Морфологические операции на полутоновых изображениях

Естественный интерес представляет расширение основных операций и результатов морфологии на случай, когда изображение рассматривается как функция f: F®E, где FÌE^N–1, а f задает интенсивность изображения на F (для случая двумерных изображений FÌE²). Для обобщения операций морфологии на этот случай, обычно вводят следующие понятия [337].

Теньюf называется множество U(f)ÌF´E, определяемое как

U(f) = {(x,y)ÎF´E|y£f(x)}.

Поверхностьюмножества AÍF´E называется множество T(A): F®E, определяемое в каждой точке как

T[A](x) = max{y|(x,y)ÎA}.

Связь между этими понятиями очевидна:

T[U(f)] = f.

Геометрическое представление тенифункции и поверхности представлено на рис. 6.1.14.

Теперь для интенсивного изображения легко определить понятия основных морфологических операций.

Пусть F,KÍE^N–1, f: F®E, k: K®E. Тогда

– дилатациейf по k называется:

fk = T[U(f)_bU(k)]

– эрозиейf по k называется

fk = T[U(f)_bU(k)]

где _bи_bесть обычные бинарные операции над U(f),U(k)ÍE^N. Другой способ вычисления эрозии и дилатации задается выражениями:

fk(x) = max{f(x–z)+k(z)}, A_zÎK и (x–z)ÎF

fk(x) = min{f(x+z)–k(z)}, A_zÎK и (x+z)ÎF.

Геометрическое представление дилатациииэрозиифункции и поверхности проиллюстрировано на рис. 6.1.15, 6.1.16.

@Рис. 6.1.14. «Тень» функции и поверхность «тени»

@Рис. 6.1.15. Полутоновая морфологическая эрозия

@Рис. 6.1.16. Полутоновая морфологическая дилатация

Для полутоновых изображений существует аналог теоремы Матерона о представлении морфологических операторов в виде объединения зрозий. Кроме того, результаты здесь также могут быть представлены в двойственной форме, так как.

–(fk) = (–f)k~, где k~(x) = k(–x)

fk = –((–f)k~).

Выражения для операций открытия и закрытия для полутонового случая полностью эквивалентны формулам (6.1.1) и (6.1.2):

f◦k=(fk)k,

f·k=(fk)k

с учетом всех предыдущих выражений.

Морфологическое выделение «черт» и объектов

Выделение мелкоразмерных объектов, границ и характерных точек на изображении является одной из главных областей применения ММ. В частности, характерными элементами являются «T», «Y» и «W»-соединения (на полутоновых изображениях), острые пики и глубокие впадины «рельефа изображения», мысы и «заливы», ступенчатые разрывы поверхности и т.д.

Определим морфологическую границуX_mдля множества X как разность расширения и сжатия X по сферическому структурирующему элементу B_r

X_m = (XB_r) – (XB_r). (6.1.3)

С топологической точки зрения, мы получим множество точек, окрестности которых пересекаются как с объектом X так и с фоном (дополнением) X^C.

Введем категории точек морфологической границы:

• гладкой поверхностьюназывается связное множество точек в X_m, которые имеют двумерную окрестность в X_m, то есть в каждой из этих точек существует непрерывная нормаль к поверхности;

• сингулярной кривой называется кривая CÍX_m, представляющая собой связное множество точек, имеющих одномерную окрестность на X_m;

• точки границы X_m, не принадлежащие ни гладкой поверхности, ни сингулярной кривой, называютсясингулярными точками.Примером сингулярных точек могут служить «T», «Y» и «W»-узлы.

В /12/ показано, что детектор (6.1.3) обеспечивает хорошее обнаружение узлов и ступенчатых разрывов поверхности полутонового изображения. Однако, для обнаружения пиков, впадин и острых углов необходим другой алгоритм.

Элементарные геометрические соображения показывают, что операции расширения и сжатия позволяют обнаруживать пики и острые углы. Механизм обнаружения прост. Как уже отмечалось ранее, расширение X дисковым (сферическим) структурирующим элементом можно рассматривать как объединение всех дисков (сфер) вписанных в изображение, а сжатие можно рассматривать, как расширение по фону X^C. Из рисунка 6.1.17 видно, что в точке острого угла разность между расширенным и сжатым изображением будет максимальна. Поэтому детектор острых углов можно определить как разность между открытием X и закрытием X:

gX_m = X◦B – X·B.

@Рис. 6.1.17. Принцип морфологического обнаружения острых углов на бинарных изображениях

Структурирующий элемент, используемый для выделения, черт не обязан быть «сферическим» в точном смысле этого слова, поскольку масштаб изображения по яркостной оси никак не связан с его геометрическим масштабом. Однако, легко показать, что операции выделения «черт» при помощи ММ являются инвариантными к поворотам в том и только том случае, когда структурирующий элемент имеет форму тела вращения вокруг оси, проходящей через точку с координатами (0,0). Поскольку результат применения морфологических операторов зависит только от формы структурирующего элемента, вращение изображения относительно структурирующего элемента эквивалентно повороту на такой же угол (в обратном направлении) структурирующего элемента относительно изображения. Тогда условием инвариантности операторов к повороту является эквивалентность структурирующего элемента самому себе при повороте относительно точки (0,0) на любой угол. Это выполняется только в том случае, когда структурирующий элемент имеет форму тела вращения.

Габаритные размеры такого структурирующего элемента (диаметр носителя и высота) определяют масштаб «черт», выделяемых по описанной выше схеме.

Математическая морфология и ее основные операции создают новую базу для применения метода нормализации фона (см. главу 3.3). В этом случае используются два структурирующих элемента В₁и В₂. Элемент В₁конструируется таким образом, чтобы «подходить» даже к самым маленьким размерам объекта на изображении и в тоже время отсекать импульсный шум, элемент В₂имеет большие размеры апертуры и в состоянии подавить любой, даже самый большой по геометрическим размерам отклик объекта. Алгоритм нормализации фона выглядит в этом случае следующим образом:

X' = ((X◦B₁)·B₁)◦B₂(X◦B₁)·B₁

Для выбора класса и конкретной реализации алгоритмов предварительной обработки, а также исследования их оптимальных параметров необходимо проведение математического моделирования с учетом характеристик модельной и реальной фоновой обстановки.

Таким образом, в задачах инвариантного обнаружения на изображении границ, характерных точек и других «черт», а также малоразмерных объектов в сложной шумовой обстановке, могут применяться алгоритмы, основанные на использовании операторов математической морфологии со структурирующими элементами в форме тел вращения. Возможна масштабная настройка таких алгоритмов путем изменения размера структурирующих элементов.