Системы координат

В практике исследования динамики полета ЛА в атмосфере традиционно используются три типа систем координат [7.1, 7.2]: инерциальные, связанные с землей, связанные с ЛА, а также их модификации. Все системы декартовы, правые (знаки угловых скоростей и ускорений, углов, моментов положительны при вращении против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси вращения). При этом наиболее употребительны следующие системы координат (рис.7.2.7.3.):

• Географическая (гринвичская) система координат O_EX_GRY_GRZ_GR;

• Абсолютная географическая (квазиинерциальная) система координат O_EX_AY_AZ_A;

• Горизонтный сопровождающий трехгранник, ориентированный по сторонам света (горизонтная система координат) OX_NEY_NEZ_NE;

• Связанная система координат OX_BFY_BFZ_BF.

• Топографическая система координат OX_MY_MZ_M

Начало географической [7.3] СК O_EX_GRY_GRZ_GR расположено в центре масс Земли (вернее, фигуры, аппроксимирующей геоид), ось O_EZ_GR направлена по вектору угловой скорости вращения Земли (U_Earth), ось O_EX_GR лежит в экваториальной плоскости и направлена на гринвичский меридиан и ось O_EY_GR дополняет систему до правой.

Абсолютная географическая система координат представляет собой замороженную в пространстве на момент начала движения географическую СК (квазиинерциальная СК).

Начало горизонтной СК расположено в центре масс вертолета. Ось OY_NE направлена по местной вертикали, ось OX_NE и OZ_NE расположены в плоскости местного горизонта; ось OX_NE направлена на север по местному меридиану и ось OZ_NE направлена на восток по местной параллели.

Начало связанной СК OX_BFY_BFZ_BF расположено в центре масс вертолета, ось ОY_BF направляется параллельно оси вала несущего винта (НВ) вверх, ось ОХ_BF - вперед, в продольной плоскости вертолета, ось OZ_BF - к правому борту.

Географическая СК используется для решения основного уравнения инерциальной навигации и получения оценок движения центра масс вертолета при использовании в спутниковой навигации. Параметры ориентации определены по отношению к горизонтной СК.

Переход от абсолютной географической СК (квазиинерциальной) к географической описывается с использованием матрицы перехода, имеющей вид:

, (7.1)

где t – текущее время моделирования, t₀=0.

Переход от географической СК к горизонтной будет описан с использованием матрицы перехода, формируемой следующим образом:

, (7.2)

где , , h географическая широта, долгота и превышение над земным эллипсоидом объекта [7.4].

Рис. 7.2

Декартовы координаты точки O будут выражены в географической СК с использованием соотношений [7.3]:

, (7.3)

где , е_з - эксцентриситет земного эллипсоида; а - большая полуось эллипсоида; ₀, ₀, h₀ - высота точки O над поверхностью земного эллипсоида в момент начала движения.

Переход от горизонтной СК к связанной описывается последовательностью трех поворотов на углы Эйлера [2]:

, (7.4)

где матрицы элементарных поворотов имеют вид:

,

.

где угол рыскания ψ - угол между проекцией оси ОХ_BF на плоскость местного горизонта ОХ_NEZ_NE и осью ОХ_NE горизонтной СК. Угол тангажа θ -угол между осью ОХ_BF и плоскостью местного горизонта ОХ_NEZ_NE , угол крена γ - угол между осью ОY_BF и местной вертикальной плоскостью, проходящей через ось ОХ_BF.

Рассмотрим подробнее топографическую систему координат и ее связь с географической СК. В силу того, что поверхность земного эллипсоида невозможно развернуть на плоскость без разрывов и искажений, при проецировании происходят нарушения одного или нескольких свойств проекции: равномасштабность, равноугольность, равновеликость [7.12]. Существуют различные виды картографических проекций, каждому из них соответствуют определенная картографическая сетка и присущие ей искажения. Картографические проекции классифицируют по характеру искажений, виду изображения меридианов и параллелей (географической сетке) и некоторым другим признакам.

По характеру искажений различают следующие картографические проекции:

• Равноугольные – сохраняющие равенство углов, между направлениями на карте и в натуре. На рис.7.3 показана карта мира, на которой картографическая сетка сохраняет свойство равноугольности. На карте сохранено подобие углов, но искажены размеры площадей.

Рис. 7.3. Равноугольная проекция.

• Равновеликие – сохраняющие пропорциональность площадей на карте соответствующим площадям на земном эллипсоиде. На рис.7.4 показана карта мира, составленная в равновеликой проекции. На ней сохранена пропорциональность всех площадей, но искажено подобие фигур, то есть отсутствует равноугольность. Взаимная перпендикулярность меридианов и параллелей на такой карте сохраняется только по среднему меридиану.

Рис. 7.4. Равновеликая проекция.

• Равнопромежуточные – сохраняющие постоянство масштаба по какому-либо направлению;

• Произвольные – не сохраняющие ни равенства углов, ни пропорциональности площадей, ни постоянства масштаба. Смысл применения произвольных проекций заключается в более равномерном распределении искажений на карте и удобстве решения некоторых практических задач

По виду изображения сетки меридианов и параллелей картографической проекции подразделяются на конические, цилиндрические, азимутальные и др. Причем в пределах каждой из этих групп могут быть разные по характеру искажений проекции (равноугольные, равновеликие и т. д.). Геометрическая сущность конических и цилиндрических проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на боковую поверхность конуса или цилиндра с последующим развертыванием этих поверхностей в плоскость. Геометрическая сущность азимутальных проекций заключается в том, что сетка меридианов и параллелей проектируется на плоскость, касательную к шару в одном из полюсов или секущую по какой-либо параллели.

Выбор картографической проекции для топографических карт зависит от размеров картографируемой территории и ее географического положения. Большинство стран мира для составления топографических карт используют равноугольные цилиндрические проекции (Таблица 7.1).

Таблица 7.1.

Название	Используется	Начальная широта	Масштаб центрального мередиана	Ширина зоны	Сдвиг оси X	Сдвиг оси Z
Юго-ориентированное равноугольная цилиндрическая проекция	Южная Африка	00	1.0	20	0м	0м
Универсальная северная равноугольная цилиндрическая проекция	Повсеместно от экватора до 840северной широты	0	0.9996	60	-500000м	0м
Универсальная южная равноугольная цилиндрическая проекция	Повсеместно от экватора до 840южной широты	0	0.9996	60	500000м	106м
Проекция Гаусса-Крюгера	Россия, Югославия, Германия, Южная Америка	0	1	60	-500000м	Различный
Проекция Гаусса-Боага	Италия	Различный	0.9996	60	Различный	0м

В России для топографических карт масштабов 1:10 000 - 1:1 000 000 принята единая равноугольная поперечно-цилиндрическая проекция Гаусса-Крюгера.

Геометрическую сущность такой проекции можно представить следующим образом. Весь земной эллипсоид делят на зоны, и для каждой зоны в отдельности составляют карты. При этом устанавливают такие размеры зон, чтобы можно было каждую из них развернуть в плоскость, то есть изобразить на карте практически без заметных искажений. Для получения картографической сетки и составления по ней карты в проекции Гаусса поверхность земного эллипсоида разбивают по меридианам на 60 зон по 6° каждая (рис.7.5). Максимальный масштаб карт принятый в топографии – 1:1 000 000. Карта данного масштаба является основой для системы деления карты на отдельные листы – разграфки и для нумерации листов – номенклатуры. Ряды миллионной карты обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (от А до V) и счёт их ведётся от экватора к полюсам. Колонны же листов нумеруются цифрами от 1 до 60. Счёт колонн ведётся от меридиана 180 градусов с запада на восток (рис. 7.5).

Рис. 7.5. Деление земного эллипсоида на 6-ти градусные зоны.

Правила и порядок образования топографических карт всех масштабов приведены в таблице 7.2.

Таблица 7.2.

Виды карт	Масштаб карты	Типы карт	Порядок образования листа карты	Схема образования листа карты	Размер листа карты	Пример номенклатуры
Оперативные	1:1000000	Мелкомасштабные	деление земного эллипсоида параллелями, меридианами	6° 4°	4° × 6°	С-3
	1:500000		деление листа миллионной карты на 4 части	А         Б В         Г	2° × 3°	С-3-Б
	1:200000	Среднемасштабные	деление листа миллионной карты на 36 частей	XVI	40' × 1°	С-3-XVI
Тактические	1:100000		деление листа миллионной карты на 144 части	56	20' × 30'	С-3-56
	1:50 000	Крупномасштабные	деление листа карты М. 1:100 000 на 4 части	А         Б В         Г	10' × 15'	С-3-56-А
	1:25 000		деление листа карты М. 1:50 000 на 4 части	а          б в          г	5' × 7' 30"	С-3-56-А-б
	1:10 000		деление листа карты М. 1:25 000 на 4 части	1          2 3          4	2' 30" × 3' 45"	С-3-56-А-б-4

На топографические карты наносится координатная сетка и указывается привязка сетки к топографическим координатам.

Начало топографической СК OX_MY_MZ_M размещается на поверхности Земли на экваторе, долгота точки начала координат определяется серединным меридианом зоны карты минус 500 000 м (Рис. 7.6).

Рис. 7.6. Топографическая система координат

Ось OY_M системы направляется вверх по местной вертикали, оси OX_M, OZ_M лежат в местной горизонтальной плоскости и совпадают с осями горизонтной СК.

Топографические СК определяются для каждой зоны; для связи между зонами к значению координаты Z_M слева приписывают порядковый номер зоны. Топографическая СК OX_MY_MZ_M используется для привязки вертолета к цифровой карте местности и работы КЭАН.

Переход от географической СК к топографической СК осуществляется с использованием соотношений [7.12]:

(7.5)

,

где:

Z_M0– начальный сдвиг по осиZ_M;

- долготы текущей точки и точки начала топографической СК;

- широты текущей точки и точки начала топографической СК;

Y₀– высота точки в географической СК;

e- эксцентриситет земного эллипсоида;

a– большая полуось земного эллипсоида;

- средний радиус земного эллипсоида;

- масштабный коэффициент проекции;

;

;

;

;

;

.

Обратные преобразования производятся следующим образом [7.12]:

(7.6)

,

где:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Таким образом, при формировании функционально-программного прототипа интегрированного бортового ПНК в режиме МВП используются следующие системы координат (см. таблицу 7.3.):

Таблица 7.3

Система координат	Область применения
Географическая (гринвичская) система координат	Расширенный фазовый вектор состояния, Оценки положения и скорости вертолета, формируемые ГЛОНАСС/GPS приемником
Горизонтный сопровождающий трехгранник, (горизонтная система координат)	Уравнения динамики вертолета, компоненты вектора скорости, Углы Эйлера.
Связанная система координат	Вектор абсолютной угловой скорости, Вектор кажущегося ускорения,
Топографическая система координат	Оценка вектора положения, формируемая КЭАН