Модель движения вертолета как объекта управления

В общем случае пространственное движение центра масс вертолета описывается векторным уравнением сил в проекциях на оси географической (по положению) и горизонтной (по скорости ) СК [7.3]:

. (7.7)

В этих уравнениях:

h, ,- высота, широта и долгота ц.м. вертолета;

- вектор скорости вертолета в горизонтной СК;

вектор угловой скорости вращения горизонтного трехгранника относительно Земли:

; ,,

R₁, R₂ - радиусы первого и второго главных сечений земного эллипсоида в текущей точке:

, ,

- вектор угловой скорости вращения Земли в горизонтной СК:

,

_Earth=7.292116^.10^-5s^-1– модуль угловой скорости вращения Земли,

вектор кажущегося ускорения вертолета в горизонтной СК;

вектор гравитационного ускорения, вычисляемый по формуле:

, (7.8)

где:

- вектор ускорения силы тяготения в проекции на оси горизонтной СК [7.5]:

,

,

слагаемое, обусловленное влиянием центробежного потенциала;

=9.78049 м/с²_.

Пространственное угловое движение вертолета относительно центра масс описывается следующими уравнениями в проекциях на оси связанной СК:

. (7.9)

В этих уравнениях:

- составляющие вектора абсолютной угловой скорости вертолета относительно осей связанной СК;

- составляющие суммарного вектора моментов , действующего на вертолет в полете, в проекциях на оси связанной СК.

Для расчета компонент кажущегося ускорения и абсолютного углового ускорения вертолета в связанной СК была использована приведенная ниже система (7.10) линеаризованных в окрестности так называемых балансировочных траекторий уравнений, с коэффициентами, зависящими от скорости полета [7.4], дополненная нелинейными членами в уравнениях сил, учитывающими большие изменения значений углов тангажа и крена (так называемая «частично линеаризованная система»). Система уравнений записана в связанных осях и предназначена, как уже указывалось выше, для исследования режимов полета с изменениями значений скорости от 0 до максимального значения:

,

где:

N_x, N_y, N_z- проекции кажущегося ускорения на оси связанной СК;

V_x, V_y, V_z- проекции скорости вертолета на оси связанной СК;

V_xб, V_yб, V_zб- проекции скорости вертолета на оси связанной СК для балансировочной траектории;

_x,_y,_z- проекции абсолютной угловой скорости вертолета на оси связанной СК;

_xб,_yб,_zб- проекции абсолютной угловой скорости вертолета на оси связанной СК для балансировочной траектории;

, ,- Эйлеровы углы ориентации вертолета (тангаж, рысканье, крен);

_о.ш.- общий шаг винта;

_о.ш.б- общий шаг винта для балансировочной траектории;

_р.в.- шаг рулевого винта (в случае схемы с рулевым винтом);

_р.в.- шаг рулевого винта (в случае схемы с рулевым винтом) для балансировочной траектории;

 - угол продольного отклонения автомата перекоса;

_б- угол продольного отклонения автомата перекоса для балансировочной траектории;

 - угол поперечного отклонения автомата перекоса;

_б- угол поперечного отклонения автомата перекоса для балансировочной траектории;

- производные проекции аэродинамической силы на ось X связанной СК по параметрам движения и управления;

- производные проекции аэродинамической силы на ось Y связанной СК по параметрам движения и управления;

- производные проекции аэродинамической силы на ось Z связанной СК по параметрам движения и управления;

- производные проекции аэродинамической момента на ось X связанной СК по параметрам движения и управления;

- производные проекции аэродинамической момента на ось Y связанной СК по параметрам движения и управления;

- производные проекции аэродинамической момента на ось Z связанной СК по параметрам движения и управления;

F_x(,), F_y(,), F_z(,) – нелинейные члены.

Уравнения (7.10) получаются при разложении в ряд Тейлора соотношений для сил и моментов, действующих на вертолет в окрестности балансировочных траекторий. Здесь под балансировочными понимается совокупность траекторий, полученных в результате решения системы уравнений статики, т.е. при нулевых аэродинамических моментах и нулевом угле скольжения [7.4].

Для уменьшения динамических ошибок, возникающих при использовании уравнений (7.10), т.е. ошибок, обусловленных наличием перекрестных связей, в состав нелинейных членов Fx(,), Fy(,), Fz(,) введены поправки, учитывающие влияние угла рысканья[7.3]. Для устранения динамических ошибок, обусловленных переходными процессами при смене балансировочных режимов, при интерполяции всех табличных данных используется сплайн-интерполяция, аппроксимирующая исходную таблицу системой B-сплайнов [7.6], удовлетворяющей требованию непрерывности решения в С¹.

При этом использовалась следующая технология аппроксимации. Кривая, построенная на основе B-сплайн-базиса, описывается следующим образом [7.6]:

, (7.11)

где - радиус-вектор точек на кривой,

- вершины аппроксимируемой ломаной (всего вершин n+1),

N_ik(t) - весовая функция i-й нормализованной B-сплайн базисной кривой порядка k (т. е. степени k-1), задаваемая рекуррентными соотношениями:

Здесь xi – элементы узлового вектора, а t – параметр, изменяющийся в диапазоне от 0 до tmax=(n–k+2).

Узловой вектор, длина которого (n+k+1), вводится для учета собственной кривизны B-сплайн-кривых и представляет собой неубывающую последовательность целых чисел - параметрических узлов. Узловой вектор определяется числом точек в аппроксимируемой ломаной, порядком кривой, а также наличием сложных (кратных) узлов.

Известно [7.6], что B-сплайн-кривая является полиномом степени (k–1) на каждом интервале (x_i,x_i+1) и что все ее производные до (k–2)-го порядка включительно непрерывны вдоль всей кривой, то есть эта кривая представляет собой сплайн-функцию порядка k.

Таким образом, в результате использования системы В-сплайнов при аппроксимации табличных данных удается обеспечить непрерывный переход от одного балансировочного режима к другому и практически исключить возникающие при этом динамические ошибки.

В состав возмущений, входящих в правую часть уравнений (7.10.) необходимо включить дополнительную аэродинамическую нагрузку, возникающую вследствие воздействия ветра и являющуюся основным неконтролируемым фактором при описании движения вертолета. Возмущения, вносимые ветром, приводят к изменению вектора воздушной скорости вертолета, и, следовательно, к изменению углов атаки и скольжения. Это, в свою очередь, приводит к соответствующим изменениям коэффициентов аэродинамических сил и моментов, необходимых для расчета компонент кажущегося ускорения и абсолютного углового ускорения вертолета в связанной СК. В приводимой модели не рассматриваются эффекты, связанные с изгибами несущих лопастей винта и изменениями их аэродинамической эффективности, а также образованием дополнительных вихревых потоков в силу сложности описанного явления, требующего дополнительного изучения.

В общем случае, с учетом влияния ветра вектор воздушной скорости запишется в виде:

, (7.12)

где

V_В– вектор воздушной скорости при невозмущенном движении (для вертолета совпадает с вектором скорости в географической СК);

W_В- вектор скорости ветра.

В рамках данной модели ветер рассматривается в виде детерминированного горизонтального порыва, т.е. предполагается, что отсутствуют вертикальные перемещения воздушных масс; при этом абсолютная величина скорости зависит от высоты и географических координат точки, а направление характеризуется углом азимута, т.е. направлением ветра по отношению к направлению на север.

При исследовании управляемого маловысотного полета вертолета используются два подхода к формированию требуемых характеристик плоского ветра:

• Постоянный ветер, при котором явно задаются модуль скорости () и направление ветра – Az;

• Ветер по профилю, когда абсолютная величина скорости ветра и угол азимута определяются посредством аппроксимации между профилями скорости ветра, задаваемыми априорно (рис. 7.7-7.8).

Рис. 7.7

Рис. 7.8

Затем полученный вектор скорости ветра в географической СК проецируется в связанную СК, где, суммируясь с полным вектором скорости вертолета образует вектор воздушной скорости (7.12).

Так как соотношения для расчета компонент кажущегося ускорения и абсолютного углового ускорения вертолета записаны в связанной СК, то учет возмущений, обусловленных воздействием ветра, осуществляется за счет изменения коэффициентов аэродинамических сил путем использования в качестве аргумента модуля воздушной скорости в связанной СК:

• - производной проекции аэродинамической силы на ось X связанной СК по воздушной скорости вертолета;

• - производной проекции аэродинамической силы на ось Y связанной СК по воздушной скорости вертолета;

• - производной проекции аэродинамической силы на ось Z связанной СК по воздушной скорости вертолета;

• - производной проекции аэродинамического момента на ось X связанной СК по воздушной скорости вертолета;

• - производной проекции аэродинамического момента на ось Y связанной СК по воздушной скорости вертолета;

• - производной проекции аэродинамического момента на ось Z связанной СК по воздушной скорости вертолета.

Для пересчета кажущегося ускорения в горизонтную СК используется следующее соотношение:

, (7.13)

где

- вектор кажущегося ускорения вертолета в связанной СК, рассчитываемый с помощью (7.10).

Матрица перехода от горизонтной СК к связанной определяется с использованием параметров Родрига-Гамильтона [7.2]. Данный подход базируется на представлении конечного поворота твердого тела в терминах собственного кватерниона преобразования систем координат, компоненты которого и получили название параметров Родрига-Гамильтона.

По сравнению с классическими кинематическими уравнениями использование кватернионов позволяет получать высокоточное устойчивое численное решение, лишенное особых точек, и обеспечивающее взаимную ортогональность осей при пересчете координат:

, (7.14)

где q₁, q₂, q₃, q₄,компоненты и модуль кватерниона Q, соответствующего переходу от горизонтной к связанной СК.

Кинематические уравнения в этом случае запишутся в векторной форме [7.2]:

, (7.15)

где «» - символ кватернионного умножения,

кососимметричная матрица (ротор), сформированная на компонентах вектора ,- вектор абсолютной угловой скорости вертолета в проекции на оси связанной СК.

Традиционные углы Эйлера (,,) можно определить на основе матрицы перехода:

(7.16)

где a_ij– компоненты матрицы.

Таким образом, полная система дифференциальных уравнений, частично линеаризованная в окрестности балансировочной траектории и описывающая пространственное движение вертолета, включает 6 уравнений движения центра масс (7.7), уравнения расчета компонент вектора кажущегося ускорения и углового ускорения вертолета, образующие систему (7.10), уравнения пересчета кажущегося ускорения в географическую СК (7.11) и 4 кинематических уравнения (7.15), описывающие динамику изменения параметров Родрига-Гамильтона.