kpb113 / 2 Алгебра и геометрия (2семестр) / Занятия и Фдз по АиГ2 / Занятие 4(Фдз 5)

18

Занятие 4 (Фдз 5).

Действия с линейными операторами. Образ, ядро, ранг, дефект линейного оператора.

4.1. Умножение линейного оператора на число, сложение линейных операторов, перемножение линейных операторов. Связь указанных действий с соответствующими операциями над матрицами линейных операторов.

4.2. Условие существования обратного отображения к линейному оператору, его свойства. Матрица обратного оператора, ее нахождение по матрице оператора.

4.3. Ядро и образ линейного оператора, их свойства. Ранг и дефект линейного оператора. Критерий обратимости линейного оператора в терминах его ядра, образа, ранга, дефекта.

4.1. Пусть даны два линейных оператора , действующие в одном и том же конечномерном линейном пространстве размерности .

По определению.

1) При умножении линейного оператора на число получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .

2) При сложении линейных операторов и получается линейный оператор , действующий по правилу: , где .

3) Произведение линейных операторов и также дает линейный оператор , действующий по правилу .

Аналогично определяется произведение : , где .

Отметим, что и (в общем случае).

Пусть - базис пространства и

- матрицы линейных операторов , в базисе .

Тогда матрицы операторов , , , в базисе находятся так:

- матрица оператора в базисе ;

- матрица оператора в базисе ;

- матрица оператора в базисе ;

- - матрица оператора в базисе .

Пример 1. Даны два линейных оператора и :

- оператор поворота векторов на декартовой плоскости (вокруг начала координат против часовой стрелки) на угол ;

- оператор проектирования векторов на ось .

Найти матрицы операторов в базисе , где - единичные векторы на осях .

Решение.

Сначала найдем матрицы операторов в базисе .

- первый столбец матрицы ,

второй столбец матрицы . Следовательно,.

- первый столбец матрицы ,

второй столбец матрицы . Следовательно,.

Обозначим - матрицы операторов в базисе .

Найдем эти матрицы с помощью матриц .

.

.

.

4.2. В случае, когда линейный оператор осуществляет взаимно однозначное отображение линейного пространства на себя, то существует обратный линейный оператор . Если - матрица оператора в базисе пространства , то матрица оператора в этом базисе равна . Следовательно, линейный оператор обратим (имеет обратный оператор ) тогда и только тогда, когда матрица оператора не вырождена (т.е. ).

Пример 2. Выяснить, какие из линейных операторов , примера 1 являются обратимыми?

Решение.

Матрица оператора (в базисе ) равна

. .

Следовательно, матрица не вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также не вырождена). Оператор обратим, и матрица обратного оператора в базисе равна

.

Матрица оператора (в базисе ) равна

. .

Следовательно, матрица вырождена (отсюда сразу же вытекает, что в любом другом базисе матрица оператора также вырождена). Оператор не обратим, и обратного оператора не существует.

4.3. Ядром линейного оператора называется множество всех , для которых . Для ядра линейного оператора принято обозначение . Ядро не может быть пустым множеством, т.к. для любого линейного оператора и, значит, нулевой элемент линейного пространства всегда принадлежит множеству .

Образ линейного оператора и ядро этого оператора являются линейными подпространствами в пространстве .

Рангом линейного оператора называется размерность образа этого оператора. Дефектом линейного оператора называется размерность ядра этого оператора. Если , то

.

Если известна матрица линейного оператора в каком-нибудь базисе , то ранг этого оператора можно найти по рангу матрицы : .

Пример 3. Найти ядро, образ, а также ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу

.

Решение.

. Базис пространства состоит из четырех многочленов. Например, многочлены ,,, образуют базис .

Найдем образ оператора .

.

- линейная оболочка трех многочленов . Эти многочлены представляют полную линейно независимую систему в . Следовательно, - базис. Значит, - ранг оператора .

- дефект оператора .

Найдем ядро оператора . Ядро состоит из тех многочленов , для которых .

.

Многочлен тождественно равен нулю (т.е. для всех ) тогда и только тогда, когда коэффициенты при всех степенях равны нулю.

Следовательно, .

Таким образом, ядро образует множество всех постоянных многочленов.

- одномерное линейное пространство (его базисом служит ) . Этот результат подтверждает ранее найденное значение дефекта оператора.

Ранг оператора можно получить другим способом. Найдем матрицу оператора в базисе ,,, пространства .

- первый столбец матрицы .

- второй столбец матрицы .

- третий столбец матрицы .

- четвертый столбец матрицы .

. Ранг этой матрицы равен трем. Следовательно, .

Пример 4. Найти образ, ядро, ранг и дефект линейного оператора , где , и оператор действует по правилу , где .

Решение.

Стандартным базисом пространства служит система матриц .

Найдем образ оператора .

, где - произвольное число (в силу произвольности чисел ). Следовательно,

- одномерная линейная оболочка с базисом .

- ранг , - дефект .

Найдем ядро оператора . Нулевым элементом пространства является нулевая матрица.

.

Общее решение полученной системы из одного уравнения с четырьмя неизвестными (если считать свободными неизвестными) записать в виде

, где .

- линейная оболочка с базисом .

Вычислим теперь ранг оператора по матрице этого оператора. Матрицу оператора проще всего найти в базисе пространства .

- первый столбец матрицы .

- второй столбец матрицы .

- третий столбец матрицы .

- четвертый столбец матрицы .

.

Матрица получена из матрицы так: ко 2-й строке матрицы прибавили 3-ю строку.

Ранги матриц и одинаковы. .

___________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Даны два линейных оператора , действующие в пространстве .

- оператор поворота векторов плоскости против часовой стрелки вокруг начала координат на угол .

- оператор проектирования векторов плоскости на прямую .

Найти матрицы операторов в базисе . Указать, какие из операторов имеют обратный оператор?

2. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора

, .

Допускает ли данный оператор обратный оператор ?

3. Найти ядро, образ, ранг и дефект линейного оператора ,

действующего в линейном пространстве .