Преобразование Хафа для поиска окружностей

Описанный выше алгоритм преобразования Хафа будет работать совершенно аналогично не только при любом другом выборе параметров прямых, но и будучи примененным к обнаружению любой другой кривой, описываемой на плоскости некоторым числом параметров, что повлияет лишь на содержание и размерность пространства параметров.

Например, в уже рассмотренной нами задаче поиска окружностей заданного радиуса R мы можем считать, что имеем дело с двухпараметрическим семейством кривых (x-x₀)²+(y-y₀)²=R², и производить поиск максимума аккумуляторной функции A(x,y) в пространстве параметров (x,y). Заметим, что пространство параметров в этом случае практически совпадает с исходным (x,y). Поскольку набор центров всех возможных окружностей радиуса R, проходящих через заданную точку, образует окружность радиуса R вокруг этой точки, функция отклика в преобразовании Хафа для поиска окружностей известного размера представляет собой окружность такого же размера с центром в голосующей точке. Максимум аккумулятора соответствует положению центра окружности на изображении, как и было показано на Рис. 5.2.3..

Опишем теперь алгоритм обнаружения окружностей заданного радиуса на полутоновых изображениях, использующий оценку ориентации нормали в голосующих контурных точках. Первым шагом процесса является обнаружение пикселов края, окружающих периметр объекта. Например, может использоваться оператор Собела, дающий оценку амплитуды и направления вектора-градиента. Голосующими контурными точками считаются точки с высоким значением модуля градиента. Для каждого обнаруженного краевого пиксела используется оценка положение и ориентация контура с целью оценки центра кругового объекта радиуса R путем движения на расстояние R от краевого пиксела в направлении нормали к контуру (то есть в направлении вектора-градиента). Если эту операцию повторять для каждого краевого пиксела, будет найдено множество положений предполагаемых точек центра, которое может быть усреднено для определения точного местонахождения центра.

Если радиус окружности является неизвестным или переменным, необходимо включить R в качестве дополнительной переменной в параметрическое пространство-аккумулятор: тогда процедура поиска пика должна определить радиус, также как и положение центра путем рассмотрения изменений вдоль третьего измерения параметрического пространства. Если размер обнаруженной окружности нас не интересует, и требуется обнаружить только ее центр, то можно обойтись и без увеличения размерности пространства параметров. Пусть для каждого возможного направления на «центр» контурная точка голосует не точкой на расстоянии R, а лучом в этом направлении (Рис. 5.2.5.а). Таким образом окажутся задействованы все возможные положения "центра" при любом масштабе объекта, и это позволит искать окружности независимо от их радиуса (Рис. 5.2.5.б).

а) б)

@Рис. 5.2.5. Принцип обнаружения окружности неизвестного радиуса на полутоновом изображении методом голосования.

На втором этапе анализа, после обнаружения потенциальных центров окружностей, можно будет повторно обратиться к изображению и уточнить радиус окружностей с центрами в найденных точках. Запомним эту идею – она нам еще пригодится ниже при описании методов построения вычислительно эффективных процедур анализа свидетельств.

Заметим также, что Рис. 5.2.5.а демонстрирует интересную связь опсианного современного алгоритма анализа полутоновых изображений с задачей из школьного курса о построении окружности по трем точкам (Рис. 5.2.3.). В самом деле, ведь направление градиента в точке контура контрастной окружности на изображении есть ни что иное как предел срединного перпендикуляра к секущей окружности при стремлении длины секущей к нулю. Если бы у нас не было непрерывного контура окружности, а было лишь точечное множество (как в примере на Рис. 5.2.3.), то мы могли бы реализовать голосование пар точек в пользу соответствующих серединных перпендикуляров, и таким образом решить задачу выделения окружностей неизвестного размера в бинарном точечном множестве (Рис. 5.2.6.).

@Рис. 5.2.6. Принцип обнаружения окружности неизвестного радиуса в бинарном точечном множестве методом голосования.

В настоящее время разработаны также эффективные модификации преобразования Хафа для выделения эллипсов и других известных видов аналитических кривых ([155], [258]).