Комплексное представление преобразования Фурье

Кроме тригонометрической формы записи дискретного преобразования Фурье широко используется комплексное представление. Комплексная форма записи преобразования Фурье широко используется в многомерном анализе и в частности при обработке изображений.

Переход из тригонометрической в комплексную форму осуществляется на основании формулы Эйлера

, .

Если входная последовательность представляет собой Nкомплексных чисел, то её дискретное преобразование Фурье будет иметь вид

,

а обратное преобразование:

.

Если входная последовательность представляет собой массив вещественных чисел, то для нее существует как комплексное, так и синусно-косинусное дискретное преобразование. Взаимосвязь этих представлений выражается следующим образом:

, ,

остальные N/2 значений преобразования являются комплексно сопряженными, и не несут дополнительной информации. Поэтому график спектра мощности дискретного преобразования Фурье симметричен относительноN/2.

Быстрое преобразование Фурье

Простейший способ вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) – прямое суммирование, оно приводит к N операциям на каждый коэффициент. Всего коэффициентов N, так что общая сложность . Такой подход не представляет практического интереса, так как существуют гораздо более эффективные способы вычисления ДПФ называемые быстрым преобразованием Фурье (БПФ), имеющее сложность. БПФ применяется только к последовательностям, имеющим длину (число элементов) кратную степени 2. Наиболее общий принцип, заложенный в алгоритм БПФ, заключается в разбиении входной последовательности на две последовательности половинной длины. Первая последовательность заполняется данными с четными номерами, а вторая – с нечетными. Это дает возможность вычисления коэффициентов ДПФ через два преобразования размерностьюN/2.

Обозначим , тогда.

Для m<N/2 тогда можно записать. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом большим, чемN/2 являются комплексно сопряженными к элементам с индексами меньшимиN/2 можно записать. Таким образом, можно вычислить БПФ длиннойN, используя два ДПФ длиннойN/2. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном выполнении выше описанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары, затем в четверки и так до конца.

Двумерное преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье для двумерного массива чисел размера (MN) определяется следующим образом:

,

а обратное преобразование:

.

В случае обработки изображений компоненты двумерного преобразования Фурье называют пространственными частотами.

Важным свойством двумерного преобразования Фурье является возможность его вычисления с использованием процедуры одномерного БПФ.

,

Здесь выражение в квадратных скобках есть одномерное преобразование строки матрицы данных, которое может быть выполнено с одномерным БПФ. Таким образом, для получения двумерного преобразования Фурье нужно сначала вычислить одномерные преобразования строк, записать результаты в исходную матрицу и вычислить одномерные преобразования для столбцов полученной матрицы. При вычислении двумерного преобразования Фурье низкие частоты будут сосредоточены в углах матрицы, что не очень удобно для дальнейшей обработки полученной информации. Для перевода получения представления двумерного преобразования Фурье, в котором низкие частоты сосредоточены в центре матрицы, можно выполнить простую процедуру заключающуюся в умножении исходных данных на .

На рис. 3.3.16 показаны исходное изображение и его Фурье-образ.

@Рис. 3.3.16. Полутоновое изображение и его Фурье образ (изображения получены в системе LabVIEW).