kpb113 / 2 Алгебра и геометрия (2семестр) / Занятия и Фдз по АиГ2 / Занятие 13(Фдз 14)

19

Занятие 13 (Фдз 14).

Ортогональные операторы в евклидовом пространстве.

Сопряженные и симметричные линейные операторы в евклидовом пространстве.

13.1. Ортогональный оператор и его свойства.

13.2. Сопряженный линейный оператор

13.3. Симметричный (самосопряженный) линейный оператор. Существование и нахождение ортонормированного собственного базиса симметричного линейного оператора.

13.1. Линейный оператор , заданный в евклидовом пространстве со скалярным произведением , называется ортогональным оператором, если , где .

Ортогональный оператор не изменяет длин векторов и углов между ними, т.е.

.

В произвольном базисе пространства

, (1)

где - матрица ортогонального оператора, - матрица Грама, - координаты векторов в базисе . В случае ортонормированного базиса , и равенство (1) заменяется равенством

. (2)

Следовательно, в любом ортонормированном базисе пространства ортогональный оператор имеет ортогональную матрицу .

Пример 1. Рассмотрим двумерное евклидово пространство , содержащее все векторы на декартовой плоскости со стандартным скалярным произведением . Пусть - линейный оператор поворота векторов вокруг начала координат на заданный угол . Доказать, что - ортогональный оператор.

Решение.

С геометрической точки зрения ортогональность заданного оператора очевидна.

Проведем строгое доказательство.

- единичные векторы осей . Эти векторы образуют стандартный ортонормированный базис пространства , с которым связано стандартное скалярное произведение.

. (3)

Рассмотрим два произвольных вектора .

.

.

.

Т.к. , делаем вывод: - ортогональный оператор.

В дополнение к проведенному доказательству проверим ортогональность матрицы оператора в ортонормированном базисе . Из формул (3), (2) находим

, - ортогональная матрица.

Пример 2. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Требуется выяснить, является ли оператор ортогональным оператором.

Решение.

Проверим выполнение равенства .

- матрица Грама в базисе .

не является ортогональным оператором.

13.2. Пусть даны два линейных оператора и в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется сопряженным оператором оператору , если , где .

Если и матрицы оператора и сопряженного ему оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то

. (4)

Указанная связь между матрицами и позволяет найти матрицу , если известна матрица , и наоборот, найти матрицу , если известна матрица .

В ортонормированном базисе, где , равенство (4) заменится равенством .

Следует отметить, что сопряженный оператор оператору совпадает с оператором . Поэтому, операторы и называются взаимно сопряженными.

Пример 3. Рассмотрим двумерное евклидово пространство со скалярным произведением в базисе . Пусть - линейный оператор, имеющий в базисе матрицу . Потребуем найти матрицу сопряженного оператора в данном базисе. Проверить также, что матрица оператора , сопряженного оператору , совпадает с матрицей оператора .

Решение.

- матрица Грама в базисе .

Из матричного равенства (5) выводим: .

.

Займемся теперь поиском матрицы оператора . Согласно формуле (5) выводим:

.

13.3. Пусть - линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве со скалярным произведением . Оператор называется самосопряженным или симметричным, если , где .

Если - матрица оператора в базисе пространства , и - матрица Грама скалярного произведения в этом базисе, то

.

В ортонормированном базисе (в котором ) это равенство заменится равенством

.

Следовательно, в ортонормированном базисе симметричный оператор имеет симметрическую матрицу.

Важные свойства симметричного оператора фиксирует следующая теорема.

Все собственные значения симметричного оператора действительны, и собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям ортогональны.

Из собственных векторов симметричного оператора можно не только образовать собственный базис, но и даже ортонормированный собственный базис. Поэтому, любой симметричный оператор является оператором простого типа (см. занятие 7).

Пример 4. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

Решение.

1. Из характеристического уравнения найдем собственные значения оператора .

.

2. Теперь найдем собственные векторы.

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

В ортонормированном базисе скалярное произведение задается формулой

, где - координаты векторов в этом базисе.

- ортогональные векторы (что согласуется с выводами теоремы, приведенной выше) - линейно независимая система. Т.к. евклидово пространство двумерно, приходим к выводу: - ортогональный собственный базис.

Чтобы получить ортонормированный собственный базис нужно пронормировать векторы .

.

.

Итак, - собственный базис симметричного оператора .

Пример 5. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу

.

Решение.

Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

.

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

Собственные векторы отвечают различным собственным значениям. Следовательно, - ортогональная система векторов и одновременно является собственным ортогональным базисом оператора . Чтобы получить собственный ортонормированный базис , пронормируем векторы .

.

.

.

Пример 6. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

Решение. Найдем собственные значения и собственные матрицы оператора .

.

, .

- два линейно независимых собственных вектора с собственным значением .

- собственный вектор с собственным значением .

Собственные векторы образуют собственный базис оператора .

Этот базис не является ортогональным:

ортогонален , т.к. ,

не ортогонален , т.к. .

Линейная оболочка векторов совпадает с множеством всех собственных векторов с собственным значением и образует линейное подпространство в пространстве . Система векторов служит базисом подпространства . Каждый из векторов этой оболочки ортогонален вектору .

Проведем ортогонализацию базиса подпространства .

.

, .

Векторы образуют ортогональный базис подпространства , а тройка векторов - ортогональный базис (собственный базис оператора ) пространства .

Пронормировав векторы , получим собственный ортонормированный базис .

.

.

.

Домашнее задание.

1. В двумерном евклидовом пространстве со скалярным произведением в базисе задан линейный оператор , имеющий в базисе матрицу . Найти матрицу в базисе оператора , сопряженного оператору ли оператор .

2. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в двумерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .

3. Найти собственный ортонормированный базис симметричного оператора , действующего в трехмерном евклидовом пространстве, если в ортонормированном базисе оператор имеет матрицу .