3. Методы Рунге-Кутты

Общая формулировка метода Рунге-Кутты s-порядка для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида:

, где–фазовый вектор,

на интервале с начальными условиямивыглядит следующим образом:

Здесь ,,– векторы,– вектор-функция размерности, а коэффициенты,,– вещественные константы. Коэффициентыобычно подчиняются условию:.

Таким образом, любой метод Рунге-Кутты может быть однозначно определен совокупностью этих коэффициентов и символически представлен посредством таблицы следующего вида:

1. Вложенный метод Дормана-Принса 5(4) порядка

(см. [1],стр. 179, 182, 191, 452-454)

В 1980-м году Дорман и Принс построили вложенный метод 5(4)-го порядка, в котором решение 5-го порядка используется в качестве начального значения для следующего шага, а решение 4-го порядка – для определения локальной погрешности выполненного шага интегрирования (с целью последующего использования в механизме управления длинной шага).

Коэффициенты этого метода представлены в следующей таблице:

Управление длиной шага интегрирования

Управление длиной шага интегрирования осуществляется на основе сравнения ошибки вычислений с ограничением на величину локальной погрешности:

,

где – длина нового шага интегрирования;

– длина выполненного шага интегрирования;

– максимальная относительная допустимая вычислительная ошибка шага интегрирования.

Относительная вычислительная ошибка шага интегрирования рассчитывается с использованием следующего соотношения:

,

где – относительная вычислительная ошибка шага интегрирования;

– общее количество уравнений системы;

–-я компонента фазового вектора, отнесенного к началу шага интегрирования;

–-я компонента фазового вектора, отнесенного к концу шага интегрирования, рассчитанная с использованием метода 4-го порядка;

–-я компонента фазового вектора, отнесенного к концу шага интегрирования, рассчитанная с использованием метода 5-го порядка (для проверки решения 4-го порядка);

– ошибка округления; минимальное положительное число, удовлетворяющее неравенству:;

Определение ошибки округления

v = 1;

while (1+v > 1) do

u = v;

v = v/2;

end while;

Плотная выдача

В случае если существует необходимость построить решение дифференциального уравнения, отнесенное не к границам шага и, а к некоторому промежуточному моменту времени, необходимо воспользоваться какой-либо интерполяционной формулой, которая может быть, например, сплайном, построенным на основе известных значений решения и его производной на границах шага.

Для метода Дормана-Принса 5(4) разработаны непрерывные вложенные формулы. Параметром вычисления служит смещение момента времени относительно начала шагав долях длины шага:

.

Коэффициенты , представлены в виде разложения по степеням параметра:

Решение, отнесенное к моменту времени , может быть получено с использованием коэффициентови значений(рассчитанных ранее для получения решения на шаге) из следующего соотношения:

.

Формулы плотной выдачи используются, например, для графического представления результатов интегрирования, для решения уравнений с запаздывающим аргументом.

2. Метод Кутты-Мёрсона

… см. [4], стр. 551

4. Метод Адамса-Мултона-Башфорта

… см. [1], стр. 325-326

Явные методы Адамса

…

;;;; …

Неявные методы Адамса

…

;;;

…

5. Задача Аренсторфа

В 1963 г. американский математик Роберт Аренсторф рассчитал устойчивые орбиты спутника в системе Земля-Луна. Эта задача является частным случаем задачи трех тел, которая, как известно, не имеет обобщенного аналитического решения. Орбиты эти предназначались для запуска космических кораблей лунной миссии и позволяли обеспечить их гарантированное возвращение на Землю в случае аварийной ситуации и потери тяги и/или управления. Система дифференциальных уравнений, описывающих орбиты Аренсторфа, является нежесткой и требует высокой точности интегрирования:

где:

;;;.

С начальными условиями:

;;;,

решение будет периодическим с периодом:

.

С начальными условиями:

;;;,

решение будет иметь несколько иной вид, но тоже периодическим с периодом:

.