1. Порядок выполнения

1. Определить зависимость параметров формирующих фильтров от параметров каждой из корреляционных функций. Рассчитать параметры формирующих фильтров для заданных параметров корреляционных функций [1].

2. Реализовать класс генератора белого шума, классы моделей формирующих фильтров (как наследники от базового класса математических моделей, описываемых системой ОДУ), класс статистической обработки реализаций СП, в котором предусмотреть:

• возможность передачи в качестве входного параметра реализации СП в виде вектора значений, ассоциированных с моментами времени (или объекта модели формирующего фильтра);

• методы оценивания математического ожидания СП и доверительного интервала оценки (для заданного уровня надежности);

• методы оценивания дисперсии СП и доверительного интервала оценки (для заданного уровня надежности);

• методы оценивания корреляционной функции (нормированной корреляционной функции).

При реализации перечисленных процедур целесообразно пользоваться соотношениями, приведенными в разделе «Основные расчетные соотношения».

В классах моделей формирующих фильтров предусмотреть метод расчета значения соответствующей корреляционной функции, что потребуется при определении доверительного интервала для её оценки.

3. С использованием метода численного интегрирования получить реализации случайных процессов с перечисленными корреляционными функциями при различных значениях параметров.

4. Построить оценки математического ожидания, дисперсии и нормированной корреляционной функции СП на основе полученных их реализаций. Для каждого СП построить доверительные интервалы заданного уровня для оценок перечисленных статистических характеристик. Отобразить на графике зависимость истинного значения нормированной корреляционной функции, её оценки и доверительного интервала для неё от величины интервала корреляции. Доверительный интервал при этом должен быть построен для истинных значений нормированной корреляционной функции.

5. Рассчитать вероятность попадания значений оценки нормированной корреляционной функции в доверительный интервал. Для этого определить отношение количества значений оценки (для разных аргументов – интервалов корреляции), попадающих в доверительный интервал, к общему количеству значений этой оценки. Сделать вывод о корректности расчета величины доверительного интервала, сопоставив уровень его надежности с рассчитанной вероятностью.

4. Основные расчетные соотношения

Оценка математического ожидания СП:

,

где – значение реализации СП в-ый момент времени;

– количество моментов времени, для которых имеются значения реализации.

Доверительный интервал уровня оценки математического ожидания:

,

где – доверительная вероятность (вероятность, с которой истинное значение оцениваемой величины принадлежит доверительному интервалу, т.е. в данном случае;

– среднеквадратическое отклонение оценки математического ожидания для нормально распределенной выборки;

– оценка дисперсии СП (см. ниже);

– аргумент функции Лапласа, значение которой равно. Функция Лапласа при этом имеет вид:

.

Алгоритм расчета функции Лапласа и функции, обратной ей, приведен в [2, п. 26.2.23]. Кроме того, для конкретного значения аргумента значения функции Лапласа и обратной ей функции могут быть взяты из справочника (например, [3]).

Оценка дисперсии СП:

,

где ,имеют тот же смысл, что и для оценки математического ожидания.

Доверительный интервал уровня оценки дисперсии:

,

где – доверительная вероятность;

– среднеквадратическое отклонение оцени дисперсии для нормально распределенной выборки.

Оценка корреляционной функции

,.

где – интервал времени между соседними значениями выборки – реализации СП.

Оценка нормированной корреляционной функции:

.

Величина оценки является случайной и обладающей распределением, отличным от нормального. Для того, чтобы иметь возможность рассчитать доверительный интервал этой оценки, используется преобразование Фишера [4, стр.380]:

,

где – величина нормированной корреляционной функции,.

Случайная величина имеет распределение, близкое к нормальному. Среднеквадратическое отклонение этой величины имеет выражение:

.

Доверительный интервал для оценки величины определяется так:

,

– доверительная вероятность.

Выполняя обратное преобразование Фишера, т.е. разрешая выражение для относительно, получим:

,

, ,

.

Более подробно методы вычисления статистических оценок и расчета доверительных границ для них рассмотрены в [3, стр. 314 – 346].