Селективные
морфологии
Полутоновое MM-закрытие
Im |
|
D(Im) |
C(Im) Im-C(Im)
Селективные
морфологии
Полутоновое SM-закрытие
Im |
|
D(Im) |
SC(Im) Im-SC(Im)
Селективные
морфологии
Контурная
селективная
морфология
(на базе оператора удаления заданного числа концевых точек)
Im
SO1D(Im)
E1D(Im)
Im-SO1D(Im)
МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ, ПРОСТРАНСТВА РАЗЛОЖЕНИЙ И СЕГМЕНТАЦИЯ КАК РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ
Морфологические алгебры
Projective space of patterns (images) is an algebraic system < , , , V, , Pr, E>, where is a set of scalars including 0 and 1; is the set of patterns with “zero pattern” ; ‘ ’ is the multiplicative group operation of multiplication of scalars
and a scalar by pattern multiplication ;
‘V’ {‘+’, ‘ ’, ‘ ’, ‘ ’, ‘ ’, ‘ ’, ‘min’, ‘max’, …} is the additive Abel semi-group of scalars fusion and patterns fusion ; is the norm of the pattern
R ( (A) = ||A||, || || = 0); set of basic patterns (primitives) E = {E1, …, En} is the
basis of the morphological pattern decomposition.
Let E will denote the corresponding morphological subspace E generated by the algebraic closing of basis E relative to‘ ,V’-combination. The operator of linear projection of pattern onto the pattern has a form
Pr(A,B) = r(A,B) B: B ,
where r(A,B) is the coefficient of linear connection of A relative to pattern B.
Например, для ММ Серра |
Pr(A,B)= |
Pr(A,B)=B |
1, если B A |
B |
B |
r(A,B) = |
|
|
0, если B A |
A |
A |
Проективные морфологические разложения
Проективные морфологические разложения
Линейное |
A B: A=Vk=1..n ak Bk |
образов B={Bk} |
|
|
B - замыкание произвольного множества |
подпространство образов: |
|
|
Базис линейного |
Образы из B линейно независимы |
|
подпространства: |
|
|
Проекция образа на
подпространство:
Pr(A,B) B; Pr(A,B)=Pr(Pr(A,B),B);
Pr( ,B)= ; Pr(a A,B)=a Pr(A,B).
Условие разложимости образов из по базису E:
E : Pr(A,E) = Vk=1..n Pr(A,Ek) = Vk=1..n r(A,Ek) Ek
E – базис разложения, если проекция образа на E есть объединение его проекций на образующие из E
Проективное морфологическое разложение:
Оператор морфологического разложения образа по базису
Пространство векторов разложений
Сопряженное пространство:
Нормированный коэффициент
линейной корреляции
разложений:
Система { , , ,V, ,Pr,E}, для которой справедливо условие разложимости.
decE(A)=a(A,E)={r(A,Ek)}: n
= n Rn - также проективное пространство, на котором определены
Pr(a,b)=r(a,b) b,
A,B,C E: C=Pr(A,B)=r(A,B) B:
a=decE(A), b=decE(B), с=decE(С),
с=Pr(a,b)=r(a,b) b; r(A,B)=r(a,b)
K(a,b) = ||Pr(a,b)||/||a||,
(a) 0 K(a,b); (b) A=B K(a,b)=1;
(c) K(a,b)=0 Pr(A,B)= .
Условие разложимости в каждом частном случае необходимо доказывать
Отображает образ на вектор коэффициентов линейной связи с образующими базиса
объединение векторов, умножение вектора на скаляр, проекция вектора на вектор и норма вектора.
линейная связь векторов разложений равна линейной связи исходных образов.
Отношения векторов из
адекватно описывают отношения образов из .
Использование морфологических разложений образов в качестве признаковых описаний этих образов является обоснованным.Отсюда и все полезные практические свойства таких разложений.
Проективные морфологические разложения
Типы морфологических разложений
Условие разложимости:
E : Pr(A,E) = Vk=1..n(Pr(A,Ek)) = Vk=1..n(r(A,Ek) Ek)
Типы |
Алгебраическая структура |
Достаточные условия |
Особенности, примеры |
морфологических |
|
разложимости: |
|
разложений: |
|
|
|
Монотонные разложения:
Ортогональные разложения:
Квази- ортогональные разложения:
- частично упорядоченное множество:
A,B : sup(A,B)=AVB, inf(A,B)=A B.
Отношение включения:
A,B : A B
AVB=B, ||A|| ||B||.
Ортогональность образов
A,B : A B
{Pr(A,B)= ; Pr(B,A)= }.
- полурешетка
(а) сохранение включения:
A,B,C , A B
Pr(A,C) Pr(B,C).
(б) монотонность:
A,B ,
Pr(B,A) Pr(A,A)=A.
(а) ортогональность базиса
(б) сохранение объединения:
A,B,C , AVB Pr(AVB,C)= Pr(A,C) V Pr(B,C).
(а) сохранение объединения
(б) поглощение на базисе:
El: El = El (Vk l Pr(Ek,El))
Для монотонных проекторов, сохраняющих включение, любой базис является базисом морфологического разложения
(Морфология Серра)
Для проектора, сохраняющего объединение, любой ортогональный базис является базисом морф. разложения.
(Разложения Фурье,
вейвлет-преобразования, морфология Пытьева)
Любой базисный элемент включает объединение проекций на него всех других.
Проективные морфологические разложения
Ортогональные морфологии на базе БПФ и т.п.
БПФ, ДКП, фильтры НЧ, ВЧ
Вейвлет-преобразование и фильтры
Проективные морфологические разложения
Морфологический анализ изображений
Переход от образов к изображениям (двумерным функциям):
Введем пространства параметров изображения P и разложения Q: A A(p); Ek Ek(p) (p,q); E E(p,q).
Морфологические разложения изображений:
Морфо-геометрическая проекция:
Pr(A(p),E(p,q))=Vq Q(A(q) (p,q)).
Морфо-геометрическое разложение: dec(A(p))=A(q): (P) (Q).
Проекция разложения на разложение:
Pr(A(q),B(q))=r(A(p),B(p)) B(q).
Нормированный коэффициент линейной корреляции разложений: K(A(q),B(q)) = ||Pr(A(q),B(q))||/||A(q)||.
Проективные морфологические разложения
Морфологический анализ изображений
Фильтрация изображений с использованием разложений:
Полный базис : A(p) :
Морфологическое
преобразование:
Морфологический фильтр:
Область пропускания фильтра:
Унифицированная двухэтапная схема структурной фильтрации:
Pr(A(p),E(p,q))=A(p).
(A(p))=Vq Q (q) A(q) (p,q)
( (A(p)))= (A(p))
f(A(p))=Vq Q(f(q) A(q) (p,q)), f(q) {0,1}
Этап1: Деконструкция
(разложение, анализ).
Этап2: Частичная реконструкция (синтез).
Морфологические спектры: |
Интегральный спектр: |
|
Sp(A(p),q1)= [ (q2 Q) |A(q1,q2)|n]1/n, |
|
q=(q1,q2), |
|
q1 – подвектор параметров- |
|
характеристик, q2 – подвектор |
|
параметров локализации. |
|
Дифференциальный спектр – |
|
производная интегрального спектра. |
(q) – весовая функция данного преобразования.
преобразование-проектор
весовая функция не зависит от изображения
Проектирование изображения на образующие элементы преобразования.
Объединение проекций на те элементы, которые находятся в области пропускания фильтра.
Спектры вычисляются на основе морфологических разложений.
Если максимумы спектров сигнала и помехи не совпадают, фильтрация может быть эффективной.