 и локтем L2 поместить рабочий орган в заданную точку (x, y)

Проведём прямую B, соединяющую начало координат O с заданной точкой (x, y).

B^2 = x^2 + y^2 x = B*cos(q1)

y = B*sin(q1)

q1 — угол между осью OX и прямой B

q2 — угол между прямой B и плечом L1

отсюда:

Q1 = q1 - q2

q1 = arccos( x/B ) или q1 = arctg( y/x )

, а q2 находим при помощи теоремы косинусов, которая говорит:

Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом alpha, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:

a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos(alpha)

в нашем случае, по теореме косинусов:

L2^2 = B^2 + L1^2 - 2*B*L1*cos(q2)

=> q2 = arccos( L1^2 - L2^2 + B^2 / 2*B*L1 )

Q1 = q1 - q2 = arccos( x/B ) - arccos( L1^2 - L2^2 + B^2 / 2*B*L1 )

по той же теореме косинусов найдём угол Q2:

как видно по рисунку, угол Q2 равен 180 — угол OAx

В^2 = L1^2 + L2^2 - 2*L1*L2*cos(PI - Q2)

Q2 = PI - arccos( L1^2 + L2^2 - B^2 / 2*L1*L2 )

Очевидно, что руку можно расположить и по-другому:

формулы для Q1 и Q2 не изменятся, но изменятся знаки углов:

Q1 = q1 + q2

а Q2 нужно брать с противоположным знаком.